樹形圖及其拓展在多元抽象復合函數(shù)求導中的應用

張 偉

(江蘇海事職業(yè)技術學院，南京 211170)

一元復合函數(shù)求導法則又稱鏈式法則，不僅是因為其關系圖y-u-x像一條鏈子，也不僅是因為求導法則很困難，更重要的是因為想到鏈式法則就想到了繃斷的鎖鏈。通過該法則，可以掙脫求導問題的束縛，對很多類型的函數(shù)進行求導。將鏈式關系圖推廣到樹形圖，在理解多元復合函數(shù)求導法則的基礎上找到計算其二階偏導數(shù)的簡便方法。

1 普通樹形圖的使用方法及實例分析

1.1 多元函數(shù)與多元函數(shù)復合的情形

定理1：若函數(shù)u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在點(x,y)處具有對x及y的偏導數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對應點(u,v)處具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在點(x,y)處的兩個偏導數(shù)都存在，且有：

(1)

借助于復合函數(shù)的函數(shù)結構圖——樹形圖對復合函數(shù)求偏導數(shù)的過程進行分析。

因變量z是中間變量u,v的二元函數(shù)從z出發(fā)分出兩條線，u,v都是自變量x,y的二元函數(shù)，所以再各自分出兩條線，畫樹形圖，如圖1所示。

(圖1)

引入中間變量：u=x2y，v=x-y，則z=f(u,v)，樹形圖如圖1所示，從z到x有兩條路徑：z-u-x和z-v-x，根據(jù)定理1，有：

(圖2)

于是：

1.2 其他情形

復合函數(shù)的類型很多，不再一一列舉，選擇一種自變量本身又是中間變量的情況作為代表。

例如u=φ(x,y)在點(x,y)處具有對x及y的偏導數(shù)，z=f(u,x,y)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)z=f[φ(x,y),x,y]在點(x,y)處的兩個偏導數(shù)都存在。此時因變量z是中間變量u,x,y的二元函數(shù)，從z出發(fā)分出三條線，u是自變量x,y的二元函數(shù)，所以再分出兩條線，畫樹形圖如圖3所示。

(圖3)

從圖3可以看出，從z到x有兩條路徑：z-u-x和z-x，根據(jù)“鏈乘相加”，可得復合函數(shù)z=f[φ(x,y),x,y]對x的偏導數(shù)：

類似可得對y的偏導數(shù)：

2 樹形圖拓展及實例分析

(圖4)

根據(jù)拓展的樹形圖對例1進行分析。

解：引入中間變量：

u=x2y，v=x-y,則z=f(u,v)，

將上述偏導數(shù)寫在樹形圖上，如圖5所示。

(圖5)

(圖6)

根據(jù)拓展的樹形圖還可很容易處理自變量本身又是中間變量，甚至更復雜的情況。

(圖7)

(圖8)

引入拓展樹形圖，使求多元抽象復合函數(shù)導數(shù)變得容易理解和計算，極大地提高了學生的學習效率。