基于分離變量法的滲透率突變地層非穩(wěn)態(tài)滲流研究

康浩 宋新民 雷征東 高建 王再宙 付超

摘要：在油氣田高效開發(fā)的過程中，受原始地層沉積作用或者后期儲(chǔ)層改造措施等的影響，經(jīng)常出現(xiàn)非均質(zhì)雙區(qū)復(fù)合油藏的滲流，對(duì)其非穩(wěn)態(tài)參數(shù)求解方法的研究具有重要的實(shí)際價(jià)值。本論述以分離變量法為求解手段，考慮了物性參數(shù)不等的兩區(qū)界面之間的流動(dòng)，以第三類邊界條件為例，將分離變量法成功推廣到雙區(qū)復(fù)合油藏滲流問題的求解中，有效求得了不同區(qū)域內(nèi)壓力隨時(shí)間變化的精確解析解。既擴(kuò)大了分離變量法的適用范圍，也為日益復(fù)雜滲流問題的求解提供了重要的參考依據(jù)。

關(guān)鍵詞：線性流;不穩(wěn)定流;分離變量法;非均質(zhì);復(fù)合油藏

中圖分類號(hào)：TE357.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

隨著人類對(duì)能源需求的持續(xù)增長，如何合理高效地開發(fā)油氣田成為了擺在科技工作者面前的重大課題。油氣在地下的滲流，作為油氣田開發(fā)工程的基礎(chǔ)問題之一，其重要性不言而喻。由于受到成藏過程等因素的影響[1-3]，實(shí)際油藏都是非均質(zhì)的，截止目前，已經(jīng)有大量學(xué)者針對(duì)非均質(zhì)油藏的滲流問題做出了非常深入細(xì)致的研究，有效指導(dǎo)了油氣田的開發(fā)[4-7]。本論述以區(qū)域橫向滲透率突變線性滲流的壓力分布問題為研究對(duì)象，考慮不同滲透率地層界面之間的流動(dòng)，建立了相應(yīng)的滲流模型，并且運(yùn)用分離變量法，并結(jié)合具體問題的特點(diǎn)，成功求解了該滲流問題的精確解析解，旨在為運(yùn)用分離變量法求解復(fù)雜滲流問題提供一定的借鑒意義。

1模型建立

假定非均質(zhì)復(fù)合油藏中，滲流情形如下：地層為水平地層，由滲透率分別為K1和K2的兩個(gè)區(qū)域組成，各自的區(qū)間分別為0≤x≤x1，x1≤x≤x2，導(dǎo)壓系數(shù)分別為h1和h2，初始?jí)毫Ψ植挤謩e是I1（x）和I2（x），考慮兩個(gè)區(qū)域界面間的流動(dòng)，不失一般性，假定各邊界間滿足一般的第三類邊界條件。求t>0時(shí)，該復(fù)合油藏巾各區(qū)域的壓力分布。

結(jié)合上述已知條件，參考滲流數(shù)學(xué)模型的建立方法[8-9]，則該問題的數(shù)學(xué)表述為：

2分離變量法

考慮到以上定解問題為滲流方程的齊次邊值問題，故采用分離變量法求解。關(guān)于分離變量法的思想、求解步驟已經(jīng)在很多文獻(xiàn)中進(jìn)行了論述[10-12]。為了便于求解問題，現(xiàn)總結(jié)它的求解過程如下：

（1）設(shè)所求的解p（x，t）以p（x，t）=X（x）T（t）的形式代入偏微分方程，針對(duì)x和t進(jìn)行變量分離后，得到兩個(gè)常微分方程。

（2）利用已知的p（x，t）的邊界條件，導(dǎo)出X（x）所應(yīng)滿足的邊界條件，從而得到所應(yīng)滿足的一個(gè)常微分方程特征值問題。

（3）通過求解特征值問題決定特征值λm以及相應(yīng)的特征函數(shù)X（x）。

（4）決定相應(yīng)的T（t）的形式。

（5）以∑cmXm（x）Tm（t）的函數(shù)疊加形式給出p（x，t），并將初始條件做對(duì)應(yīng)展開，從而決定解的無窮級(jí)數(shù)表達(dá)式中的常數(shù)。

3模型求解

設(shè)p1（x，t）=X1（x）T1（t），p1（x，t）=X2（x）T2（t）代入上述控制方程、邊界條件和銜接條件分離變量，得：

由以上式子可見，T1和T2最多只相差一常數(shù)因子，該常數(shù)因子可以吸收到X中去，故可令：

因而，分離常數(shù)λ1=λ1=λ=β2。于是，分離結(jié)果為：

式（16）為該復(fù)合油藏的本征值問題，由其可解得本征值βm和分段表示的本征函數(shù)：

式中的待定系數(shù)A1，B1，A2，B2和本征值β由其邊界條件和銜接條件確定。

注意到式（16）中的邊界條件與銜接條件只有4個(gè)，不能確定5個(gè)未知數(shù)，但由于本征函數(shù)只需在線性相關(guān)的函數(shù)中任意選擇一個(gè)即可，在此不妨令某個(gè)不為零的系數(shù)A1=1，則有如下系數(shù)矩陣方程：

將式（31）-（36）的計(jì)算結(jié)果代入式（29）和式（30），即可將本征函數(shù)完全確定。再將式（29）和式（30）代入式（27）和式（28），即得分段表示的該雙區(qū)復(fù)合油藏內(nèi)的壓力分布。

4結(jié)論

以平面雙區(qū)復(fù)合油藏滲流為例，考慮了兩區(qū)界面之間的流動(dòng)，運(yùn)用分離變量法的思想，注重銜接條件和邊界條件的運(yùn)用，有效地解得了不穩(wěn)定滲流各個(gè)區(qū)域內(nèi)壓力隨時(shí)間變化的精確解析解。研究擴(kuò)大了分離變量法在油氣滲流問題求解中的應(yīng)用，有利于更好地分析油氣田開發(fā)過程中儲(chǔ)層的層內(nèi)平面非均質(zhì)性問題，也為求解相關(guān)復(fù)雜滲流問題提供了重要的依據(jù)。

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收稿日期：2020-05-30

基金項(xiàng)目：河北省教育廳科技項(xiàng)目資助（項(xiàng)目編號(hào)：QN2018158）;河北師范大學(xué)科技類基金項(xiàng)目資助（項(xiàng)目編號(hào)：L2017B21）

作者簡介：康浩（1987 -），男，漢族，河北石家莊人，博士，講師，主要研究方向：油氣資源的開發(fā)與利用。