一種基于LS-WTLS的穩(wěn)健平面擬合方法

歐江霞，鄧雄文，蔡茂欣，邱 敏

(廣州市地質(zhì)調(diào)查院，廣州 510440)

引 言

平面擬合可用于建(構(gòu))筑物傾斜監(jiān)測、邊坡變形監(jiān)測、隧道斷面監(jiān)測、3-D激光掃描點云濾波[1-2]等工程領(lǐng)域，其精度會對變形分析、點云濾波和3-D建模效果產(chǎn)生重要影響。鑒此，有必要在傳統(tǒng)擬合方法基礎(chǔ)上，顧及誤差數(shù)據(jù)比例及其大小對擬合結(jié)果產(chǎn)生的影響，構(gòu)造最佳平面擬合方法，提高所求平面參量的準(zhǔn)確度。

目前，常用平面擬合方法包括傳統(tǒng)最小二乘(least squares，LS)法、總體最小二乘(total least squares，TLS)法[3-5]、混合總體最小二乘(mixed TLS,MTLS)法[6]等，以上方法均將各點當(dāng)做獨立等精度觀測值處理，由于受觀測環(huán)境、系統(tǒng)誤差等因素影響，觀測數(shù)據(jù)3-D坐標(biāo)x,y,z3個方向上均含有誤差且各點點位精度均不相同，若采用上述方法進行平面擬合，所得參量解并非平面參量的最或然值。因此，國內(nèi)外學(xué)者在加權(quán)總體最小二乘(weighted total least squares，WTLS)模型[7-8]基礎(chǔ)上，顧及各點點位精度差異性，結(jié)合基于方差-協(xié)方差膨脹的抗差估計，提出了加權(quán)總體最小二乘平面擬合算法，同時對抗差估計中的權(quán)因子函數(shù)進行了深入探討，構(gòu)造了多種定權(quán)準(zhǔn)則及與其相對應(yīng)的平面擬合方法[9-11]，一定程度上提高了平面參量解的準(zhǔn)確度。但對于各WTLS法，其已雖將平面模型中的常數(shù)項當(dāng)做無需修正項對待，但實際擬合過程中，常數(shù)項因受點位擬合權(quán)值影響，準(zhǔn)確度較低。

本文中提出了一種基于LS-WTLS混合解算平面參量的方法，該方法將平面參量劃分為含誤差與不含誤差(常數(shù)項)兩部分，綜合利用WTLS法、LS法對這兩部分參量進行解算，即顧及到各點點位精度，選用WTLS模型，在此基礎(chǔ)上，以穩(wěn)健估計中的IGGⅢ(由中國科學(xué)院測量與地球物理研究所(Institute of Geodesy & Geophysics,IGG)提出的一種抗差估計方法,IGGⅢ是第3種衍生方法)方案權(quán)因子為定權(quán)函數(shù)[11-15]，在參量迭代解算過程中確定各點擬合權(quán)重，并自適應(yīng)的對擬合權(quán)陣進行合理修正，提高誤差項參量解算精度，與此同時，又以三倍權(quán)因子中誤差為閾值剔除粗差數(shù)據(jù)，利用LS法求取常數(shù)項，有效抵抗點位擬合權(quán)值對常數(shù)項解算的影響。

1 基于LS-WTLS的穩(wěn)健平面擬合方法

1.1 顧及雙矩陣誤差的平面方程混合模型

設(shè)平面方程為：

Z(i)=aX(i)+bY(i)+c,(i=1,2,…,n)

(1)

式中，a,b,c為待求平面參量，定義a,b為誤差項參量，c為常數(shù)項參量。下標(biāo)(i)表示迭代。顧及觀測向量誤差與系數(shù)矩陣誤差的平面方程變量誤差模型為：

Z-e=(A1+EA1)ξ1+A2ξ2

(2)

式中，Z為含有隨機誤差e矩陣的n×1維觀測向量；A=[A1,A2]為系數(shù)矩陣，A1為誤差項系數(shù)矩陣，A2為常數(shù)項系數(shù)矩陣；ξ=[ξ1,ξ2]T為代估參量矩陣，ξ1為誤差參量矩陣，ξ2為常數(shù)項矩陣：

(3)

式中，v表示計算值與實測值之差。在滿足‖(ΔA1,ΔZ)‖F(xiàn)=min的約束條件下(‖·‖F(xiàn)為F范數(shù))，可求得ξ的值。

1.2 基于LS-WTLS的平面參量解算及精度評定

參照WTLS模型迭代解算方法，可將(2)式可改寫成如下形式：

Z-e=Aξ(i)+A(i)δξ-Eξ(i)

(4)

式中，A(i)=A-E(i)，δξ=ξ(i+1)-ξ(i)，根據(jù)(4)式構(gòu)造拉格朗日目標(biāo)函數(shù)：

Aξ(i)-A(i)δξ-e+(ξ(i)T?I)e]

(5)

式中，λ為n×1維拉格朗日乘數(shù),I是單位矩陣，T表轉(zhuǎn)置。通過對(5)式求導(dǎo)、求極值即可計算出λ及參量ξ(i)的代估值。

(6)

(7)

式中，QZ,QA,Q0分別為PZ,PA,P0的廣義逆。

(8)

(9)

(5)利用(10)式計算各殘差V(i):

(10)

(6)根據(jù)V(i)及IGGⅢ方案(見(11)式)計算權(quán)因子ω(i)，令P(i)=P(i)ω(i)，之后根據(jù)準(zhǔn)則重新設(shè)定權(quán)陣PA(i+1),PZ(i+1):

(11)

式中，V(i)為殘差，σ為中誤差，k0=1.0～1.5，k1=2.5～3.0，本文中取k0=1.5,k1=2.5。

(12)

(13)

式中，d(i)為點至擬合平面的距離。

2 算例分析

為對本文中所構(gòu)建平面擬合方法的適用性及優(yōu)越性進行驗證，分別利用其對模擬平面數(shù)據(jù)、實測平面數(shù)據(jù)進行擬合。

2.1 模擬數(shù)據(jù)

設(shè)要擬合的平面方程為Z=3X+4Y+5，依次抽取4組觀測數(shù)據(jù)，并分別按照0%,5%,10%,20%的比例加入粗差(大小為3σ0～5σ0，σ0為每組觀測數(shù)據(jù)的中誤差)，每個觀測數(shù)據(jù)中，X,Y分別為[0,1000],[0,2000]區(qū)間內(nèi)的隨機整數(shù)，相應(yīng)的Z為[5,11005]區(qū)間內(nèi)的隨機整數(shù)，同時在模擬數(shù)據(jù)中加入隨機誤差e，且隨機誤差e服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為σ2I的正態(tài)分布(σ=0.3，I為單位陣)。

Table 1 Plane parameters and fitting precision of simulated data

分別利用LS法、TLS法(奇異值分解(singular value deeoniposition,SVD))、LS-TLS法、IGGⅢ-LS-TLS法[5]、LS-WTLS混合法(本文中算法)對上述4組觀測數(shù)據(jù)進行擬合實驗，各方法計算得到的平面參量及精度評定指標(biāo)如表1所示。

表1中，當(dāng)粗差比例為0%時，各方法所得參量解非常接近實際參量值，單位擬合中誤差與平面擬合精度較小，由此說明各方法的擬合效果均比較好，僅由于數(shù)據(jù)取位原因?qū)е赂鞣椒ㄋ脜⒘恐蹬c實際參量值之間存在一定偏差。

當(dāng)粗差比例由5%遞增到20%時，各方法所得參量解與實際參量值的偏差越來越大，單位權(quán)中誤差與平面擬合精度呈遞增趨勢，由此說明，擬合效果隨粗差的增加而變差。其中，LS法受粗差影響，擬合效果較粗差比例為0%時明顯下降；TLS法過多顧及到系數(shù)矩陣不含誤差部分，整體擬合效果最差；LS-TLS法雖顧及平面參量的常數(shù)項不含誤差，對兩部分參量進行獨立解算，但其未考慮到各觀測值精度差異，因此擬合效果不穩(wěn)定；IGGⅢ-LS-TLS法綜合考慮了含誤差參量與常數(shù)項的區(qū)別，對其進行了獨立解算，同時根據(jù)各觀測值的精度，確定其參量平面擬合的權(quán)重，因此獲得了較好的擬合效果；LS-WTLS混合法在IGGⅢ-LS-TLS法的基礎(chǔ)上，引入加權(quán)總體最小二乘模型，以擬合殘差為依據(jù)、IGGⅢ方案為定權(quán)準(zhǔn)則，在含誤差參量迭代解算過程中，其可自適應(yīng)地修正觀測向量權(quán)陣及系數(shù)矩陣權(quán)陣，以獲取最能合理反映各觀測值精度的權(quán)值，同時又以三倍權(quán)因子中誤差為閾值，剔除觀測數(shù)據(jù)中的異常數(shù)據(jù)，再利用LS法計算得到常數(shù)項的值，最終，通過有限次的迭代計算，獲得了最為可靠參量解，該方法較好抵抗了粗差干擾，各項擬合指標(biāo)均優(yōu)于其它算法，擬合精度最高。

2.2 實測數(shù)據(jù)

表2中[16]，X為壩體溫度實測值、Y為水位壓力實測值、Z為大壩水平位移實測值(X,Y,Z無具體單位),3個向量構(gòu)成Z=aX+bY+c的平面關(guān)系。再次利用LS法、TLS法(奇異值分解(SVD))、LS-TLS法、IGGⅢ-LS-TLS法、LS-WTLS混合法(本文中算法)對表2中的實測數(shù)據(jù)進行擬合實驗，所得平面參量及精度評定指標(biāo)如表3所示。

Table 2 Observed data of plane

Table 3 Plane parameters and fitting precision of observed data

3 結(jié) 論

提出了一種對平面含誤差與不含誤差(常數(shù)項)兩部分參量進行獨立解算的LS-WTLS平面擬合方法。在誤差項參量解算過程中，顧及平面數(shù)據(jù)各點精度存在差異，本文中依據(jù)穩(wěn)健估計中各權(quán)函數(shù)特點及其適用范圍，選用IGGⅢ方案對加權(quán)總體最小二乘平面擬合方法進行改進，其可在模型參量解算過程中，通過計算點與平面模型的相關(guān)關(guān)系，自適應(yīng)地調(diào)整各點擬合權(quán)值，優(yōu)化擬合權(quán)陣；對于常數(shù)項，先以三倍權(quán)因子中誤差為閾值剔除觀測數(shù)據(jù)中的粗差，再利用LS法進行解算。模擬平面數(shù)據(jù)及實測平面數(shù)據(jù)的擬合實例表明，該方法具備較好的可行性及優(yōu)越性，利用該方法擬合得到的平面參量解可靠性更高。

基于LS-WTLS的穩(wěn)健平面擬合方法較最小二乘法、總體最小二乘法、混合總體最小二乘法更為穩(wěn)健，但在解算過程中，當(dāng)數(shù)據(jù)量過大時，由于權(quán)值的自適應(yīng)修正過程較為復(fù)雜，迭代計算較為繁瑣，解算所需時間較多，如何提高解算效率值得進一步深入研究。