流體的旋渦特征提取方法綜述

邵緒強(qiáng)，劉藝林，楊 艷，林麗娜

(1. 華北電力大學(xué)控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，河北 保定 071003；2. 海軍裝備部裝備項(xiàng)目管理中心，北京 100071)

向量場(chǎng)數(shù)據(jù)可視化大多來(lái)自于對(duì)流場(chǎng)的模擬和觀察，在大部分情形下，向量場(chǎng)數(shù)據(jù)可看為流場(chǎng)數(shù)據(jù)[1]。

本文綜述從龐大的流體數(shù)據(jù)集中提取形成特征所需的流體信息的過(guò)程，即流體的特征提取過(guò)程。這些流體特征是對(duì)數(shù)據(jù)的抽象，通過(guò)只提取特征、從面向問(wèn)題的角度進(jìn)行數(shù)據(jù)縮減[2]，從而將可視化提升到更高的抽象級(jí)別[3]。該方法經(jīng)過(guò)較為復(fù)雜的提取特征，后續(xù)的可視化步驟將會(huì)較快地實(shí)現(xiàn)[4]。隨著計(jì)算機(jī)性能的不斷提高，基于特征和拓?fù)涮崛〉牧黧w可視化技術(shù)成為了新的研究熱點(diǎn)[5]。

流體特征可視化在醫(yī)學(xué)上應(yīng)用廣泛。在四維核磁共振成像的心臟血流方面，K?HLER等[6]發(fā)現(xiàn)部分疾病的嚴(yán)重程度與血流的某些特性(如渦流核心的位置、旋渦形狀和初始位置)有關(guān)，并用λ2方法定義旋渦，且提取主動(dòng)脈中的旋渦核心。實(shí)驗(yàn)中渦核呈球體，其半徑與旋渦強(qiáng)度成正比。文獻(xiàn)中通過(guò)使用四維PC-MRI采集技術(shù)實(shí)現(xiàn)可靠、實(shí)時(shí)的血流測(cè)量，從而對(duì)患者進(jìn)行血流動(dòng)力學(xué)定性和定量分析。目前，醫(yī)學(xué)研究人員正在研究旋渦等特征的流動(dòng)模式與不同病理的關(guān)系提取；在腦動(dòng)脈瘤風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估中，OELTZE-JAFRA等[7]發(fā)現(xiàn)血流中的旋渦與動(dòng)脈瘤破裂相關(guān)，通過(guò)提取渦核線來(lái)準(zhǔn)確繪制旋渦的觀測(cè)結(jié)果，在渦核線上標(biāo)注箭頭以示血流運(yùn)動(dòng)方向。

流體特征可視化在海洋、天氣、宇宙等研究領(lǐng)域也受到極大重視。CHELTON等[8]以旋渦的形式對(duì)10年來(lái)全球海洋的海面高度場(chǎng)進(jìn)行了分析，并用Okubo-Weiss準(zhǔn)則定義旋渦，將旋渦分為氣旋型和反氣旋型旋渦。由于噪聲和閾值的原因，無(wú)法識(shí)別弱渦；1983年，LUGT[9]在大氣中尋找颶風(fēng)，將物質(zhì)顆粒圍繞一個(gè)共同中心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)定義為旋渦；MARKOWSKI等[10]定義風(fēng)暴相對(duì)螺旋度(storm relative helicity, SRH)，發(fā)現(xiàn)其在時(shí)間和空間上均為高度可變的，并提出該參數(shù)用于預(yù)測(cè)風(fēng)暴方面時(shí)存在的缺陷；HADJIGHASEM和HALLER[11]提供了一種參考系不變性方法，從非定常流場(chǎng)中提取動(dòng)態(tài)拉格朗日相干結(jié)構(gòu)，并對(duì)木星及其他行星大氣中的旋渦邊界進(jìn)行探測(cè)。

流體的特征提取為特征可視化的首要步驟[1]，本文主要綜述流體中旋渦特征提取方法。旋渦的非正式定義反映了人的主觀直覺(jué)[12-13]，但至今仍很難正式給出旋渦的正式定義[14-16]，因此文獻(xiàn)中旋渦提取的依據(jù)各不相同。目前，常用的流體旋渦特征提取大致分為基于點(diǎn)、線、幾何曲線和基于機(jī)器學(xué)習(xí)的方法。

(1) 基于點(diǎn)的方法。基于樣本點(diǎn)處的物理量進(jìn)行計(jì)算，如根據(jù)壓力[17]或螺旋度[18]等物理量來(lái)提取旋渦，其特征通常是流體中的一個(gè)連通區(qū)域。該方法的缺陷，如難以區(qū)分較為集中的旋渦，大多數(shù)方法需要設(shè)置閾值，微小特征漏判等。近年來(lái)提出的Ω方法[19]對(duì)閾值和實(shí)驗(yàn)效果方面有突破性進(jìn)展。

(2) 基于線的方法。通過(guò)搜索渦核線(粒子做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所圍繞的線)進(jìn)而提取旋渦，其共性問(wèn)題是渦核線通常會(huì)被過(guò)度分割，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)效果降低。

(3) 基于幾何曲線的方法。通過(guò)流線或跡線的幾何特性進(jìn)行旋渦提取，其中曲率中心法和纏繞角度法，分別通過(guò)曲率趨于一點(diǎn)和角度累計(jì)達(dá)到2π等條件來(lái)提取旋渦區(qū)域。該方法時(shí)間復(fù)雜度較高，在三維空間的應(yīng)用仍需一定的改進(jìn)。

(4) 基于機(jī)器學(xué)習(xí)的方法。通過(guò)預(yù)先訓(xùn)練模型等方法有效提高了旋渦提取的精度，使用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(convolutional neural network, CNN)等方法提取流場(chǎng)中的旋渦，對(duì)傳統(tǒng)方法假陽(yáng)性、假陰性、時(shí)間復(fù)雜度較高等缺陷均有一定的改進(jìn)。

根據(jù)參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)類型可以將旋渦提取方法分為伽利略不變性、旋轉(zhuǎn)不變性和拉格朗日不變性。目前最理想的方法為拉格朗日不變性坐標(biāo)系下的旋渦提取，但提取效果提升的同時(shí)也存在一些問(wèn)題，如數(shù)據(jù)計(jì)算量過(guò)于龐大等。

與旋渦提取領(lǐng)域其他綜述性文章相比，本文除了闡述經(jīng)典方法外還著重介紹了近幾年來(lái)的新型旋渦提取方法，如Ω準(zhǔn)則、Rortex法、基于機(jī)器學(xué)習(xí)的方法等，讓研究者對(duì)其研究發(fā)展也有一定的深入了解。表1對(duì)常用的方法進(jìn)行總結(jié)。

表1 常用的旋渦提取方法匯總Table 1 Summary of commonly used vortex extraction methods

1 相關(guān)概念及旋渦提取方法

1.1 流線

流場(chǎng)中，每個(gè)點(diǎn)均與速度矢量相切的光滑曲線稱為流線。在描述流場(chǎng)時(shí)，可用流線簇的疏密程度表示矢量的大小。定常流中流線的位置和形狀不隨時(shí)間變化，即流線式為

其中，u，v，w為各方向的分量。

SALZBRUNN和SCHEUERMANN[20]提出流線謂詞概念，通過(guò)為每條流線設(shè)置一組謂詞定義流結(jié)構(gòu)，從而揭示三維流場(chǎng)中的旋渦問(wèn)題。ROBINSON等[39]認(rèn)為，若瞬時(shí)流線在垂直于渦核線平面上的投影大致呈圓形或螺旋狀，且該投影圖形與渦核線有相同的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)提取到旋渦。在特征可視化研究初期，該方法及其簡(jiǎn)單的特性被廣泛應(yīng)用，但因自我引用，想找到旋渦需預(yù)先計(jì)算出渦核線的位置，因此這種方法現(xiàn)實(shí)意義較小[40]。CHEN等[41]提出一種將向量場(chǎng)中的周期軌道和分離線作為初始流線的新方法。BANKS和SINGER[42]使用渦度場(chǎng)流線，根據(jù)垂直于渦核的平面內(nèi)的壓力最小值進(jìn)行旋渦提取。GARTH等[43]將流線拓展到流面，提出流面計(jì)算和確定渦核邊界的新方法，在流體進(jìn)行復(fù)雜運(yùn)動(dòng)時(shí)該方法也可以獲得精確結(jié)果。由于流場(chǎng)中存在大量流線，流線方法經(jīng)常出現(xiàn)漏選情況，ZHENG等[44]根據(jù)流線的幾何特征來(lái)判斷其類型并進(jìn)行分類，該方法能有效篩選多余流線，提高可讀性。

1.2 跡線

流場(chǎng)中，流體粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)描繪的軌跡曲線稱為跡線。在定常流中，跡線等同于流線；在非定常流中，與流線不同，跡線的位置和形狀隨時(shí)間變化。在此需要區(qū)分流線和跡線的性質(zhì)，流線由同一時(shí)間步長(zhǎng)下的各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)組成，跡線由同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)間步長(zhǎng)下的位置組成。

大多數(shù)情況下，非定常流比定常流更接近自然現(xiàn)象，但是非定常流的計(jì)算復(fù)雜度較大。隨著計(jì)算機(jī)性能的不斷提高，人們也逐漸開(kāi)始研究非定常流中的旋渦提取。

跡線可表示為

WEINKAUF等[28]將Sujudi&Haimes法[27]推廣到跡線，加入時(shí)間維度后，跡線表示為

根據(jù)非定常流中跡線的特征提取旋渦。

類似于流線謂詞，SALZBRUNN等[21]將跡線分為受旋渦影響的跡線和其余跡線2部分。文獻(xiàn)[21]定義了基于跡線謂詞的框架，根據(jù)跡線是否具有特定的屬性為每個(gè)跡線設(shè)置布爾值，因此每個(gè)謂詞可以將跡線分為兩類；結(jié)合布爾代數(shù)可以將跡線進(jìn)行更精確的分類，從而對(duì)不同的跡線結(jié)構(gòu)進(jìn)行更精確的定義。

1.3 平行向量場(chǎng)

PEIKERT和ROTH[22]在1999年引入平行向量場(chǎng)的概念，通過(guò)設(shè)定約束C=V×W=0找出2個(gè)向量場(chǎng)V和W平行的點(diǎn)的位置，該方法相當(dāng)于求出V和W叉積運(yùn)算的零等值面。在二維中，返回孤立點(diǎn)；在三維中，返回渦核線，如圖1所示。

圖1 三維中的平行向量場(chǎng)[30]Fig. 1 Parallel vector field in three-dimensional[30]

平行向量場(chǎng)的提出為旋渦提取領(lǐng)域提供了更簡(jiǎn)潔的方法，可以對(duì)大多數(shù)旋渦提取方法重新定義并簡(jiǎn)化計(jì)算步驟。PEIKERT和ROTH[22]通過(guò)計(jì)算v||(?v)v找到局部曲率為零的點(diǎn)。其中，v為速度；?v為速度梯度；SCHINDLER等[30]計(jì)算平行向量場(chǎng)找出渦核線種子點(diǎn)。

ROTH和PEIKERT[29]提出了一種使用平行向量提取渦核線的方法，利用對(duì)速度矢量v進(jìn)行二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，即

可實(shí)現(xiàn)對(duì)彎曲旋渦的定位。

1.4 矢量場(chǎng)拓?fù)?/h3>

矢量場(chǎng)拓?fù)鋄45-47]由臨界點(diǎn)和由臨界點(diǎn)發(fā)出或指向臨界點(diǎn)的積分曲線構(gòu)成，用于清晰明了地表示場(chǎng)信息。1989年，HELMAN和HESSELINK[47]將矢量場(chǎng)拓?fù)浞椒ㄓ糜诳梢暬I(lǐng)域，并將臨界點(diǎn)定義為矢量大小為零的點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算雅可比矩陣特征值判斷臨界點(diǎn)的類型：2個(gè)特征值實(shí)部為正對(duì)應(yīng)排斥狀，和負(fù)對(duì)應(yīng)吸引狀，一正一負(fù)對(duì)應(yīng)鞍狀；特征值具有虛部對(duì)應(yīng)旋渦狀，實(shí)部的正負(fù)對(duì)應(yīng)旋出和旋入，實(shí)部為零時(shí)旋轉(zhuǎn)曲線近似閉合。如圖2所示。

圖2 矢量場(chǎng)拓?fù)浞诸悎D[47]Fig. 2 Topological classification of vector field[47]

KASTEN等[23]利用矢量場(chǎng)拓?fù)湓O(shè)計(jì)一種魯棒的旋渦邊界提取算法，根據(jù)局部加速度最小找到臨界點(diǎn)。由于加速度為伽利略不變量，適用于較多文獻(xiàn)的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景，但是仍高度依賴參考坐標(biāo)系。MAHROUS等[48]提出了一種基于Sperner定理的渦核區(qū)域提取方法，該方法觀察每個(gè)網(wǎng)格單元邊界處的向量，以此分析向量場(chǎng)。速度矢量在旋渦附近表現(xiàn)出特定的形式，通過(guò)搜索這些形式找到旋渦。BUJACK等[49]在矢量場(chǎng)中建立局部參考系，同一時(shí)間步長(zhǎng)下在流場(chǎng)不同區(qū)域中使用不同的坐標(biāo)系，根據(jù)雅可比矩陣行列式極值提取臨界點(diǎn)。在三維中，矢量場(chǎng)拓?fù)淙杂泻芎玫膶?shí)用性，HELMAN和HESSELINK[50]證明當(dāng)存在2個(gè)復(fù)特征值時(shí)，總會(huì)存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的實(shí)特征值，由此可在三維空間中得到焦點(diǎn)或中心點(diǎn)，從而提取旋渦。

1.5 旋渦新定義——旋渦矢量(Rortex)

由于至今仍沒(méi)有給出旋渦的明確定義，導(dǎo)致研究人員在各自的旋渦提取方法中的判斷依據(jù)各不相同，為初學(xué)者造成理解的混亂。

LUGT[9]對(duì)旋渦定義是：許多粒子圍繞一個(gè)共同的中心旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)。盡管其與視覺(jué)上的直接觀測(cè)結(jié)果表述類似，但不適于設(shè)計(jì)旋渦提取算法。

目前大多數(shù)旋渦提取方法將速度梯度張量(雅可比矩陣)的特征值作為判斷條件。這些基于特征值的方法存在幾個(gè)不可避免的問(wèn)題，如旋轉(zhuǎn)軸的識(shí)別過(guò)程性能較差，存在剪切力的影響等。為了解決以上問(wèn)題，從數(shù)學(xué)的角度出現(xiàn)了一個(gè)基于特征向量的矢量，稱為旋渦矢量[51]，其大小與垂直于旋轉(zhuǎn)軸平面中的旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度有關(guān)，方向由速度梯度矩陣的實(shí)特征向量確定，表示旋渦的旋轉(zhuǎn)軸。根據(jù)旋渦矢量的定義，將旋渦定義為旋渦矢量為正數(shù)的流通區(qū)域。

由于該方法并非基于流體動(dòng)力學(xué)，因此無(wú)論是不可壓縮還是可壓縮流體，旋渦矢量均可以準(zhǔn)確地提取旋渦。該方法還有另一優(yōu)點(diǎn)，Rortex法中的旋渦矢量可以同時(shí)表示旋渦的旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度和旋轉(zhuǎn)方向，這是眾多標(biāo)量方法無(wú)法做到的。

文中提出的快速計(jì)算Rortex算法可以準(zhǔn)確地描述局部流體的旋轉(zhuǎn)，能清晰地顯示旋渦結(jié)構(gòu)。TIAN等[52]對(duì)算法進(jìn)行優(yōu)化后，Rortex算法與λ2準(zhǔn)則的計(jì)算時(shí)間大致相同。在后期研究中，GAO和LIU[24]發(fā)現(xiàn)剪切力對(duì)復(fù)特征值的虛部有一定的影響，而基于Rortex的方法可以進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量。

2 流體旋渦特征提取傳統(tǒng)方法分類

2.1 基于點(diǎn)的方法

2.1.1 基于局部物理量滿足閾值要求提取旋渦

該類方法中，閾值的取值極大地影響了實(shí)驗(yàn)效果。在早期研究中，HUNT等[17]在定常無(wú)粘性的二維流體中定義旋渦區(qū)、匯合區(qū)和流動(dòng)區(qū)。通過(guò)局部壓力最小值提取旋渦區(qū)域，設(shè)置約束P≤Pthresh來(lái)找到滿足條件的區(qū)域，其中，Pthresh為人為設(shè)置的閾值，并將該低壓區(qū)域定義為旋渦區(qū)。

后期研究證明局部壓力最小不能保證存在旋渦，反之亦然，流體其他的特性也有可能引起旋渦，如螺旋度、渦度等，因此目前一般不采用壓力法進(jìn)行旋渦提取，但其為旋渦提取領(lǐng)域提供了一個(gè)良好的開(kāi)端。

螺旋度一般由速度、渦度等物理量計(jì)算[53-54]。該方法通過(guò)局部區(qū)域螺旋度達(dá)到局部區(qū)域絕對(duì)值最大值來(lái)提取旋渦。LEVY等[18]將螺旋度密度Hd、螺旋度H和單位化螺旋度Hn應(yīng)用于旋渦提取中，即

其中，ω為渦度。

由式(5)可知，螺旋度密度的符號(hào)由速度矢量和渦量矢量夾角余弦的符號(hào)決定，螺旋度密度較大則表示速度和渦度之間的夾角較小。通過(guò)單位化螺旋度在最小曲率流線上達(dá)到局部區(qū)域絕對(duì)值最大值來(lái)確定渦核區(qū)域位置，由時(shí)間上反向積分找到奇異點(diǎn)(速度為零的點(diǎn))來(lái)確定旋渦開(kāi)始位置，積分得到的曲線即旋渦旋轉(zhuǎn)軸。該方法解決了由低渦度流場(chǎng)區(qū)域，以及速度矢量和渦度之間的角度較大(如邊界層)的高渦度低速區(qū)域引起的誤判問(wèn)題。

螺旋度法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是螺旋度歸一化到[-1,1]的范圍，用于確定渦軸方向。但是該方法無(wú)參考系不變性，因此其只能應(yīng)用于定常流或固定某一幀的旋渦提取。且該方法不考慮某些特殊情況，如Hn分母為0等。

2.1.2 基于速度梯度提取旋渦

渦度作為一個(gè)伽利略不變量，與流體粒子的角速度有關(guān)，然而渦度不能區(qū)分純剪切運(yùn)動(dòng)與旋渦的實(shí)際旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，因此不適合用作旋渦提取。目前基于對(duì)速度梯度?v=Ω+S及其對(duì)稱部分Ω和反對(duì)稱部分S的一類方法應(yīng)用廣泛。該類方法采用由HUNT[25]提出Q準(zhǔn)則。ZHOU等[55]提出

得出P，Q，R的關(guān)系。其中，P，Q，R由速度梯度?v

導(dǎo)出。其中，tr為矩陣的跡；det為行列式的絕對(duì)值，且

其中，Ω為對(duì)稱部分，表示旋轉(zhuǎn)率張量；S為反對(duì)稱部分，表示應(yīng)變率張量。若Q＞0，則代表旋轉(zhuǎn)力克服應(yīng)變力，另外要求旋渦區(qū)域壓力低于環(huán)境壓力，由這2個(gè)條件直接提取出旋渦結(jié)構(gòu)。該方法僅適用于強(qiáng)渦實(shí)驗(yàn)環(huán)境，提取弱渦時(shí)有一定誤差。

JEONG和HUSSAIN[26]提出λ2方法(第二大復(fù)特征值方法)。速度梯度?v可分解為

由于S2+Ω2為對(duì)稱矩陣，因此只有實(shí)特征值。若S2+Ω2的3個(gè)特征值滿足第二大特征值小于0，則該位置存在旋渦，并且λ2越小，渦度越大，通過(guò)λ2局部最小確定旋渦位置。該方法的缺點(diǎn)是，在旋渦密集區(qū)域識(shí)別單個(gè)旋渦的難度較大。

目前大多數(shù)基于點(diǎn)的方法過(guò)度依賴閾值，對(duì)于同一個(gè)流體，閾值的選取會(huì)導(dǎo)致不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果?；诖耍琇IU等[19]提出了Ω準(zhǔn)則來(lái)減小閾值對(duì)實(shí)驗(yàn)效果的影響，后期被歸結(jié)為第三代旋渦提取方法[56]，如圖3所示。

圖3 Q準(zhǔn)則不同閾值下的結(jié)果對(duì)比，t=6.8 T ((a) Q=0.001;(b) Q=0.0001; (c) Q=0.01)[19]Fig. 3 Comparison of results under different thresholds of Q criterion, t=6.8 T ((a) Q=0.001; (b) Q=0.0001; (c) Q=0.01)[19]

對(duì)于Q準(zhǔn)則和λ2準(zhǔn)則等方法，目前仍然沒(méi)有一個(gè)閾值能適合所有的旋渦場(chǎng)景。經(jīng)過(guò)ZHANG等[57]的多次驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，對(duì)于Q準(zhǔn)則實(shí)驗(yàn)，Q=0.001最優(yōu)；對(duì)于λ2準(zhǔn)則實(shí)驗(yàn)，λ2=-0.001為最優(yōu)。相比而言，Ω準(zhǔn)則不需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)效果來(lái)尋找最適合的閾值，后期研究發(fā)現(xiàn)，Ω=0.52時(shí)，對(duì)所有場(chǎng)景均表現(xiàn)出較好的適應(yīng)性。

LIU等[19]將Ω準(zhǔn)則定義如下：先將式(9)重寫(xiě)為

設(shè)

其中，tr是矩陣的跡，另定義一個(gè)比值形式，其中，ε為趨于0的正數(shù)，確保除數(shù)非零。實(shí)驗(yàn)表明，結(jié)果對(duì)Ω的取值并不敏感，一定程度上解決過(guò)度依賴閾值的問(wèn)題。

該方法重新討論流體速度場(chǎng)分解并將其進(jìn)一步分解為旋渦部分和非旋渦部分，將Ω的物理意義定義為渦度與渦核內(nèi)部整體渦度的比值，表明當(dāng)旋轉(zhuǎn)力強(qiáng)于應(yīng)變力時(shí)將形成旋渦，Q準(zhǔn)則和λ2準(zhǔn)則對(duì)于等值面的物理意義描述則較為模糊。

2.1.3 基于點(diǎn)的方法的問(wèn)題

大多數(shù)方法過(guò)度依賴閾值的選取，缺乏普適性；提取弱渦時(shí)容易出現(xiàn)假陰性；在參考系變換時(shí)效果較差，后期研究對(duì)此點(diǎn)進(jìn)行改進(jìn)，將Q準(zhǔn)則和λ2等經(jīng)典方法嵌入?yún)⒖枷挡蛔冃灾校沪笢?zhǔn)則解決了閾值問(wèn)題，但也存在假陽(yáng)性和假陰性，ε的取值對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果也有一定的影響。后期工作中，許多基于點(diǎn)的方法被賦予新的使用限制[58]。

2.2 基于線的方法

2.2.1 特征向量法

SUJUDI和HAIMES[27]提出在三維矢量場(chǎng)中提取旋渦的算法，認(rèn)為存在渦核線需要滿足2個(gè)條件：①雅可比矩陣有一個(gè)實(shí)特征值和一對(duì)共軛復(fù)特征值；②滿足w=u-(u·n)n=0，其中，u為該點(diǎn)速度矢量，n為實(shí)特征值對(duì)應(yīng)的單位特征向量。

該方法首先需要找到臨界點(diǎn)，即相對(duì)于觀察者速度為零的點(diǎn)。在該點(diǎn)計(jì)算雅可比矩陣特征值，若存在一個(gè)實(shí)特征值和一對(duì)共軛復(fù)特征值，即

其中，ui為該點(diǎn)速度矢量；Ci為插值所需參考點(diǎn)的速度矢量。此步驟相當(dāng)于將速度投影到與實(shí)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量垂直的平面上。結(jié)果為零意味著此處粒子僅沿著特征向量方向移動(dòng)而不旋轉(zhuǎn)，由此得到渦核位置。該方法為基于線的方法研究提供了良好的基礎(chǔ)，但是存在特征值和特征向量復(fù)雜運(yùn)算，線性插值步驟存在誤差等問(wèn)題；并且KENWRIGHT和HAIMES[59]發(fā)現(xiàn)特征向量法提取的特征易受其他向量特征影響，若2個(gè)旋渦距離較近，提取的旋渦結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生一定角度的偏離。

通常平行向量法中至少一個(gè)向量會(huì)涉及速度梯度，對(duì)于Sujudi & Haimes法，有幾種平行向量[60]形式。

PEIKERT和ROTH[22]使用平行向量，將Sujudi & Haimes法的特征矢量法等價(jià)表示為v||Jv，相比于求解矩陣的特征值和特征向量，矩陣相乘運(yùn)算的復(fù)雜度要小得多；FUCHS等[61]將as||u作為判斷依據(jù)，其中，as=?v·u，實(shí)特征值對(duì)應(yīng)的單位特征向量n||u。同理，若將速度梯度?vi(i=1,2,3)作為粒子屬性，可將Levy方法表示為

對(duì)于WEINKAUF等[28]的方法，可改寫(xiě)為

THEISEL和SEIDEL[62]引入特征流場(chǎng)框架，該方法通過(guò)將非定常流轉(zhuǎn)換為高維定常流進(jìn)行計(jì)算。WEINKAUF等[28]引入特征流場(chǎng)，將Sujudi &Haimes法的特征矢量法從流線推廣到跡線。由于在非定常流中需要考慮時(shí)間，因此時(shí)間維度需加入到計(jì)算中。通過(guò)對(duì)一維和二維空間的推論，用式(3)表示非定常三維流場(chǎng)中的跡線，雅可比矩陣具有e1，e2，e3，0等4個(gè)特征值和各自對(duì)應(yīng)的特征向量，即

在旋渦區(qū)域，要求其中2個(gè)特征值e1，e2為復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的2個(gè)特征向量所在面即為旋渦平面。由共面性質(zhì)可得，其中，。即

再使用平行向量場(chǎng)搜索所有a||b的點(diǎn)，最終找到渦核。

ROTH和PEIKERT[29]提出了一種利用二階導(dǎo)數(shù)提取渦核線的方法，即發(fā)現(xiàn)特征向量法實(shí)質(zhì)上是找到加速度a與速度v平行的點(diǎn)，或者曲率為零的點(diǎn)。一階導(dǎo)數(shù)加速度a和二階導(dǎo)數(shù)b被定義為Jv和速度對(duì)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

文獻(xiàn)中為渦核線提出了2個(gè)新的屬性：旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度和解的質(zhì)量；將雅可比矩陣復(fù)特征值的虛部作為旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度，將渦核與速度矢量之間夾角的余弦作為解的質(zhì)量，對(duì)于實(shí)際旋渦而言，這個(gè)角度應(yīng)該小于一定值。這2個(gè)新的屬性使得用戶可以對(duì)渦施加新的閾值，以消除弱渦。該方法還引入平行向量場(chǎng)，由此還可與脊線等方法結(jié)合。

2.2.2 預(yù)測(cè)校正方法

SCHINDLER等[30,63]提出一種直接在SPH數(shù)據(jù)上提取渦核線的算法，即將其分為種子點(diǎn)生成和預(yù)測(cè)校正2部分。

種子點(diǎn)生成部分需要考慮整體數(shù)據(jù)集，該部分極大限制了算法的性能。平行向量計(jì)算步驟中，該方法未進(jìn)行常規(guī)SPH方法的插值計(jì)算，而是直接使用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平行向量計(jì)算以降低復(fù)雜度，經(jīng)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)誤差可以忽略。

預(yù)測(cè)校正部分通過(guò)計(jì)算平行向量c=(c1,c2,c3)=v×w，并求解梯度?c1，?c2，?c3找出叉積?ci×?cj最大的一對(duì)i和j，該叉積的方向即為預(yù)測(cè)方向。若給定一點(diǎn)x，校正點(diǎn)x′=x+s?ci+t?cj，其中，s和t的值由

得出，再計(jì)算校正點(diǎn)。

與LEVY等[18]、SUJUDI和HAIMES[27]、FUCHS等[61]、WEINKAUF等[28]4種方法優(yōu)劣勢(shì)進(jìn)行對(duì)比。該方法在降低時(shí)間復(fù)雜度方面做出許多改進(jìn)，如直接使用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平行向量計(jì)算避免復(fù)雜的插值運(yùn)算；設(shè)置容錯(cuò)濾波和旋渦強(qiáng)度，在雅可比矩陣具有虛特征值并且渦核線和速度矢量角度小于45°時(shí)識(shí)別旋渦，從而過(guò)濾微弱特征等。在輸出效果上，設(shè)置最大連續(xù)次數(shù)防止渦核線過(guò)度分割(圖4)，并選用三次插值實(shí)現(xiàn)渦核線平滑處理。

2.2.3 基于線的方法的問(wèn)題

該類方法要對(duì)數(shù)據(jù)集中滿足條件的各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行求解雅可比矩陣特征值等計(jì)算，并連接起來(lái)形成渦核線特征，在連接和計(jì)算過(guò)程中存在特征過(guò)度分割、時(shí)間復(fù)雜度較高等難于解決的問(wèn)題。預(yù)測(cè)校正法中提到設(shè)置最大連續(xù)次數(shù)以保持連續(xù)性[30]，但仍然需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)效果來(lái)人為控制連續(xù)次數(shù)大小；CABRAL等[64-65]結(jié)合LIC方法、λ2準(zhǔn)則來(lái)提取渦核線，并且用矢量箭頭來(lái)表示粒子旋轉(zhuǎn)方向。

2.3 基于幾何曲線的方法

2.3.1 曲率中心法

該方法由SADARJOEN等[31-32]提出。首先對(duì)二維流體進(jìn)行采樣，形成能覆蓋流體的大量流線。確定每個(gè)采樣點(diǎn)的曲率中心(圖5(a))，對(duì)于旋渦區(qū)域，曲率中心會(huì)趨于一點(diǎn)；對(duì)于非旋渦區(qū)域，曲率中心無(wú)規(guī)則性(圖5(b))。由曲率中心點(diǎn)網(wǎng)格化形成曲率中心密度(curvature center density, CCD)標(biāo)量場(chǎng)，再通過(guò)設(shè)置閾值CCD＞0.8CCDmax來(lái)找到旋渦區(qū)域。該方法同樣存在閾值和弱渦問(wèn)題，并且真實(shí)流體中相鄰旋渦的相互作用導(dǎo)致流線形狀不規(guī)則，存在峰值丟失等問(wèn)題。

圖4 Levy標(biāo)準(zhǔn)(黃色)的渦核線是相連的，F(xiàn)uchs方法的渦核線(紅色)被分割為2個(gè)較短部分[63]Fig. 4 The vortex core lines of levy (yellow) are connected, and the vortex core lines (red) of fuchs are divided into two shorter parts[63]

圖5 旋渦區(qū)域與非旋渦區(qū)域[32]Fig. 5 Vortex region and non-vortex region[32]

2.3.2 纏繞角度法

SADARJOEN等[31-32]提出纏繞角概念，在二維流體中選取滿足一定旋轉(zhuǎn)條件的流線來(lái)提取旋渦。設(shè)Si為二維流體中的流線，纏繞角為

其中，Si由點(diǎn)Pi，j和線段(Pi，j，Pi，j+1)組成，∠(A，B，C)為線段AB和BC之間的夾角。滿足如下2個(gè)條件時(shí)存在旋渦：①流線的纏繞角為2π時(shí)得到旋渦，不完全等于2π時(shí)得到弱渦[66]；②流線的起始點(diǎn)在終止點(diǎn)附近(由閾值判斷)。

該方法大致分為聚類和量化2個(gè)步驟。聚類部分將屬于同一旋渦的流線歸為一組，與屬于其他旋渦的流線進(jìn)行區(qū)分；量化部分計(jì)算采樣點(diǎn)和旋渦的屬性，如流線中心、方向、角速度等。與曲率中心法相比，纏繞角度法時(shí)間復(fù)雜度較高，但在一定程度上可以克服弱渦問(wèn)題。葉靈偉和馮威[67]提到可通過(guò)跟蹤流線上的關(guān)鍵點(diǎn)附近區(qū)域的流線來(lái)避免全局搜索，降低時(shí)間復(fù)雜度。江俊等[68]選取已提取出的局部對(duì)稱中心處3×3流線方向場(chǎng)模塊I替換式(19)中的Pi，j來(lái)計(jì)算纏繞角度值，實(shí)驗(yàn)證明該方法具有較好的穩(wěn)定性。

2.3.3 基于幾何曲線的方法的問(wèn)題

經(jīng)典方法同樣受限于閾值，并且時(shí)間復(fù)雜度相對(duì)較高，不能直接擴(kuò)展到三維空間。對(duì)于三維空間問(wèn)題，REINDERS等[69]改進(jìn)纏繞角度法，在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)下的每個(gè)水平面中提取二維旋渦并逐一進(jìn)行連接構(gòu)造三維渦管。使用特征跟蹤方法[70-71]進(jìn)行實(shí)時(shí)跟蹤，從而在連續(xù)的時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)提取實(shí)時(shí)三維旋渦。JIANG等[72]在三維空間中考慮渦核曲率，沿每個(gè)點(diǎn)處的流線計(jì)算探測(cè)向量來(lái)探測(cè)渦核在特定點(diǎn)的方向矢量，在測(cè)量過(guò)程中提供了必要的曲率信息，該方法適應(yīng)于非定常流的渦核提取。陳麗娜和楊冠杰[73]提出角度函數(shù)法，用于快速提取渦核區(qū)域，通過(guò)設(shè)置β表示樣本點(diǎn)處矢量方向按一定規(guī)則變化的程度，β極小點(diǎn)即為渦核點(diǎn)。該方法只能判別大致的渦核區(qū)域，但可以很好地解決時(shí)間復(fù)雜度問(wèn)題。

3 基于機(jī)器學(xué)習(xí)的流體旋渦提取方法

3.1 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法

XU等[33]設(shè)計(jì)了一種三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行流場(chǎng)的智能化特征提取。該方法利用臨界點(diǎn)理論，將流場(chǎng)拓?fù)錁?gòu)成分為臨界點(diǎn)和連接臨界點(diǎn)的積分曲線，因此識(shí)別速度與臨界點(diǎn)有密切關(guān)系。在臨界點(diǎn)提取部分，采用Marching Cubes算法，認(rèn)為當(dāng)某個(gè)網(wǎng)格單元的4個(gè)頂點(diǎn)的8個(gè)矢量分量同時(shí)存在符號(hào)相反時(shí)，網(wǎng)格內(nèi)存在臨界點(diǎn)。計(jì)算三層結(jié)構(gòu)中隱含層和輸出層輸出值，再計(jì)算輸入樣本與各類的誤差值，其中，dki為第k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類的第i個(gè)理想輸出，yi為實(shí)際輸出。取其中的最小值Ev，若小于給定閾值，則認(rèn)為是第v個(gè)流場(chǎng)特征。

在時(shí)間復(fù)雜度方面，訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為預(yù)處理過(guò)程可以忽略不計(jì)；特征提取部分的復(fù)雜度為O(PLM)，其中P為候選樣本區(qū)域，L為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)，M為輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)表明，該方法顯著減少了數(shù)據(jù)計(jì)算量，并且可以較好地突出流場(chǎng)特征。

3.2 基于CNN的方法

文獻(xiàn)[34]提出了一種基于CNN的特征可視化方法，主要研究了二維流場(chǎng)的特征可視化。該方法可以提取流場(chǎng)中用戶所需的典型特征和非典型特征并加以分類。與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，CNN具有較好的識(shí)別性，可以有效處理弱渦、變形、平移等情況。

該方法主要分為數(shù)據(jù)預(yù)處理、特征區(qū)預(yù)選和區(qū)域劃分3個(gè)部分。數(shù)據(jù)預(yù)處理部分主要記錄橫縱坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的水平垂直速度分量并對(duì)矢量大小進(jìn)行顏色映射，再通過(guò)

對(duì)矢量數(shù)據(jù)進(jìn)行單位化。特征區(qū)預(yù)選部分在水平和垂直方向平移窗口矩陣來(lái)分割矢量矩陣，將具有相同大小的樣本矩陣作為訓(xùn)練后的CNN模型的輸入。并判斷其特征類別，可將所有具備相同特征的區(qū)域歸為一類。根據(jù)矢量拓?fù)淅碚摽芍槙r(shí)針渦、逆時(shí)針渦和鞍形特征都包含臨界點(diǎn)，因此候選區(qū)預(yù)選部分主要搜索矢量矩陣的臨界點(diǎn)。同2.4.1節(jié)中搜索臨界點(diǎn)的方法類似，網(wǎng)格單元4個(gè)頂點(diǎn)的矢量分量在水平和垂直方向至少正負(fù)轉(zhuǎn)換一次時(shí)存在臨界點(diǎn)，以該網(wǎng)格為中心的樣本矩陣作為后續(xù)識(shí)別的候選區(qū)域。通過(guò)掃描整個(gè)數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)矩陣來(lái)獲得臨界點(diǎn)的大致位置，由此得到候選點(diǎn)列表。區(qū)域劃分部分由每個(gè)候選點(diǎn)得到待識(shí)別矩陣，再經(jīng)訓(xùn)練后的CNN模型進(jìn)行識(shí)別，并將結(jié)果存入特征列表用于后續(xù)可視化。

實(shí)驗(yàn)表明該方法精度高達(dá)96.67%，效果優(yōu)于BP方法，但其需要用戶進(jìn)行多項(xiàng)干預(yù)才能使CNN模型達(dá)到較好的識(shí)別效果，具有主觀性。

DENG等[35]提出了一種具有更高的精度和有效召回率的客觀旋渦提取方法。該方法包括預(yù)處理和渦網(wǎng)2個(gè)部分。

預(yù)處理部分將物理平面上的非均勻網(wǎng)格轉(zhuǎn)換為均勻網(wǎng)格從而得到其位置和速度信息，使用IVD[74]全局方法標(biāo)記流場(chǎng)中的點(diǎn)，用0代表非旋渦點(diǎn)，1代表旋渦點(diǎn)，在歸一化速度場(chǎng)附近的局部區(qū)域進(jìn)行采樣，將這些局部區(qū)域和全局標(biāo)簽作為第2部分的數(shù)據(jù)輸入。通過(guò)該步驟，可以近似達(dá)到全局方法的效果。渦網(wǎng)部分訓(xùn)練CNN模型，直接將測(cè)試區(qū)域進(jìn)行輸入，通過(guò)渦網(wǎng)得到識(shí)別結(jié)果，從而將輸入數(shù)據(jù)分為旋渦點(diǎn)和非旋渦點(diǎn)。

該方法進(jìn)行了多組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，如在不同尺寸和形狀的流場(chǎng)中驗(yàn)證通用性；與局部方法和全局方法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證識(shí)別精度和速度；與傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)算法相比，可以更好地反映旋渦的分離運(yùn)動(dòng)。

3.3 基于機(jī)器學(xué)習(xí)方法的問(wèn)題

傳統(tǒng)的特征提取方法大多數(shù)只能提取單一特征，并且需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，因此基于機(jī)器學(xué)習(xí)的旋渦提取方法的優(yōu)勢(shì)逐漸展現(xiàn)出來(lái)。模型可在預(yù)處理部分進(jìn)行訓(xùn)練和學(xué)習(xí)，實(shí)際提取時(shí)可忽略訓(xùn)練的時(shí)間；訓(xùn)練后的模型可以應(yīng)用到類似的其他流場(chǎng)中；相比于傳統(tǒng)的局部和全局提取方法，有更高的精度和速度。

但是，其局限性也需在后續(xù)的研究中加以改進(jìn)。旋渦識(shí)別階段很難得到用來(lái)提取旋渦的標(biāo)記數(shù)據(jù)，由于缺乏旋渦的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，使得訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)具有一定的缺陷；在提取精度方面，KIM和GüNTHER[75]在訓(xùn)練數(shù)據(jù)時(shí)添加噪聲并且重采樣；模型的通用性較弱，流場(chǎng)的尺寸不定，而部分模型(如CNN)卻需要固定大小的輸入；數(shù)據(jù)計(jì)算量較大，相比于局部方法，在有高精度的同時(shí)仍需要更低的時(shí)間復(fù)雜度。LIU等[76]提出了一種基于CNN的沖擊波提取方法，訓(xùn)練包含多個(gè)卷積層的提取網(wǎng)絡(luò)，該方法具有較好的提取效率和結(jié)果。WANG等[77]提出全卷積分割網(wǎng)絡(luò)旋渦識(shí)別方法，在保證精度的同時(shí)減少參數(shù)數(shù)量并降低計(jì)算復(fù)雜度；大多數(shù)方法的訓(xùn)練集缺乏權(quán)威性，DUO等[78]對(duì)少量由海洋學(xué)專家確認(rèn)的精確旋渦樣本進(jìn)行增強(qiáng)以生成訓(xùn)練集，構(gòu)建自動(dòng)識(shí)別定位網(wǎng)絡(luò)OEDNet。

4 參考系不變性

旋渦提取方法可以根據(jù)參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)的類型分為伽利略不變性、旋轉(zhuǎn)不變性和拉格朗日不變性。不變性是指實(shí)驗(yàn)結(jié)果(識(shí)別的旋渦結(jié)構(gòu))不隨參考系的變化而出現(xiàn)假陽(yáng)性和假陰性。

大多數(shù)旋渦提取方法中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果依賴于觀察者的運(yùn)動(dòng)，如圖6所示。飛行員以不同的路徑在矢量場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)觀察到的場(chǎng)景不同。在標(biāo)量計(jì)算中，實(shí)現(xiàn)參考系不變性較為容易，例如兩輛同向行駛的列車，以其中一輛列車為坐標(biāo)系，另一輛的運(yùn)動(dòng)距離即為該列車原本的運(yùn)動(dòng)距離減去參考列車的運(yùn)動(dòng)距離。對(duì)于矢量而言，不同參考系的選擇會(huì)影響旋渦測(cè)量的結(jié)果，如圖7所示。在參考系向右移動(dòng)時(shí)，抵消部分速度，才能顯示旋渦。

圖6 使用線積分卷積和跡線(黑色較粗)示出3種不同的參考系運(yùn)動(dòng)，分別為靜止、線性平移和沿正弦曲線移動(dòng)[79]Fig. 6 Three different reference frame motions are shown using line integral convolution and pathlines (thicker black),which are static, linear translation, and moving along a sinusoidal curve[79]

圖7 不同參考坐標(biāo)系下的對(duì)比[80]Fig. 7 Comparison under different reference frames[80]

旋渦提取方法可根據(jù)參考系的不同分別選取伽利略不變性、拉格朗日性不變性和旋轉(zhuǎn)不變性，如圖8所示。其中，線代表粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，即跡線；箭頭為粒子速度分量方向。伽利略不變性適用于提取等速平移的參考坐標(biāo)系下的旋渦結(jié)構(gòu)(圖8(a))；旋轉(zhuǎn)不變性適于提取繞固定旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的旋渦結(jié)構(gòu)(圖8(b))；拉格朗日不變性可以保證無(wú)論參考系做任何旋轉(zhuǎn)或平移變換均能得到一致的旋渦結(jié)構(gòu)(圖8(c))。

圖8 參考系變換下的3種不變量[36]Fig. 8 The three invariants under the transformation of reference frame[36]

4.1 伽利略不變性

參考系以

進(jìn)行變化時(shí)，其中，c0為常數(shù)點(diǎn)；c為常向量，若實(shí)驗(yàn)結(jié)果不隨參考系變化，則具有伽利略不變性。

有部分物理量具有伽利略不變性，如加速度、雅可比矩陣等。任何只計(jì)算加速度、雅可比矩陣或其導(dǎo)數(shù)的方法均具有伽利略不變性。如：Q準(zhǔn)則、λ2準(zhǔn)則等。伽利略不變性在近年的旋渦提取中應(yīng)用廣泛，JEONG和HUSSAIN[26]強(qiáng)調(diào)了伽利略不變性的重要性。SAHNER等[3]提出了利用平行向量提取伽利略不變渦區(qū)量的脊線或谷線方法。該方法可以應(yīng)用于三維空間，通過(guò)將脊線或谷線轉(zhuǎn)換為曲面進(jìn)行提取。

4.2 旋轉(zhuǎn)不變性

旋轉(zhuǎn)不變性參考系以

進(jìn)行變化，其中，Q(t)為等速旋轉(zhuǎn)矩陣；x0為旋轉(zhuǎn)中心。旋轉(zhuǎn)不變性能保證在參考系等速旋轉(zhuǎn)時(shí)準(zhǔn)確提取旋渦。該方法的缺點(diǎn)是需要計(jì)算旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)x0和三維旋轉(zhuǎn)軸n，如圖9所示。在旋轉(zhuǎn)不變性方法中，由Q(t)旋轉(zhuǎn)矩陣將n變化為z軸，旋轉(zhuǎn)不變性雅可比矩陣可表示為

其中，

適用于伽利略不變性參考系中的旋渦提取方法，如Q準(zhǔn)則和λ2準(zhǔn)則，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)不變性雅可比矩陣Jr轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)不變性形式。有

則

圖9 二維和三維旋轉(zhuǎn)不變性[36]Fig. 9 Two-and three-dimensional rotation invariance[36]

GüNTHER等[36]引入非等距函數(shù)gp(x,t)，逆函數(shù)hp(x,t)以及轉(zhuǎn)化后的向量場(chǎng)wp，實(shí)現(xiàn)笛卡爾坐標(biāo)系和旋轉(zhuǎn)不變性坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換。但是，非等距函數(shù)會(huì)導(dǎo)致雅可比矩陣離散化，由此提出僅在笛卡爾坐標(biāo)系下計(jì)算旋轉(zhuǎn)不變雅可比矩陣的方法以解決離散化問(wèn)題。文獻(xiàn)中使用多組數(shù)據(jù)集對(duì)比伽利略不變性方法與旋轉(zhuǎn)不變性方法。其中一組實(shí)驗(yàn)選用由WIEBEL等[81]在2011年提出的無(wú)散度珠流，在一段時(shí)間內(nèi)被旋渦特征可視化領(lǐng)域公認(rèn)為是評(píng)定旋渦提取方法優(yōu)劣的一個(gè)基準(zhǔn)。在該對(duì)比實(shí)驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)不變性方法能正確跟蹤渦核；伽利略不變性方法的渦核線逐漸偏離跡線，如圖10所示。

圖10 伽利略和旋轉(zhuǎn)不變性渦核線對(duì)比圖[36]Fig. 1 0 Galilean and rotation invariant vortices line comparison diagram[36]

4.3 拉格朗日不變性(客觀性)

拉格朗日不變性參考系以x′=Q(t)x+c(t)進(jìn)行變化，其中，Q(t)為實(shí)正交矩陣；c為隨時(shí)間變化的平移向量。拉格朗日不變性方法能夠識(shí)別進(jìn)行任何平滑旋轉(zhuǎn)和平移運(yùn)動(dòng)的旋渦。向量場(chǎng)中，v，vt，J，a，Ω等物理量均不具有拉格朗日不變性，散度?v和應(yīng)變率張量S是向量場(chǎng)中為數(shù)不多的具有拉格朗日不變性的物理量[82]。

自拉格朗日不變性的概念出現(xiàn)后，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本不受參考系變化影響的特質(zhì)引起了可視化領(lǐng)域廣泛關(guān)注，近年來(lái)提出了許多經(jīng)典的拉格朗日不變性形式。

TABOR和KLAPPER[37]將Q準(zhǔn)則應(yīng)用在拉格朗日不變性參考系中，通過(guò)

將矩陣Q轉(zhuǎn)化為與應(yīng)變率張量S相關(guān)的形式，其中，Ωs是由應(yīng)變率張量S的單位特征向量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)組成的矩陣。

DROUOT和LUCIUS[83]定義了旋轉(zhuǎn)率張量的相對(duì)值，其中，ΩS為S的特征向量的旋轉(zhuǎn)率張量。MARTINS等[84]運(yùn)用該相對(duì)值并推得拉格朗日不變參考系下的Q準(zhǔn)則和λ2準(zhǔn)則類似，該文獻(xiàn)中還對(duì)Δ準(zhǔn)則[85]和CHAKRABORTY的局部渦識(shí)別方法[86]進(jìn)行拉格朗日不變性處理。

除了對(duì)經(jīng)典方法的改進(jìn)外，有許多直接應(yīng)用在拉格朗日不變性的方法。SADLO和PEIKERT[87]將直接Lyapunov指數(shù)(directional Lyapunov exponent,DLE)用于提取旋渦。GüNTHER等[79]通過(guò)為域中的每個(gè)點(diǎn)計(jì)算局部最優(yōu)參考系得到速度場(chǎng)、加速度場(chǎng)和雅可比矩陣的拉格朗日不變性形式，并且用λ2準(zhǔn)則和Sujudi & Haimes法來(lái)驗(yàn)證提取的旋渦特征的準(zhǔn)確性。GüNTHER和THEISEL[88]將拉格朗日不變性參考系推廣到慣性粒子的渦核提取中，能夠提取在任何平滑旋轉(zhuǎn)或平移路徑上移動(dòng)的慣性粒子的旋渦，但是6D平行矢量場(chǎng)的引入使得計(jì)算更加復(fù)雜，需要研究更快的提取方法。HADWIGER等[38]首先提出了用于非定常流場(chǎng)特征提取的全新客觀參考系以計(jì)算時(shí)變的觀察者速度場(chǎng)和近似Killing場(chǎng)，讓所有的觀察者以各自不同的視角共同觀測(cè)流場(chǎng)。該方法結(jié)合全局和局部參考系，在全局范圍內(nèi)提取的同時(shí)也可以進(jìn)行局部調(diào)整，相比GüNTHER等[79]的方法，其鄰域大小固定，普適性較弱。

5 總結(jié)與挑戰(zhàn)

經(jīng)過(guò)幾十年的研究，旋渦提取技術(shù)已經(jīng)有了很大的發(fā)展，但是仍存在以下問(wèn)題：

(1) 對(duì)于旋渦本身，迫切需要一個(gè)正式的定義。LIU等[51]提出的旋渦矢量(Rortex)是一個(gè)很好的開(kāi)端。其可以準(zhǔn)確描述局部流體旋轉(zhuǎn)情況，清晰顯示旋渦結(jié)構(gòu)。

(2) 對(duì)于基于點(diǎn)的方法，閾值在各場(chǎng)景的適應(yīng)性是難點(diǎn)，大多數(shù)方法仍需通過(guò)實(shí)驗(yàn)效果對(duì)比來(lái)人工設(shè)置最合適的閾值。對(duì)于該問(wèn)題，本文對(duì)Ω方法[19]進(jìn)行了論述。后期文獻(xiàn)[58,89]給定了ε合適的參數(shù)值，能準(zhǔn)確識(shí)別各場(chǎng)景下的旋渦。

(3) 對(duì)于基于線的方法，屬于同一旋渦的渦核線經(jīng)常被分割成多個(gè)部分，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)效果下降。預(yù)測(cè)校正法[30]在一定程度上增強(qiáng)了渦核線的連續(xù)性，但仍需減少人為因素。

(4) 對(duì)于基于幾何曲線的方法，采樣點(diǎn)的選取對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有極大的影響。三維空間實(shí)時(shí)提取旋渦方法時(shí)間復(fù)雜度較大，需要進(jìn)一步地研究。

(5) 對(duì)于基于機(jī)器學(xué)習(xí)的方法，該類方法意在通過(guò)大量樣本的訓(xùn)練從而自主判斷是否存在特征，因此訓(xùn)練集必須具備權(quán)威性；仍需加強(qiáng)模型的通用性，以適應(yīng)不同尺寸大小的流場(chǎng)。

(6) 對(duì)于參考系不變性，本文先對(duì)參考系不變性給出解釋，對(duì)每種不變性給出經(jīng)典方法并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)效果對(duì)比。目前，最理想的方法是拉格朗日不變性參考坐標(biāo)系，該方法有助于研究更為復(fù)雜的流體場(chǎng)景。

對(duì)于旋渦提取領(lǐng)域未來(lái)的發(fā)展，研究者應(yīng)該更加致力于正式定義旋渦、提高旋渦提取精度、降低時(shí)間復(fù)雜度等方面，客觀方法、全局及局部結(jié)合提取方法和基于機(jī)器學(xué)習(xí)的方法能在一定程度上解決各類問(wèn)題，是未來(lái)研究的一個(gè)方向。