求索數(shù)學(xué)之道

杜月嬌

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)眾多的分支學(xué)科中，代數(shù)幾何是一門非常重要又特別的基礎(chǔ)學(xué)科，它與數(shù)學(xué)中其他分支學(xué)科有著廣泛的聯(lián)系，并且被深刻地應(yīng)用到理論物理及其他的科學(xué)技術(shù)中，而在大多數(shù)20世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)重大進(jìn)步的背后，或多或少都有代數(shù)幾何的身影。

在很多人的印象當(dāng)中，數(shù)學(xué)家的工作場(chǎng)景就是每天埋頭在草紙堆里演算，枯燥且乏味。但對(duì)于數(shù)學(xué)研究者來(lái)說，數(shù)字以及幾何模型背后所隱藏的是無(wú)窮的科學(xué)奧秘以及鮮有人發(fā)現(xiàn)的“美”。在21世紀(jì)各類高新技術(shù)科學(xué)發(fā)展的大背景下，代數(shù)幾何學(xué)研究領(lǐng)域也并沒有被現(xiàn)代科學(xué)潮流所淹沒，且有越來(lái)越多的科研人選擇投身其中，南京大學(xué)數(shù)學(xué)系宗潤(rùn)弘教授就是其中之一。與代數(shù)幾何領(lǐng)域結(jié)緣以來(lái)，他在代數(shù)幾何的主要分支領(lǐng)域——雙有理幾何或極小模型綱領(lǐng)中不斷探索，在窮極數(shù)理研究中，實(shí)現(xiàn)著思維的蛻變，實(shí)現(xiàn)著一次又一次的科研突破。

走進(jìn)代數(shù)幾何世界

中國(guó)宋明時(shí)代理學(xué)家有“格物致知、窮理明辨”的說法，Physics（物理學(xué)）最初被翻譯成“格致”便是由此而來(lái)。高中時(shí)期，宗潤(rùn)弘就對(duì)物理這一“格萬(wàn)物而致窮理”的學(xué)科產(chǎn)生了極大興趣。2006年，宗潤(rùn)弘考入中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)。但因?yàn)楦呖挤謹(jǐn)?shù)的客觀因素，他不得不放棄當(dāng)年競(jìng)爭(zhēng)激烈的物理專業(yè)，正式步入了電子學(xué)專業(yè)開始學(xué)習(xí)。

俗話說：“數(shù)理不分家?！币苍S是冥冥中緣分使然，大學(xué)一年級(jí)期間，宗潤(rùn)弘在偶然旁聽數(shù)學(xué)系的拓?fù)鋵W(xué)課程時(shí)，被授課老師發(fā)現(xiàn)其極大的數(shù)學(xué)天賦，并建議其轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)系，進(jìn)行今后的深度研究。再三考慮之后，宗潤(rùn)弘接受了這一提議，并順利轉(zhuǎn)入了中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系，從此開啟了在代數(shù)幾何領(lǐng)域的研究之旅。

代數(shù)幾何是一門古老的學(xué)科，其中所蘊(yùn)含的代數(shù)推理一般都比較精巧，而其研究對(duì)象又具有幾何的直觀，深入到這一學(xué)科之中，宗潤(rùn)弘對(duì)這一領(lǐng)域的研究興趣也越來(lái)越深。整個(gè)本科期間，宗潤(rùn)弘系統(tǒng)學(xué)習(xí)了代數(shù)幾何這一領(lǐng)域相關(guān)的知識(shí)，本科畢業(yè)之后，他順利被導(dǎo)師推薦到普林斯頓大學(xué)從事代數(shù)幾何研究，踏上了國(guó)外的漫漫求學(xué)之路。

代數(shù)幾何領(lǐng)域于2010年左右在我國(guó)掀起了研究高潮，當(dāng)時(shí)國(guó)內(nèi)涌現(xiàn)了約10位左右的青年數(shù)學(xué)研究者，做出了一系列優(yōu)秀的科研成果。而那時(shí)，正是宗潤(rùn)弘即將前往國(guó)外攻讀博士的時(shí)期，這一學(xué)科在新時(shí)期的研究趨勢(shì)與背景，也在潛移默化中激發(fā)了他走向更大的平臺(tái)，深耕更深?yuàn)W的代數(shù)幾何領(lǐng)域問題的決心。

從2010年—2019年，在國(guó)外9年時(shí)間，宗潤(rùn)弘先后在美國(guó)普林斯頓大學(xué)、美國(guó)普林斯頓高等研究院以及德國(guó)美因茨大學(xué)等學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)中進(jìn)行科學(xué)研究。在國(guó)外21世紀(jì)掀起的金融風(fēng)潮中，他不僅沒有丟失自己的科研初心，還投身于自己真正感興趣的代數(shù)幾何領(lǐng)域的科研問題中，孜孜不倦求索，從未放棄。

深入極小模型綱領(lǐng)研究

數(shù)學(xué)是無(wú)窮的科學(xué)。在宗潤(rùn)弘眼中，代數(shù)幾何領(lǐng)域所存在的諸多問題，都對(duì)他有著極大的吸引力。多年來(lái)，他就將研究扎根在純粹數(shù)學(xué)中代數(shù)幾何方向的理論研究中，特別是在作為代數(shù)幾何的幾個(gè)主要分支領(lǐng)域之一的雙有理幾何或極小模型綱領(lǐng)中，與相關(guān)研究者合作，實(shí)現(xiàn)了諸多科研創(chuàng)新突破。

20世紀(jì)80年代，雙有理幾何中最核心的綱領(lǐng)——極小模型綱領(lǐng)，是數(shù)學(xué)界里一個(gè)活躍的研究方向，1990年，日本數(shù)學(xué)家森重文因其在此領(lǐng)域的研究成果，獲得了國(guó)際數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)。遺憾的是，此后10年間，這個(gè)領(lǐng)域的研究略微有些沉寂。直到2000年后，數(shù)學(xué)家們才取得重大進(jìn)展。

零特征的代數(shù)閉域上的極小模型綱領(lǐng)，是極小模型綱領(lǐng)的一個(gè)基本思想。在這一思想的指導(dǎo)下，人們普遍猜測(cè)任何一個(gè)定義在代數(shù)閉域上的不可化歸為有理連通代數(shù)簇的纖維化的代數(shù)簇都可雙有理等價(jià)于一個(gè)極小模型代數(shù)簇。對(duì)于代數(shù)閉域的特征為零的情形，在雙有理幾何或極小模型綱領(lǐng)中已經(jīng)有了由Prof. Birka、Prof. Cascini、Prof. Hacon以及Prof. Mckernan所證明的如下著名結(jié)論：對(duì)于一個(gè)射影的奇異性為Kawamata Log Terminal的對(duì)數(shù)偶（Log Pair）（X， D），如果其邊界除子D是Big的且其對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)從KX+D是Pseudo-Effective的，則KX+D一定有一個(gè)奇異性為L(zhǎng)og Terminal的模型。這項(xiàng)結(jié)論可以蘊(yùn)含零特征代數(shù)閉域上屬于General Type的代數(shù)簇或者屬于Log General Type的對(duì)數(shù)偶的極小模型的存在性。

雖然已經(jīng)有了如上著名結(jié)果，但在零特征的代數(shù)閉域上的極小模型綱領(lǐng)中還有很多基本和重要問題尚未解決。比如，雙有理幾何或極小模型綱領(lǐng)的著名專家Prof. Shokurov曾提出如下猜想：給定一種來(lái)自鏡像對(duì)稱的零特征的代數(shù)閉域上的對(duì)數(shù)偶（X，D）的復(fù)雜度和絕對(duì)復(fù)雜度的定義（此種定義主要來(lái)自對(duì)邊界除子D的在數(shù)量等價(jià)下的有效分解的分析），則當(dāng)此對(duì)數(shù)偶（X，D）的奇異性為L(zhǎng)og Canonical且其復(fù)雜度小于1時(shí)，代數(shù)簇X一定是一個(gè)Toric代數(shù)簇，而當(dāng)此奇異性為L(zhǎng)og Canonical的對(duì)數(shù)偶（X，D）的絕對(duì)復(fù)雜度小于2時(shí)，代數(shù)簇X一定是幾何有理代數(shù)簇。運(yùn)用零特征的代數(shù)閉域上的極小模型綱領(lǐng)的標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)，以及一些關(guān)于對(duì)數(shù)偶上的錐的奇異性與對(duì)數(shù)偶的幾何特性之關(guān)系的特殊觀察及技巧，宗潤(rùn)弘與團(tuán)隊(duì)合作一起完全解決了如上由Prof. Shokurov提出的猜想。

目前，這項(xiàng)成果已經(jīng)被他們?cè)诙鄨?chǎng)學(xué)術(shù)會(huì)議及多所高校及其他學(xué)術(shù)研究機(jī)構(gòu)的研討班中予以報(bào)告，并且廣受與會(huì)者及聽眾好評(píng)，有關(guān)的一篇論文“A Geometric Characterisation of Toric Varieties”已經(jīng)被Duke Mathematical Journal發(fā)表。

有理連通代數(shù)簇的性質(zhì)探索

所有科學(xué)都來(lái)自人們對(duì)有趣的、非常規(guī)道路的發(fā)掘，代數(shù)幾何領(lǐng)域也是如此。術(shù)語(yǔ)“簇”取自拉丁語(yǔ)族中詞源的概念，有基于“同源”而“變形”之意。代數(shù)幾何學(xué)上，代數(shù)簇是多項(xiàng)式集合的公共零點(diǎn)解的集合，是經(jīng)典（某種程度上也是現(xiàn)代）代數(shù)幾何的中心研究對(duì)象，而這一研究對(duì)象對(duì)于扎根在代數(shù)幾何領(lǐng)域的宗潤(rùn)弘來(lái)說有著極大的探索空間。在興趣的驅(qū)使下，他不斷深入有理連通代數(shù)簇研究中，試圖通過研究解析其中所蘊(yùn)藏的幾何、拓?fù)渑c算術(shù)性質(zhì)奧秘。