基于Melan解的地基變形計(jì)算分析研究

周 佺

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都 610031)

1 地基變形計(jì)算

在各類工程設(shè)計(jì)中，對地基土進(jìn)行沉降計(jì)算時(shí)，其計(jì)算方法多數(shù)以太沙基一維固結(jié)理論為基礎(chǔ)，假設(shè)地基土只產(chǎn)生豎向沉降位移，而忽略了水平位移，與實(shí)際工程情況不符。但隨著我國經(jīng)濟(jì)的蓬勃發(fā)展，高層建筑、高速鐵路、高速公路等工程的數(shù)量逐漸增多，規(guī)模不斷擴(kuò)大，對地基土變形的要求也變得更為嚴(yán)格。因此，如何準(zhǔn)確地預(yù)測地基土在荷載作用下產(chǎn)生的變形就顯得尤為重要[1-2]。

將巖土工程問題簡化為彈性半無限空間問題或平面問題是解決相關(guān)巖土問題的一種常用方法，該方法可運(yùn)用彈性理論解對地基土的變形進(jìn)行預(yù)測。曾國熙[3]基于Boussinesq解推導(dǎo)了多種豎向荷載作用下泊松比為0.5的軟黏土地基在彈性階段的側(cè)向位移理論公式。王華寧[4]利用對稱性方法修正了Flamant位移解，給出了預(yù)測地表分布荷載作用下地基變形的沉陷公式。劉光秀[5]利用彈性理論解及平面應(yīng)變問題給出了不同荷載類型下的地基側(cè)向變形公式。

目前，學(xué)者們對地基變形的研究主要為作用在土體表面的荷載所引起的土體變形，而對作用在土體內(nèi)部的荷載引起的地基變形研究相對較少。因此，本文在由彈性半無限平面內(nèi)受豎向荷載作用的Melan應(yīng)力解[6]推導(dǎo)Melan位移解的基礎(chǔ)上，考慮豎向荷載作用下Melan位移解的鏡面對稱性，并利用彈性力學(xué)幾何方程，確定位移解中的待定函數(shù)，推導(dǎo)出作用在土體內(nèi)部的豎向荷載下的地基土變形解析解，且使得解析解在距離荷載作用點(diǎn)一定范圍內(nèi)收斂，并與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析驗(yàn)證解析解的正確性。

2 Melan位移解推導(dǎo)

1932年，Melan在Mindlin解[7]的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了彈性半無限平面內(nèi)受線性荷載作用的應(yīng)力解，即Melan應(yīng)力解。本文在xy坐標(biāo)系下，利用Melan應(yīng)力解對豎向荷載作用下產(chǎn)生的Melan位移解進(jìn)行推導(dǎo)，Melan解計(jì)算模型，如圖1所示。

圖1 Melan解計(jì)算模型

在彈性半無限平面內(nèi)部作用豎向荷載時(shí)，在xy坐標(biāo)系下，Melan應(yīng)力解[8]為

(1)

(2)

(3)

c為豎向線荷載作用深度；

由彈性力學(xué)可得，平面應(yīng)變問題中物理方程為

(4)

(5)

(6)

式中：εx為x方向正應(yīng)變；

εy為y方向正應(yīng)變；

γxy為剪應(yīng)變；

平面應(yīng)變問題中的幾何方程為

(7)

(8)

將式(4)、式(5)代入式(7)、式(8)中，則水平位移可表示為

(9)

則豎向位移的表達(dá)式為：

(10)

將Melan應(yīng)力解式(1)、式(2)代入式(9)、式(10)中，可以得到彈性半無限平面內(nèi)部c處受豎向荷載作用時(shí)產(chǎn)生的Melan位移解。

水平位移：

(11)

豎向位移：

(12)

式中：A(y)、B(x)為待定函數(shù)。

考慮Melan位移解在彈性半無限平面內(nèi)受豎向荷載作用時(shí)具有鏡面對稱性，所以

u(-x,y)=-u(x,y)

(13)

w(-x,y)=w(x,y)

(14)

所以:

u(-x,y)+A(y)+u(x,y)+A(y)=0

(15)

因此，A(y)=0。

平面應(yīng)變問題中幾何方程為

(16)

其中

(17)

將式(11)、式(12)代入式(16)中，式(3)代入式(17)中，整理后得

(18)

所以，B(x)為常數(shù)，令B(x)=B。

Melan位移解表達(dá)式為:

(19)

(20)

當(dāng)y=0時(shí)，則Melan位移解為：

(21)

(22)

可以看出，在y=0時(shí)，荷載在地表產(chǎn)生的水平位移隨著水平距離x的增加而趨于一個(gè)定值，而豎向位移隨著水平距離x的增加而增加，其位移值不收斂。

當(dāng)x=0時(shí)，則Melan位移解為:

u=0

(23)

(5-2v0+v02)ln(y+c)2]+B

(24)

由以上推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)，Melan豎向位移解是發(fā)散的，即位移計(jì)算點(diǎn)位置距離荷載作用點(diǎn)越遠(yuǎn)，Melan位移解計(jì)算結(jié)果越大，與實(shí)際巖土工程不符。王敏中[9]利用發(fā)散積分的有限部分將三維空間位移解簡化為二維平面位移解得到了Melan位移解。王林中[10]指出對空間問題的相對位移求積，可解決在推導(dǎo)Melan位移解時(shí)由空間問題向平面問題積分而產(chǎn)生地發(fā)散積分問題。雷國輝[11]將Melan解析解、Flamant解析解與有限元分析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析，結(jié)果表明：在彈性半無限平面內(nèi)及平面邊界面上，線荷載作用方向產(chǎn)生的相對位移解答不收斂且具有多值性，并認(rèn)為將巖土工程問題作為半空間問題分析更為合理。

因此，為了使得Melan豎向位移解收斂，并考慮在實(shí)際土木工程中，由荷載作用引起的位移只會在距離作用點(diǎn)一定范圍內(nèi)產(chǎn)生。因此，本文考慮當(dāng)x=0時(shí)，在距離原點(diǎn)一定位置處，即y=y0，w=0，代入式(24)中，由此得解得：

v0)ln((y0-c)2)-(5-2v0+v02)ln((y0+c)2)]

(25)

y0可根據(jù)巖土工程條件和荷載作用大小進(jìn)行確定。

所以，Melan位移解為:

(26)

(27)

3 算例

為驗(yàn)證求得的地基變形解析解的正確性，本文將解析解的計(jì)算結(jié)果與ABAQUS有限元模擬的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析。

有限元ABAQUS計(jì)算模型，如圖2所示。計(jì)算參數(shù)如下：豎向集中力為P=100kN，集中力作用深度c=10m，彈性模量E=30MPa，泊松比v=0.3，y0=100m。在模型的左右邊界設(shè)置水平和豎向位移約束，在模型下邊界設(shè)置豎向位移約束。

圖2 有限元計(jì)算模型

3.1 地基水平變形

如圖3所示，為解析解和有限元分析在水平距離荷載作用點(diǎn)2 m和10 m位置處地基土的水平變形分布曲線。

圖3 水平位移分布曲線

由圖3可以看出，解析解得到的計(jì)算結(jié)果和有限元分析的計(jì)算結(jié)果基本一致，吻合較好。

3.2 地基豎向變形

如圖4所示，為解析解和有限元分析在距離地表0 m、10 m、20 m和40 m深度處地基土的豎向變形分布曲線。

圖4 豎向位移分布曲線

由圖4可以發(fā)現(xiàn)，解析解得到的計(jì)算結(jié)果和有限元分析的計(jì)算結(jié)果基本一致，吻合較好，且在水平距離荷載作用點(diǎn)50 m(y0/2)位置處豎向位移趨于零，即地基土豎向變形在該范圍內(nèi)收斂。距離地表越遠(yuǎn)，地基土變形解析解和有限元分析的計(jì)算結(jié)果越接近，分布曲線越吻合；距離地表越近，分布曲線吻合度下降。這是因?yàn)榫嚯x地表越近，所受約束越少，對變形計(jì)算結(jié)果影響較大。

4 結(jié)束語

本文結(jié)合彈性力學(xué)物理方程和幾何方程，利用Melan應(yīng)力解推導(dǎo)了Melan位移解，并在考慮Melan位移解受豎向荷 載作用時(shí)鏡面對稱性的基礎(chǔ)上，確定了Melan位移解中的待定函數(shù)，推導(dǎo)出基于Melan解的彈性半無限平面內(nèi)受豎向荷載作用的地基變形解析解，并使得解析解在距離荷載作用點(diǎn)一定范圍內(nèi)收斂。通過對有限元ABAQUS分析計(jì)算結(jié)果與解析解的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析，結(jié)果表明，解析解計(jì)算結(jié)果與有限元分析計(jì)算結(jié)果基本一致，吻合性較好，驗(yàn)證了解析解的正確性。