利用等式性質(zhì)進(jìn)行對(duì)比教學(xué)

羅秋鋒

◆習(xí)題內(nèi)容

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第五單元“簡(jiǎn)易方程”之“解方程”第一課時(shí)“作業(yè)本”P45第2大題.

◆典型習(xí)題呈現(xiàn)

54-x=24

解：54-x+x=24+x

54=24+x

54-24=24-24+x

30=x？

126÷x=42

解：126÷x÷126=42÷126

x=0.3×

習(xí)題特點(diǎn)與分析

這道題安排在解簡(jiǎn)易方程的第1課時(shí)后的課堂作業(yè)本中.這一課時(shí)前學(xué)習(xí)了方程的平衡原理，同時(shí)根據(jù)等式性質(zhì)——方程左右兩邊同時(shí)加上（或減去）一個(gè)相同的數(shù)，等式依然成立.“作業(yè)本”安排這道題的目的是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固等式的性質(zhì)，為用等式性質(zhì)解方程作鞏固訓(xùn)練.但A-x=B，A÷x=B用等式性質(zhì)解方程，學(xué)生很難完成.具體分析如下：

1.教材層面：這道題出自解簡(jiǎn)易方程的第一課時(shí)，是在學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的.學(xué)生通過學(xué)習(xí)應(yīng)該知道什么叫方程，什么叫方程的解，也能順利解決類似x+a=b之類的方程.教材對(duì)A-x=B和A÷x=B這類題有教學(xué)要求，但在第2課時(shí)，課堂作業(yè)中出現(xiàn)得太早了.在沒有建立方程模型之前，難度確實(shí)比較大.

2.教師層面：教師課前沒有估計(jì)到學(xué)生對(duì)于A-x=B，A÷x=B這類方程解的困難程度，也忽略了提前試做課堂作業(yè)本，或者教師本身對(duì)此類方程的教學(xué)缺乏經(jīng)驗(yàn)，難定解決策略，缺乏對(duì)生情和文本內(nèi)容的了解，因此，課堂上沒有穿插這方面知識(shí)的引導(dǎo)，導(dǎo)致出錯(cuò).

3.學(xué)生層面：其實(shí)學(xué)生頭腦中已經(jīng)有這部分知識(shí)的儲(chǔ)備，但是無法形成知識(shí)鏈.在方程教學(xué)的研究中，筆者曾做過前測(cè)研究，類似A-x=B，A÷x=B的題目把x換成方框，那么學(xué)生卻能輕易解決.

◆教學(xué)描述

今天，我重點(diǎn)要交流的就是“關(guān)于用等式性質(zhì)解方程的幾個(gè)問題”，通過此課例研究能對(duì)用等式性質(zhì)解方程的教學(xué)內(nèi)容的研究走向深刻.

大家都知道，新教材的“解方程”編排與舊教材的編排有較大的不同：以前解方程，其基本依據(jù)是加與減、乘與除之間的逆運(yùn)算關(guān)系，而現(xiàn)在新課標(biāo)指導(dǎo)下的解方程，卻要求學(xué)生在解方程的過程中，探索、理解等式的基本性質(zhì)，再應(yīng)用等式的基本性質(zhì)解方程.

新教材利用“天平”為處理方程提供了一個(gè)強(qiáng)有力的智力圖像：方程類似于一組天平，方程中的符號(hào)表示處于平衡狀態(tài)，用天平平衡的道理，形象直觀地幫助學(xué)生深化對(duì)“相等關(guān)系”的理解，讓學(xué)生明白：在等式的兩邊同時(shí)進(jìn)行相同的運(yùn)算，那么平衡就得到了維持——這一等式的基本性質(zhì)，然后利用等式的基本性質(zhì)解方程.

新舊兩種解方程的方法到底要用哪種進(jìn)行教學(xué)呢？一些教師覺得新方法麻煩，不好用，于是還是用舊方法“解方程”.有些教師卻用新方法進(jìn)行教學(xué)，舊方法只做介紹.當(dāng)時(shí)大家覺得兩種方法都可以，只要能達(dá)到解方程的目的就行了，但是總體感覺用舊方法的教師更多些.

但是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在小學(xué)階段關(guān)于這一方面的唯一要求：“理解等式的性質(zhì)，會(huì)用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程（如，3x+2=5，2x-x=3）”.這句話是否可以這么理解：如果不會(huì)用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程，是否說明你沒完成這階段的教學(xué)目標(biāo)呢？

因此，我把解方程的兩個(gè)課時(shí)進(jìn)行了有機(jī)整合，進(jìn)行了這樣的對(duì)比教學(xué)：

1.出示例1：x+3=9.學(xué)生很快利用前一節(jié)課的等式性質(zhì)得出x+3-3=9-3解決了問題.按照教材編排，第1課時(shí)只需要掌握較簡(jiǎn)單的方程，但對(duì)學(xué)生建立方程模型比較欠缺，因此，我緊接著出示：9-x=3.這時(shí)，學(xué)生很快知道方程的解是x=6，為什么？

學(xué)生嘗試用等式性質(zhì)9-x-9=3-9，但馬上發(fā)現(xiàn)不對(duì)（這是前一題利用等式性質(zhì)后的負(fù)遷移）.接著改為：

9-x+x=3+x

9=3+x（一般未知數(shù)不在右邊，怎么辦？）

3+x=9利用等式平衡關(guān)系進(jìn)行左右調(diào)整，學(xué)生明白了方向.

2.出示3x=18和18÷x=3，學(xué)生按剛才的方法進(jìn)行獨(dú)立分析和解方程.比第一組對(duì)比教學(xué)時(shí)快捷了許多.

【設(shè)計(jì)意圖】通過x+3=9，9-x=3和3x=18，18÷x=3兩組方程進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，有助于學(xué)生建立方程的各種模型.

◆實(shí)踐反思

新教材強(qiáng)調(diào)“用等式性質(zhì)解方程”，原因是在中學(xué)學(xué)習(xí)解方程用的是代數(shù)的方法，而以前根據(jù)四則運(yùn)算的互逆關(guān)系解方程，屬于算術(shù)領(lǐng)域的思考方法，而用等式性質(zhì)解方程，屬于代數(shù)領(lǐng)域的解方程.兩者有聯(lián)系，但后者是前者的發(fā)展與提高.這樣，在解方程的教學(xué)中，學(xué)生將逐步接受并運(yùn)用代數(shù)的方法思考、解決問題，使思維水平得到提高.所以，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》里明確規(guī)定：在小學(xué)里學(xué)習(xí)解方程也是利用等式的性質(zhì)，這樣中學(xué)學(xué)習(xí)不再是另起爐灶，加強(qiáng)了與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接.

但這時(shí)另一個(gè)問題卻出現(xiàn)了，用“等式的基本性質(zhì)”解54-x=24和126÷x=42這類型的方程難度較大.

我也曾經(jīng)做過這樣的教學(xué)實(shí)踐：班級(jí)1采用等式性質(zhì)教學(xué)，學(xué)生錯(cuò)誤率高達(dá)80%以上；我馬上調(diào)整教學(xué)方法，在班級(jí)2中，我采用原來舊的傳統(tǒng)的四則運(yùn)算數(shù)量關(guān)系教學(xué)，在解決這兩道方程時(shí)效果顯然很好.可是到后來，班級(jí)2的大部分學(xué)生不愿意用等式性質(zhì)解方程了，好像又違背了新教材的意圖.于是我進(jìn)一步展開此課例的研究和學(xué)習(xí)，查找資料，虛心請(qǐng)教，終于找到了解決形如a-x=b和a÷x=b的方程與等式性質(zhì)之間溝通的橋梁：除等式4個(gè)性質(zhì)外，還有對(duì)稱性（相等關(guān)系“=”還有以下更基本的性質(zhì)：如果a=b那么b=a這條性質(zhì)叫作相等關(guān)系的對(duì)稱性.我們有時(shí)把8=A改寫成A=8，就是利用了相等關(guān)系的對(duì)稱性）；傳遞性（如果a=b并且b=c那么a=c這條性質(zhì)叫作相等關(guān)系的傳遞性）.新教材并沒有系統(tǒng)的出現(xiàn)過解方程所需要的等式的六個(gè)性質(zhì).就更談不上學(xué)生對(duì)于這六個(gè)等式性質(zhì)的理解了.這些知識(shí)點(diǎn)如果不讓學(xué)生系統(tǒng)感知學(xué)習(xí)，那么小學(xué)利用等式性質(zhì)解方程就不可能很好實(shí)現(xiàn).endprint