兩種船舶運(yùn)動(dòng)模型間參數(shù)對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化方法

張智穎，劉 勇，陳永冰，周 崗

(海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，湖北武漢430033)

0 引言

自動(dòng)舵檢測(cè)平臺(tái)為自動(dòng)舵提供了在陸基條件下運(yùn)行的環(huán)境，對(duì)自動(dòng)舵的檢修及研發(fā)調(diào)試具有重要的意義[1]。船舶運(yùn)動(dòng)模型作為預(yù)報(bào)船舶操縱特性的基礎(chǔ)，是檢測(cè)平臺(tái)的重要組成部分。目前，描述操縱性的船舶運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型可分為以下三類(lèi)[2]：1）響應(yīng)型模型，由20世紀(jì)50年代末野本謙作提出，從控制工程的觀點(diǎn)將船舶看成一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，舵角為系統(tǒng)的輸入，首向角或首搖角速度為系統(tǒng)的輸出；2）整體型模型，由20世紀(jì)60年代初Abkowitz提出，把船看作一個(gè)整體，不考慮船舶各部分之間的流體動(dòng)力干擾，研究船舶所受的外力和力矩；3）MMG模型，由20世紀(jì)70年代末日本拖曳水池委員會(huì)提出，按照物理意義將力和力矩分解為作用于裸體船、敞水螺旋槳和敞水舵，以及三者之間相互干涉的流體動(dòng)力和力矩。

現(xiàn)有的航向航跡自動(dòng)舵檢測(cè)平臺(tái)使用了航跡自動(dòng)舵標(biāo)準(zhǔn)（IEC62065）中提出的船舶運(yùn)動(dòng)模型，由于該模型對(duì)螺旋槳推進(jìn)力、流體阻力以及船、槳、舵之間相互干涉的流體動(dòng)力和力矩等物理量采取簡(jiǎn)化處理，是一種簡(jiǎn)化的MMG模型，在選用與標(biāo)準(zhǔn)中的典型船型相差較大的船型時(shí)，運(yùn)動(dòng)仿真誤差較大，在實(shí)際使用中具有一定局限性[3]。本文利用已具有相當(dāng)精度的船舶四自由度MMG模型進(jìn)行仿真試驗(yàn)，提出通過(guò)MMG模型仿真結(jié)果求取IEC62065模型中相關(guān)參數(shù)值的方法，將模型轉(zhuǎn)化前后的仿真結(jié)果作比較分析，討論模型間的差異以及對(duì)轉(zhuǎn)化方法做出改進(jìn)。

1 船舶運(yùn)動(dòng)模型建立

1.1 IEC62065運(yùn)動(dòng)模型的建立

國(guó)際電工委員會(huì)制定的航跡系統(tǒng)性能標(biāo)準(zhǔn)（IEC62065）中[4]提出了包括縱移、橫移、轉(zhuǎn)首的船舶三自由度運(yùn)動(dòng)模型，其船舶運(yùn)動(dòng)方程如下：

式中：3個(gè)等式依次描述的是船舶的縱移運(yùn)動(dòng)、橫移運(yùn)動(dòng)以及轉(zhuǎn)首運(yùn)動(dòng)。u，v，r分別為船舶前進(jìn)速度，橫移速度與首向角速度；X為螺旋槳推進(jìn)力，被簡(jiǎn)化為線性的推進(jìn)裝置響應(yīng)方程；Mu和Mv為縱移或橫移方向上船舶質(zhì)量與附加質(zhì)量的總和；Ru，Rv為縱移、橫移方向上的流體阻力系數(shù)，Rr為轉(zhuǎn)首運(yùn)動(dòng)方向上的流體阻力矩系數(shù)；Iz為首向轉(zhuǎn)動(dòng)力矩；Kr為轉(zhuǎn)舵力矩系數(shù)；γ為首搖穩(wěn)定系數(shù)，表示橫移阻力中心偏離重心的程度[5]。

對(duì)縱移運(yùn)動(dòng)方程，當(dāng)船舶以最大速度穩(wěn)定航行時(shí)，有下式成立：Ru=Xmax/umax，令 τu=Mu/Ru；對(duì)橫移運(yùn)動(dòng)方程，令τv=Mv/Rv；對(duì)首向運(yùn)動(dòng)方程，令分別代入原方程，得

式中：τu為縱移模型響應(yīng)時(shí)間常數(shù)；τv為橫移模型響應(yīng)時(shí)間常數(shù)；τr為首向運(yùn)動(dòng)模型響應(yīng)時(shí)間常數(shù)。

1.2 MMG模型的建立

本文對(duì)平野數(shù)學(xué)模型[6]進(jìn)行改進(jìn)得到四自由度MMG模型：

其中：m為船體質(zhì)量；Ix，Iz為船體繞X，Z軸慣性矩；u，v，r分別為船的縱移速度，橫移速度以及首搖角速度。

XHH為粘性流體動(dòng)力，表示為關(guān)于縱速u(mài)的一元三次回歸表達(dá)式，系數(shù)通過(guò)約束船模實(shí)驗(yàn)并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行回歸分析得到；XHR為舵水動(dòng)力，XHP為螺旋槳水動(dòng)力，求取辦法參照平野數(shù)學(xué)模型中的計(jì)算公式。

KH為船體橫傾力矩，本模型將作用在船體上的水動(dòng)力通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，表示為關(guān)于v，r，δ以及其2階、3階量的多元函數(shù)；K?為靜扶力矩，K?˙為橫傾阻尼力矩，求取辦法參照平野數(shù)學(xué)模型中的計(jì)算公式。

對(duì)于橫向力YH和偏航力矩NH的求取，將作用在船體上的水動(dòng)力及水動(dòng)力矩通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，表示為關(guān)v，r，δ以及其2階、3階量的多元函數(shù)。對(duì)船的附加 質(zhì) 量m11，m22以及 附 加 慣 性 矩m66，m44的 計(jì) 算 選用周昭明等回歸公式[7]。

2 模型轉(zhuǎn)化方案及實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文通過(guò)對(duì)MMG模型的仿真實(shí)驗(yàn)求取IEC62065模型中的相關(guān)參數(shù)值，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的四自由度MMG模型向IEC62065模型的轉(zhuǎn)化，使得與IEC62065標(biāo)準(zhǔn)中典型船型相差較大的船型也能夠適用于該簡(jiǎn)化模型。

1）縱移運(yùn)動(dòng)方程τu的等效求取

對(duì)于式（2）中縱移運(yùn)動(dòng)方程，當(dāng)無(wú)海流，直航無(wú)推 力 時(shí)，X′=0，r=0，有 τuu˙+u=0成 立，在u(0)=u0的初始條件下對(duì)其進(jìn)行拉普拉斯變換求解，得到縱速、時(shí)間以及響應(yīng)時(shí)間常數(shù)τu的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：應(yīng)用MMG模型的仿真進(jìn)行試驗(yàn)，先保持艦船處于勻速直航狀態(tài)，然后突然使螺旋槳推力為零，同時(shí)從0開(kāi)始計(jì)時(shí)，讓艦船在水的阻力下減速，根據(jù)減速過(guò)程中縱速與時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系依照式（4）求解τu，最后進(jìn)行綜合評(píng)估對(duì)計(jì)算值取平均。

2）橫移運(yùn)動(dòng)方程τv的等效求取

對(duì)于式（2）中橫移運(yùn)動(dòng)方程，無(wú)海流時(shí)，操一個(gè)舵角，當(dāng)艦船作穩(wěn)態(tài)旋回時(shí)，有τvur?v=0成立，可得到τv的計(jì)算公式為：

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：應(yīng)用MMG模型的仿真進(jìn)行旋回試驗(yàn)，分別設(shè)置舵角為5°，10°，15°，20°，25°，30°，艦船作不同旋回動(dòng)作，達(dá)到穩(wěn)態(tài)后按照式（5）計(jì)算出不同條件下的τv，最后進(jìn)行綜合評(píng)估對(duì)計(jì)算值取平均。

3）首向運(yùn)動(dòng)模型Kr′，τr的等效求取

對(duì)于式（2）中首向運(yùn)動(dòng)方程，令K=100Kr′τrumaxX′/Lδmax，在不考慮不穩(wěn)定系統(tǒng)γ時(shí)，可以簡(jiǎn)化為1階線性KT方程[8]：

無(wú)海流時(shí)，操一個(gè)舵角，當(dāng)艦船作穩(wěn)態(tài)旋回時(shí)，˙r=0，得到：

對(duì)式（6）進(jìn)行拉普拉斯變換有：

當(dāng)舵角固定，航向變化率的穩(wěn)態(tài)值顯然為：rss=Kδ ，且舵角階躍變化，從 δ=?δss到航向變化率穩(wěn)定后δ=+δss，則對(duì)式（8）進(jìn)行拉普拉斯反變換得到r瞬時(shí)值為：

δ=?δssr(0)=?Krδss

當(dāng) ，航向變化率穩(wěn)定后： ，則式（9）變形為：

因此，當(dāng)航向變化率r=0時(shí)，可得到時(shí)間t與τr間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：應(yīng)用MMG模型的仿真進(jìn)行Z形操舵試驗(yàn)，經(jīng)歷周期足夠長(zhǎng)，使得在每個(gè)半周期中航向變化率均能進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，記錄舵角上跳沿或下跳沿出現(xiàn)到航向變化率為0所經(jīng)歷時(shí)間，然后根據(jù)式（11）求解τr。應(yīng)用MMG模型的仿真進(jìn)行旋回實(shí)驗(yàn)，取不同的舵角值，艦船進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，用式（7）求解K值，進(jìn)而得到的值，最后進(jìn)行綜合評(píng)估對(duì)計(jì)算值取平均。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析及轉(zhuǎn)化方案改進(jìn)

本文利用Matlab對(duì)MMG模型進(jìn)行仿真試驗(yàn)，按照上節(jié)模型轉(zhuǎn)化方法得到IEC62065模型中相應(yīng)參數(shù)值：根據(jù)這組參數(shù)值對(duì)IEC62065模型進(jìn)行不同舵角下的回轉(zhuǎn)試驗(yàn)，并與原模型試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。圖1和圖2分別為兩模型在5°和25°舵角下的縱速、橫速以及首向角時(shí)間歷史曲線對(duì)比圖。

在800 s以內(nèi)，不同舵角下船舶達(dá)到穩(wěn)定旋回后，兩模型的縱速、橫速以及回轉(zhuǎn)角速度誤差如表1所示。

可以看出，IEC62065模型達(dá)到穩(wěn)定回轉(zhuǎn)所需時(shí)間更長(zhǎng)，縱速誤差隨舵角增大而增大，縱、橫速誤差以及回轉(zhuǎn)角速度誤差較大，與原模型擬合度較低。

圖1 5°舵角下各參數(shù)時(shí)間歷史曲線Fig.1 The time curve of each parameter under the rudder angle of 5 degrees

對(duì)比兩模型可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于縱移運(yùn)動(dòng)，IEC62065模型中沒(méi)有考慮y軸方向的附加質(zhì)量對(duì)其的影響，將螺旋槳推進(jìn)力進(jìn)行了簡(jiǎn)單線性歸一化處理，將阻力簡(jiǎn)單定義為阻力系數(shù)和縱速的乘積；而MMG模型將x軸和y軸的附加質(zhì)量都考慮在內(nèi)，對(duì)螺旋槳推力以及阻力的求取都建立在深層次理論分析與廣泛的試驗(yàn)研究相結(jié)合的基礎(chǔ)之上，具有相當(dāng)?shù)木萚9]。對(duì)于橫移運(yùn)動(dòng)，IEC62065模型同樣存在上述問(wèn)題造成較大誤差。對(duì)于首向運(yùn)動(dòng)，本文在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中直接將IEC62065模型中的公式進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，忽略不穩(wěn)定系統(tǒng)γ，盡管該方法求取參數(shù)方便但忽略因素較多。

現(xiàn)對(duì)模型轉(zhuǎn)化方法做出改進(jìn)，在以上參數(shù)求取實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，保留求得的τv和τr值不變，隨舵角變化調(diào)整兩模型理論公式相差較大的縱移和首向運(yùn)動(dòng)方程中的參數(shù)，即τu和通過(guò)不斷對(duì)比試驗(yàn)，得到兩模型擬合度較高的參數(shù)取值，如表2所示。其他舵角下的參數(shù)取值可以參照此表進(jìn)行分段逼近求取。

圖2 25°舵角下各參數(shù)時(shí)間歷史曲線Fig.2 The time curve of each parameter under the rudder angleof 25 degrees

表1 兩模型在不同舵角下的縱速、橫速以及回轉(zhuǎn)角速度誤差Tab.1 The errors of longitudinal velocity，transverse velocity and rotational angular velocity of the two models under different rudder angles

按照表2的參數(shù)取值，得到兩模型在5°（見(jiàn)圖3）和25°（見(jiàn)圖4）舵角下的縱速、橫速以及首向角時(shí)間歷史曲線對(duì)比圖。

表2 IEC62065模型部分參數(shù)在不同舵角下的取值Tab.2 Values of someparametersof IEC62065 model under different rudder angles

圖3 5°舵角下各參數(shù)時(shí)間歷史曲線Fig.3 The timecurve of each parameter under the rudder angleof 5 degrees

在800 s以內(nèi)，不同舵角下船舶達(dá)到穩(wěn)定旋回后，兩模型的縱速、橫速以及回轉(zhuǎn)角速度誤差如表3所示。

可以看出，對(duì)參數(shù)值改進(jìn)后的IEC62065模型與原模型擬合度較高，縱速最大誤差為0.4%，橫速最大誤差為3.5%，回轉(zhuǎn)角速度最大誤差為1.2%，可以認(rèn)為兩模型具有較好的轉(zhuǎn)化效果。

圖4 25°舵角下各參數(shù)時(shí)間歷史曲線Fig.4 The time curve of each parameter under the rudder angleof 25 degrees

表3 兩模型在不同舵角下的縱速、橫速以及回轉(zhuǎn)角速度誤差Tab.3 The errors of longitudinal velocity，transverse velocity and rotational angular velocity of the two models under different rudder angles

4 結(jié)語(yǔ)

本文首次提出了復(fù)雜MMG模型轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)單IEC62065模型的方法，設(shè)計(jì)MMG模型的仿真試驗(yàn)求取IEC62065模型的相關(guān)參數(shù)值。通過(guò)兩模型仿真試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，將部分參數(shù)值隨舵角變化做出調(diào)整。試驗(yàn)結(jié)果表明，采用該方法得到了較好的模型轉(zhuǎn)化效果。