運(yùn)用數(shù)學(xué)方法 巧解遺傳難題

湖北

生物學(xué)中許多遺傳計(jì)算、分析題對學(xué)生來說存在一定的難度，但如果能巧妙應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維方法和解題方法，那么很多題目便可以迎刃而解，既可以提高解題的速度和準(zhǔn)確率，還可以深化學(xué)生對知識的理解。

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明自由交配淘汰隱性個體的公式

【例1】基因型為Aa 的個體，隨機(jī)交配n 代，每一代淘汰其中的隱性個體，求第n 代中AA 和Aa 個體所占的比例。

【答案】n/（n+2） 2/（n+2）

【分析】

2.數(shù)列方法

還可以運(yùn)用數(shù)列方法推導(dǎo)上述公式。

解：設(shè)Fn中Aa 的概率為an，可求得F1中Aa 的概率為a1=2/3

則Fn-1中Aa 的基因型頻率P（Aa）=an-1，AA 的基因型頻率 P（AA）=1-an-1

由基因型頻率求基因頻率，F(xiàn)n-1中的P（A）=1-an-1+=1-，P（a）=

由Fn-1中的基因頻率求Fn中基因型頻率，

再淘汰掉aa 個體，剩下的個體中Aa 占所有個體的比例為

還可以用這個方法推導(dǎo)連續(xù)自交n 代同時淘汰隱性個體等比較復(fù)雜的概率計(jì)算題。

3.條件概率

在求解遺傳概率時，經(jīng)常會碰到一些需改變范圍、改寫比例的問題，如致死、淘汰、求雌性個體中的顯性個體、求顯性個體中的純合個體等問題。這類題目，學(xué)生常常容易出錯，但是如果采用條件概率的方法求解，則不容易出錯。

【例2】果蠅的灰身與黑身（設(shè)基因?yàn)锳/a）、紅眼與白眼（設(shè)基因?yàn)镽/r）是兩對相對性狀。兩只純合親代果蠅雜交，F(xiàn)1無論雌雄全為灰身紅眼果蠅，F(xiàn)1雌雄果蠅相互交配得到F2的表現(xiàn)型如表1。

表1

請回答下列問題：F2灰身紅眼雌蠅中，雜合子所占的比例為___________________________。

【答案】5/6

【分析】解題前可先判斷出灰身對黑身為顯性，基因位于常染色體上；紅眼對白眼為顯性，基因位于X 染色體上。F1雌雄個體的基因型分別為AaXRXr、AaXRY。

錯解：F2灰身紅眼雌蠅中雜合子所占的比例=1-F2灰身紅眼雌蠅中純合子所占的比例=1-1/16=15/16。

錯因分析（如圖1）：

圖1

像這一類改變了范圍的概率計(jì)算題，教師可以借助集合圖來幫助學(xué)生理解，把所有的F2看成全集，F(xiàn)2灰身紅眼雌蠅稱為事件B，是其中的一個子集，F(xiàn)2灰身紅眼雌蠅中的雜合子稱為事件A，又是事件B 中的一個子集。題目要求事件B 中事件A 的概率，而不是F2中事件A 的概率。

所以錯解解法求的是F2中除灰身紅眼雌蠅純合子外其他所有個體所占的比例，包括所有雄蠅、黑身紅眼雌蠅、灰身紅眼雌蠅雜合子。

正解：在事件B 發(fā)生的條件下，事件A 發(fā)生的條件概率為P（A|B）=P（AB）/P（B）。

F2中，灰身紅眼雌蠅的概率P（B）=3/4×1/2=3/8；

F2中，灰身紅眼雌蠅純合子的概率P（AB）=1/4×1/4=1/16；

F2灰身紅眼雌蠅中，純合子所占的比例為P（A|B）=P（AB）/P（B）=1/6；

F2灰身紅眼雌蠅中，雜合子所占的比例為1-1/6=5/6。

4.獨(dú)立事件、互斥事件

相互獨(dú)立事件是指發(fā)生互不影響的兩個事件，互斥事件是指不可能同時發(fā)生的兩個事件。

加法原理又稱分類計(jì)數(shù)原理，如果做一件事有n 類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法，在第二類方法中有m2種不同的方法……那么完成這件事的方法共有m1+m2+……mn種。每一種方法都是互斥的才能用加法原理。

乘法原理又稱分步計(jì)數(shù)原理，做一件事要分成n 個步驟，第一步有m1種不同的方法，第二步有m2種不同的方法……那么完成這件事的方法共有m1×m2×……mn種。乘法原理中每一步都不能獨(dú)立完成任務(wù)，各步都不可缺少，且每一種方法都是獨(dú)立的才能用乘法原理。

很多學(xué)生在運(yùn)用加法原理和乘法原理時不能正確分析兩個事件的關(guān)系導(dǎo)致計(jì)算錯誤?，F(xiàn)列舉示例加以說明。

誤區(qū)一：認(rèn)為兩對基因自由組合的問題中才涉及獨(dú)立事件和互斥事件

【例3】果蠅的紅眼與白眼（設(shè)基因?yàn)镽/r）是一對相對性狀。雌果蠅XRXr與雄果蠅XrY 雜交得F1，F(xiàn)1雌雄個體隨機(jī)交配得F2，請分析F2中的表現(xiàn)型及比例。

【答案】紅眼雌蠅∶白眼雌蠅∶紅眼雄蠅∶白眼雄蠅=5∶3∶2∶6

【分析】

錯解：F1雌配子中有1/8XR，3/8Xr，雄配子中有1/8XR，1/8Xr，1/4Y，雌雄配子隨機(jī)結(jié)合，所以F2中有5/64 紅眼雌蠅，3/64 白眼雌蠅，1/32 紅眼雄蠅，3/32 白眼雄蠅。

錯因分析：F1中基因型為XRXr、XrXr、XRY、XrY是互斥事件，所以各占1/4，但在F1隨機(jī)交配得到F2過程中，母本的基因型和父本的基因型是獨(dú)立事件，雖然得到的結(jié)果也是紅眼雌蠅∶白眼雌蠅∶紅眼雄蠅∶白眼雄蠅=5∶3∶2∶6，但分析計(jì)算的過程是錯誤的。

F1雌配子中有1/4XR，3/4Xr，雄配子中有1/4XR，1/4Xr，1/2Y，雌雄配子隨機(jī)結(jié)合，所以F2中有5/16 紅眼雌蠅，3/16 白眼雌蠅，1/8 紅眼雄蠅，3/8 白眼雄蠅。

誤區(qū)二：認(rèn)為兩個事件的關(guān)系不是互斥事件就是獨(dú)立事件

【例4】已知A/a、B/b、C/c 三對等位基因分別在常染色體、僅在X 染色體，XY 染色體同源區(qū)段上，求基因型的種類。

【答案】54 種

【分析】錯解：一對基因在常染色體上有3 種基因型，僅在X 染色體上有5 種，XY 染色體同源區(qū)段有7 種，所以一共有3×5×7=105 種。

正解：Aa 在常染色體上，與另外兩對基因是獨(dú)立事件，但B/b、C/c 這兩對基因都在性染色體上，它們之間既不是互斥事件，也不是獨(dú)立事件。若為雌性，則有3×（3×3+1）=30 種，其中，有兩種組合類型。若為雄性，則有3×（2×4）=24 種。一共有30+24=54 種。

5.運(yùn)用邏輯思想理解基本概念

【例5】（2018 年，全國卷Ⅲ，第31 題節(jié)選）某小組利用某二倍體自花傳粉植物進(jìn)行兩組雜交實(shí)驗(yàn)。雜交涉及的四對相對性狀分別是：紅果（紅）與黃果（黃）、子房二室（二）與多室（多）、圓形果（圓）與長形果（長）、單一花序（單）與復(fù)狀花序（復(fù)）。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2。

表2

回答下列問題：

（1）控制乙組兩對相對性狀的基因位于______________（填“一對”或“兩對”）同源染色體上，依據(jù)是__________________________________。

【答案】一對 F2中每對相對性狀表現(xiàn)型的分離比都符合3∶1，而兩對相對性狀表現(xiàn)型的分離比不符合9∶3∶3∶1

【分析】錯解：一對 F2分離比不符合9∶3∶3∶1

控制兩對相對性狀的基因位于一對同源染色體上包含兩個子命題，第一個是每一對基因都在一對同源染色體上，都遵循基因的分離定律，第二個是兩對基因在同一對同源染色體上。

在不考慮基因互作、致死等特殊情況下，雙雜合子自交子代不出現(xiàn)9∶3∶3∶1 的性狀分離比是兩對基因不遵循基因的自由組合定律的充要條件，但是只是兩對基因在一對同源染色體上的必要不充分條件。還需要先證明每對基因都在一對同源染色體上，充要條件為雜合子自交，每對相對性狀的分離比都符合3∶1。

利用邏輯思想，還可有助于理解種群進(jìn)化、物種形成、等位基因、同源染色體、純合子、雜合子等概念。如種群基因頻率改變是種群進(jìn)化的充要條件，隔離是物種形成的充要條件，但是地理隔離是物種形成的既不充分也不必要條件。

6.基本不等式

【例6】判斷：在一個遺傳平衡種群中，有AA、Aa、aa 三種基因型的個體，其中Aa 基因型頻率可能大于1/2 （ ）

【答案】×

【分析】對一個遺傳平衡種群，設(shè)A 基因頻率P（A）=p，a 基因頻率P（a）=q，則AA 基因型頻率P（AA）=p2，aa 基因型頻率P（aa）=q2。根據(jù)基本不等式，p2+q2≥2pq，當(dāng)且僅當(dāng)p=q=1/2 時等式成立，所以Aa 基因型頻率P（Aa）=2pq ≤1/2。

7.極限思想

【例7】（2014 年，全國卷Ⅰ，第5 題）如圖2 為某種單基因常染色體隱性遺傳病的系譜圖（深色代表的個體是該遺傳病患者，其余為表現(xiàn)型正常個體）。近親結(jié)婚時該遺傳病發(fā)病率較高，假定圖2 中第Ⅳ代的兩個個體婚配生出一個患該遺傳病子代的概率是1/48，那么，得出此概率值需要的限定條件是 （ ）

圖2

A.Ⅰ2和Ⅰ4必須是純合子

B.Ⅱ1、Ⅲ1和Ⅲ4必須是純合子

C.Ⅱ2、Ⅱ3、Ⅲ2和Ⅲ3必須是雜合子

D.Ⅱ4、Ⅱ5、Ⅳ1和Ⅳ2必須是雜合子

【答案】B

【分析】本題可以用極限的方法順向推導(dǎo)從而快速得出正確答案。

已知Ⅱ2為Aa，當(dāng)Ⅱ1為AA 時，Ⅲ2為Aa 的概率為1/2；當(dāng)Ⅱ1為Aa 時，Ⅲ2為Aa 的概率為2/3，所以Ⅲ2為Aa 的概率≥1/2，當(dāng)Ⅱ1為AA 時取最小值。

同理，Ⅳ1為Aa 的概率≥1/4，當(dāng)Ⅱ1和Ⅲ1均為AA 時取最小值。

Ⅳ2為Aa 的概率≥1/3，當(dāng)Ⅲ4為AA 時取最小值。

Ⅳ1與Ⅳ2婚配生下aa 的概率≥1/4×1/3×1/4，當(dāng)Ⅱ1、Ⅲ1和Ⅲ4都是純合子時取最小值1/48。

綜上所述，高中生物作為一門綜合性的學(xué)科，其中滲透了大量的數(shù)學(xué)知識。將兩大學(xué)科相結(jié)合，是一種高層次的思維能力。高中生物教師在教學(xué)中善于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，不僅可以優(yōu)化教學(xué)，還可以給學(xué)生起到跨學(xué)科思維的良性示范作用，這對幫助學(xué)生深入理解生物學(xué)基本概念和原理、提高創(chuàng)造力大有益處。