一維可壓縮Navier-Stokes 方程初值問題強解的整體存在性

郭尚喜

（武漢理工大學理學院，湖北武漢430070）

本文考慮如下一維等熵可壓縮Navier -Stokes方程

其中，ρ≥0，ρ、u 分別表示流體的密度和速度，p（ρ）和μ（ρ）分別為壓強和粘性系數(shù).對于等熵流體p（ρ）＝aργ，a ＞0，γ ＞1，不失一般性，假設 a ＝1.假設粘性系數(shù)為

考慮初始值在無窮遠處有不同的極限

其中，ρ±＞0，u±是4 個常數(shù).令是定義在R上的2 個光滑單調(diào)函數(shù)，且滿足

假設初始值滿足

其中 c0、c0為常數(shù).

近些年來，關于等熵可壓縮Navier -Stokes 方程的解的研究受到學者們廣泛關注.文獻［1 -2］研究了方程（1）中粘性系數(shù)μ 為常數(shù)時的情形.文獻［3 -4］考慮了等熵粘性流體的物理特性，這時會有粘性系數(shù)與密度函數(shù)ρ 的方冪成比例的情形，如μ（ρ）＝ρα，α ＞0.文獻［5 -12］研究了流體連續(xù)連接真空或不連續(xù)連接真空時不同范圍的α 的自由邊界問題.在關于方程（1）的自由邊界問題中，自由邊界條件對于密度函數(shù)的下界的推導起到關鍵作用.但是，在關于方程（1）的初邊值問題或Cauchy問題中情況是不同的.文獻［13］研究了初邊值問題弱解的整體存在性和真空區(qū)域的動力學性質(zhì)，其中α ＞1／2.文獻［14］研究了 Cauchy 問題的整體強解的存在唯一性，其中粘性系數(shù)μ 滿足：存在常數(shù)v ＞0，C ＞ 0，使得當 ρ≥1 時，μ（ρ）≥v；當 ρ≤1 時，μ（ρ）≥vρα，α∈［0，1／2）；任意的 ρ≥0 都有μ（ρ）≤C（1 +p（ρ））.后來，文獻［15］拓展了 α 的范圍，得到 μ（ρ）＝ρα，α∈（0，1）時方程（1）的 Cauchy 問題強解的整體存在性.那么，在保證強解的整體存在性的前提下，對于粘性系數(shù) μ（ρ）＝ ρα中指數(shù) α 的范圍的極大值的研究是有意義的.

本文的主要目的是研究在初值滿足（4）式，p（ρ）＝ργ，μ（ρ）＝ρ的條件下方程（1）的 Cauchy問題的強解的整體存在性.首先，為了方便得到密度函數(shù)ρ的上、下界的估計，需要對方程（1）的形式作出適當?shù)淖儞Q.令 υ ＝ u + （φ（ρ））x，其中 φ′（ρ）＝μ（ρ）／ρ2，那么 υt＝ut+ φ （ρ）xt，υx＝ ux+ φ （ρ）xx.根據(jù)（1）式的第一式可知

再由（1）式的第一式代入（1）式的第二式有

由此可知，方程（1）變形為

下面給出本文的主要結(jié)論及其證明.

1 主要結(jié)論

定理 1. 1若（ρ0，u0）滿足（3）式和（4）式，μ（ρ）滿足（2）式，則方程（1）在（x，t）∈R ×［0，+ ∞）上存在整體強解（ρ，u），使得任意的 T ＞0 都有

同時，存在常數(shù) C（T）和 C′（T）使得

根據(jù)文獻［14，16］可知，在初值滿足（4）式，初始密度有正下界的條件下，方程（1）的強解是局部存在的.在定理1.1 的條件下，若能得到任意的T ＞0 都有密度函數(shù)是有正上、下界的，那么就可以得到強解的整體存在性.接下來，本文會借助方程（1）與（5）的等價性得到 υ∈L∞（R），再利用引理 2.1、2.2和拋物方程的極值原理得到密度函數(shù)的上、下界估計.參考文獻［16］，通過構(gòu)造滿足引理3.1 條件的粘性系數(shù)，再取極限可以得到強解的整體存在性.

2 先驗估計

注1易知是凸函數(shù)≥0，當且僅當具有下述性質(zhì)：

3）存 在 常數(shù) C ＞ 0 使 得 ρ + ργ≤ C （1 +

根據(jù)文獻［14］，有下面引理2.1 和2.2 成立.

引理 2.1假設（ρ，u）是（1）～ （3）式的解，初值（ρ0，u0）滿足

那么任意的 T ＞0，都有 C（T）＞0 使得

證明見參考文獻［14］.

注2當 ρ0和都有界且下界大于0 時，有由此易知，在定理1.1 的假設下（6）式成立.

引理 2.2假設（ρ，u）是（1）～ （3）式的解，μ關于ρ是二階連續(xù)可微的函數(shù)，且

那么對于任意的 T ＞0，都有 C（T）＞0 使得

這里的 φ 滿足 φ′（ρ）＝ μ（ρ）／（ρ2）.

證明參考文獻［14］.

因為初值（ρ0，u0）滿足（4）式，所以易知

另外，根據(jù)引理2.1、引理2.2 和（8）式可知，對于任意的 T ＜ T0都有

其中，（10）式的第一和第二式可由（7）式直接得到，根據(jù)注1 中的3）可得（10）式的第三式成立.由注1 和引理2.1 可知若0≤ρ≤2，則｜ρ -｜≤且C1（ρ-）2≤p（ρ｜）∈L∞（0，T；L1（R）），所以ρ -∈L∞（0，T；L2（R））；若ρ ＞2，則ρ -＞＞0，故｜ρ-｜γ-2≥（）γ-2＞0，由此可知

再由注1 和引理2.1 可知

根據(jù)引理2.1 已知（1）～ （3）式在 t∈（0，T0）上強解的局部存在性，接下來需要證明T0＝+∞，為此需要得到密度函數(shù)ρ和速度u 的一致估計.根據(jù)引理2.1、引理 2.2、（10）式和（11）式，下面給出關于密度函數(shù)ρ 的上、下界估計，這也是證明定理1.1 的關鍵.

引理 2.3假設（ρ，u）是方程（1）～ （3）式的解，那么任意 T ＞0，都有常數(shù) C（T），C′（T）＞0使得

證明因為（ρ，u）是（1）的解，所以（ρ，u）也是（5）式的解.由（5）式的第二式可知 ρvt+ ρuvx+（ργ）x＝0，所以對于任意的（x，t）∈R × ［0，T］，令 χ（t，x）滿足

設 f（t）＝ v（t，χ（t，x）），則

求解上述方程可得

將（1）式的第一式代入（1）式的第二式得到

再在（16）式兩邊乘以 u ｜u ｜ε（ε ＞ 0 且充分小）后將所得結(jié)果在R上積分，有

在（1）式的第一式兩邊乘以（u2｜u ｜ε）／（2 + ε）（ε ＞0 且充分?。┖髮⑺媒Y(jié)果在R上積分，得到

將（17）式與（18）式相加，得到

若｜u ｜≥1，則由 H?lder不等式和（15）式可知

若｜u ｜＜1，同理可得

因此，結(jié)合（20）、（21）式和（10）式的第四式，利用Gronwall不等式可得

利用（15）式、引理2.1、Cauchy 不等式和質(zhì)量守恒有

再由 Plancherel 定理可得 F（ρu）∈ L2（0，T；L2（R）），所以

結(jié)合（23）和（24）式可得

因此，ρu ＝ F-1（F（ρu））∈L2（0，T；L∞（R））.利用（14）式，有

由此可知，v（t，x）∈L∞（0，T；L∞（R）），再利用關于拋物方程（5）式第一式的極值原理得（1／ρ）∈L∞（0，T；L∞（R））.綜上所述，C′（T）≤ρ（x，t）≤C（T），?（x，t）∈R ×［0，T］.

引理 2.4假設（ρ，u）是方程（1）～ （3）式的解，那么任意 T ＞0，都有常數(shù) C（T）＞0，使得

證明因為 φ′（ρ）＝ μ（ρ）／ρ2＝1／ρ，所以可由（11）式得到結(jié)合引理2.3 得到再根據(jù)（10）式可知ρ -∈L∞（0，T；L2（R）），所以引理2.4 得證.

引理 2.5假設（ρ，u）是方程（1）～ （3）式的解，任意 T ＞0，都存在常數(shù) C（T）＞0，使得

證明見參考文獻［14］.

3 定理1.1 的證明

在證明定理1.1 之前先給出下述引理，引理的證明見參考文獻［16］.

引理 3.1［16］設（ρ0，u0）滿足（4）式，μ 滿足μ（ρ）≥ δ ＞ 0，那 么 存 在 依 賴 于 c0、c0、‖ρ0-‖H1（R）和的T0＞0，使得（1）～（3）式在（x，t）∈R ×（0，T0）上存在唯一的解（ρ，u），滿足ρ-∈L∞（0，T1；H1（R）），ρt∈L2（（0，T1）×RT1）×R），?T1＜ T0.同時，存在常數(shù) C′（t）＞0 和C（t）＜ + ∞，使得

下面給出定理1.1 的證明.

證明設近似粘性系數(shù)μn（ρ）滿足

易知 μ≤μn≤μ +1，μn≤C（1 +p（ρ）），?ρ≥0.因此，根據(jù)引理 3. 1 可知，（1）～ （3）式在 t ∈（0，T0（n））上存在強解（ρn，un）.再由引理 2.1 ～ 2.5可知，（ρn，un）滿足定理 1.1 中的正則性結(jié)論.因此，（ρn，un）是（1）～ （3）式的整體解.可取 n 充分大（使得1／n≤C′（T）），那么（ρn，un）是 μ ＝ μ（ρ）時（1）～（3）式的強解，定理1.1 得證.