升降算符在一維諧振子能級(jí)討論中的應(yīng)用

劉海寬，張海豐，馬佳

(佳木斯大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 佳木斯，154007)

1 用升降算符表示的哈密頓算符

一維諧振子的哈密頓算符可以表示為

(1)

坐標(biāo)和動(dòng)量算符滿足對(duì)易關(guān)系

(2)

令

(3a)

(3b)

(4a)

(4b)

根據(jù)式(2)，易得

(5)

(6)

(7)

(8)

由式(4)可得

(9)

(10)

2 能量本征值的推導(dǎo)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

取本征矢|E′〉，并將其被算式(15)作用易得

(16)

E′，E′-?ω，E′-2?ω，…

(17)

對(duì)于基態(tài)的能量，根據(jù)式(10)

(18)

易得

E0=?ω/2

(19)

根據(jù)式(8)和式(10)可得

(20)

(21)

E′，E′+?ω，E′+2?ω，…

(22)

另外，由式(6)可以對(duì)式(10)做進(jìn)一步的處理為

(23)

(24)

3 能量本征波函數(shù)的推導(dǎo)

設(shè)諧振子基態(tài)波函數(shù)為ψ0(x)，由于

(25)

根據(jù)式(3)和式(4)可得

(26)

(27)

解得

(28)

式中N0是歸一化常數(shù)，按照波函數(shù)的歸一性

(29)

所以

(30)

另外，由于

(31)

則有

(32)

所以

(33)

(34)

令

ξ=αx

(35)

則

(36)

所以利用基態(tài)波函數(shù)式(28)可以得到

(37)

式(37)中

(38)

4 升降算符作用下本征波函數(shù)遞推關(guān)系推導(dǎo)

取諧振子能量本征矢為|n〉，則正交歸一化條件為

〈n′|n〉=δn′n

(39)

由于升降算符對(duì)|n〉的作用滿足

(40a)

(40b)

式中λ、υ待定，所以式(40)的共軛為

(41a)

(41b)

所以由式(40)和式(41)可得

(42a)

(42b)

可以解得

(43a)

(43b)

亦即

(44a)

(44b)

(45a)

(45b)

(46a)

(46b)

下邊給出坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符作用在能量本征態(tài)上的遞推關(guān)系.由于

(47a)

(47b)

所以

(48)

(49)

(50a)

(50b)

同理，由于

(51a)

(51b)

所以

(52a)

(52b)

(53a)

(53b)

5 本征波函數(shù)遞推關(guān)系的應(yīng)用

(54a)

(54b)

由式(51a)(51b)易知

(55)

(56)

根據(jù)式(52)易知

(57)

(58)

所以

(59)

(60)

(61)

6 結(jié) 論