隨機(jī)優(yōu)化算法應(yīng)用于太赫茲測厚方法的研究

張洪楨，何明霞*，石粒力，王鵬騛

1. 天津大學(xué)精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 3000722. 天津大學(xué)精密儀器與光電子工程學(xué)院，天津 3000723. 南京大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院超導(dǎo)電子學(xué)研究所，江蘇 南京 210023

引 言

太赫茲檢測技術(shù)是重要的前沿交叉領(lǐng)域，太赫茲波對(duì)于大多數(shù)非極性物質(zhì)透明，能夠分析物質(zhì)在太赫茲頻段的頻譜特征或?qū)ζ溥M(jìn)行成像[1]，在材料性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的無損檢測領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，如檢測不同種類紙張的厚度與介電常數(shù)[2]、分析文物、油畫等藝術(shù)品的結(jié)構(gòu)和內(nèi)部缺陷[3-4]、測量藥片的覆膜厚度[5]與孔隙率[6]等。隨著工業(yè)4.0的時(shí)代的到來，對(duì)先進(jìn)制造提出了更高的要求，在生產(chǎn)線上實(shí)現(xiàn)在線、非接觸的無損高精度檢測是必然趨勢。

截至目前，已經(jīng)進(jìn)行了許多關(guān)于太赫茲波應(yīng)用于涂層厚度測量的研究[7]。Su[8]等測量了金屬和非金屬(碳纖維)基底上油漆涂層的厚度，其測量值與超聲波測厚結(jié)果保持了良好的一致性。Izutani[9]等測量了多層樣品的太赫茲波形，并計(jì)算了波形中各脈沖回波的飛行時(shí)間。Yasui[10]、林玉華[11]等利用最小二乘法對(duì)油漆樣品的光學(xué)厚度與幾何厚度之間的關(guān)系進(jìn)行建模，得到不同油漆的折射率，測量了最多三層油漆樣品的厚度，并繪制了厚度的三維分布圖。Nguyen[12]等通過采取不同入射角度，控制太赫茲波在樣品中的光程，實(shí)現(xiàn)了對(duì)較薄涂層樣品的測量工作，但是該方法要求樣品具有較為平坦的表面，不能對(duì)具有明顯曲率的涂層樣品進(jìn)行測量。

1 原 理

1.1 基于太赫茲頻譜的厚度測量模型

太赫茲波(Terahertz wave)對(duì)大多數(shù)非極性材料呈現(xiàn)接近透明特征，當(dāng)太赫茲脈沖入射到不同材料介質(zhì)中時(shí)，由于各介質(zhì)群折射率的不連續(xù)性，脈沖在介質(zhì)界面處發(fā)生反射，形成了具有不同飛行時(shí)間的反射脈沖，如圖1所示。

圖1 太赫茲時(shí)域光譜測量油漆厚度原理圖(a): 油漆涂層模型； (b): 太赫茲脈沖回波的飛行時(shí)間Fig.1 Principle of thickness determination by THz-TDS(a): Model of coatings； (b): Times of flight of THz echoes

根據(jù)太赫茲在多層介質(zhì)中的傳播理論，可得單層樣品的太赫茲回波信號(hào)

(1)

與雙層樣品的太赫茲回波信號(hào)

(2)

Erefi為第i個(gè)反射信號(hào),Δti為第i個(gè)回波信號(hào)與入射信號(hào)Ein之間的飛行時(shí)間差。定義擬合誤差為

(3)

Emea為實(shí)測太赫茲脈沖回波信號(hào)。根據(jù)菲涅爾定律，在正入射條件下(i=2,3)

(4)

(5)

(6)

可得Etotal中系數(shù)k1和k2

k1=r12

(7)

k2=t12r23t21

配合畫展的《譚建丞山水冊(cè)頁精品集》收錄了譚老山水畫冊(cè)頁126件，是1968年到1972年期間所創(chuàng)作，由思澂齋出版?！?/p>

(8)

對(duì)于單層樣品，依據(jù)式(4)和式(7)即可反解出深層折射率n2; 對(duì)于雙層樣品，需依據(jù)式(4)—式(8)對(duì)第一層深層的折射率n2和第二層深層的折射率n3進(jìn)行求解。

根據(jù)飛行時(shí)間原理，可得材料厚度計(jì)算模型

(9)

ΔTi=Δti-Δti-1

(10)

其中c為真空中的光速，ni為第i層材料的折射率。

1.2 隨機(jī)最優(yōu)化算法

與確定性尋優(yōu)算法相比，隨機(jī)優(yōu)化方法提供了諸多便利。該類算法基于隨機(jī)性、統(tǒng)計(jì)性和概率性，增大了得到全局最優(yōu)值的概率，可應(yīng)用于不可微、非連續(xù)、非線性、含噪聲和具有多維變量的目標(biāo)函數(shù)。相比于以梯度為核心的優(yōu)化算法，隨機(jī)優(yōu)化算法具有較強(qiáng)的收斂性，能夠有效收斂至最優(yōu)解。本文采用差分進(jìn)化算法(DE)求解回波信號(hào)Etotal中ki和Δti等參數(shù)，通過一定次數(shù)的迭代尋優(yōu)，獲得使fittederror達(dá)到最小的最優(yōu)解ki,best和Δti,best，進(jìn)而求解被測樣品各層厚度di。

2 實(shí)驗(yàn)部分

實(shí)驗(yàn)采用Menlo System Tera K15全光纖式太赫茲時(shí)域光譜系統(tǒng)，由飛秒激光器、發(fā)射天線、接收天線、光纖延遲線以及鎖相裝置組成，中心波長為1 560 nm，太赫茲頻譜寬度達(dá)到3.5 THz，激光重復(fù)頻率為100 MHz，脈沖寬度<90 fs，平均功率>100 mW。本實(shí)驗(yàn)以鋁合金板材作為基底，使用保賜利品牌的自動(dòng)噴漆制作了單層、雙層油漆涂層等多種樣品,基底尺寸7 cm×7 cm。在同一塊基底上規(guī)劃樣品和參考區(qū)域，在測量時(shí)，通過步進(jìn)電機(jī)改變樣品架位置實(shí)現(xiàn)對(duì)樣品信號(hào)與參考信號(hào)的測量。利用渦流測厚儀SIN-EC770在樣品區(qū)域連續(xù)測量十組數(shù)據(jù)，計(jì)算測量結(jié)果的均值并將其作為太赫茲測厚方法的參考。

3 結(jié)果與討論

3.1 單層油漆厚度及折射率測量結(jié)果

使用渦流涂層測厚儀SIN-EC770對(duì)浸鋅漆、黑色漆以及底漆等三種單層樣品的厚度進(jìn)行十次測量，測量結(jié)果的均值如表1。

利用第1部分中提出的方法擬合脈沖回波的總信號(hào)Etotal。由于浸鋅漆厚度較厚>200 μm，反射信號(hào)Eref1與Eref2在時(shí)域能夠明顯區(qū)分，飛行時(shí)間差ΔT=Δt2-Δt1=5.92 ps，反射系數(shù)k1=r12=0.597 5。根據(jù)式(4)，式(7)和式(9)可求得樣品厚度d=223.71 μm。為了驗(yàn)證差分進(jìn)化算法運(yùn)算結(jié)果的穩(wěn)定性，針對(duì)每一種樣品，任意選擇該樣品的一個(gè)太赫茲測量信號(hào)重復(fù)進(jìn)行200次求解，得到200組結(jié)果并計(jì)算這些結(jié)果的不確定度。如表2所示，三種樣品厚度結(jié)果的不確定度均小于0.5 μm，折射率結(jié)果的不確定度均小于0.1，且不確定度的大小與測量樣品的厚度沒有直接關(guān)系，說明差分進(jìn)化算法的收斂性較強(qiáng)，運(yùn)算的結(jié)果較為穩(wěn)定。

表1 SIN-EC770單層油漆測量結(jié)果Table 1 Results of single coating samples by SIN-EC770

表2 DE算法計(jì)算結(jié)果Table 2 Results of single coating samples by DE algorithm

本文的方法可以準(zhǔn)確求解厚度不小于60 μm涂層樣品太赫茲信號(hào)中混疊的各個(gè)反射脈沖，如圖2(a)所示，黑色漆樣品的飛行時(shí)間差ΔT=0.755 2 ps。圖2(b)為底漆樣品的太赫茲信號(hào)，各個(gè)反射信號(hào)在時(shí)域能夠明顯區(qū)分，ΔT=3.360 0 ps。

圖2 單層樣品的測量信號(hào)與擬合結(jié)果(a): 黑色漆樣品; (b): 底漆樣品Fig.2 The measurement and simulation resultsof single coating samples(a): Black coating sample; (b): Base coating sample

3.2 測量誤差分析

由1.1節(jié)提出的測量模型可知，當(dāng)樣品基底所在平面的法線方向相對(duì)于太赫茲波出射方向存在的偏移角度θ時(shí)，將會(huì)給測量的厚度帶來誤差。

圖3 反射信號(hào)的光程誤差Fig.3 Optical path error of the reflection pulse

根據(jù)圖3，當(dāng)樣品相對(duì)平面存在小偏移角度θ時(shí)，Eref2的光程誤差Δd為

(11)

參考信號(hào)的光程誤差對(duì)測量結(jié)果沒有影響，所以Eref2的光程誤差Δd為測量誤差的主要來源，由于sin2θ趨近于0，進(jìn)而Δd近于0，由小偏移角度帶來的光程誤差可以忽略不記，表3示出了三種樣品在多個(gè)偏移角度下的測量誤差。

表3 測量誤差(偏移角θ=1°)Table 3 Measurement errors (angle offset θ=1°)

當(dāng)偏移角度過大時(shí)，太赫茲探頭無法全部接收由分束器反射回來的太赫茲波，導(dǎo)致接收的信號(hào)能量發(fā)生損失，根據(jù)式(6)和式(7)將無法準(zhǔn)確計(jì)算樣品的折射率，此時(shí)，需要借助其他手段對(duì)樣品的折射率進(jìn)行標(biāo)定。

3.3 雙層油漆測量結(jié)果分析

在測量銀漆+底漆雙層油漆樣品厚度時(shí)，先噴涂底漆，之后再噴涂銀漆，待樣品干燥之后測量總厚度，SIN-EC770的測量結(jié)果為121.6 μm。在噴涂銀漆時(shí)，底漆未完全干燥，二者在交界面處發(fā)生混合，形成了一層折射率介于二者之間的介質(zhì)，太赫茲波將在該層“衍生介質(zhì)”的兩個(gè)分界面發(fā)生反射，反射回來的總信號(hào)將包含來自四個(gè)反射界面的反射脈沖，使用式(2)提出的雙層模型將無法準(zhǔn)確計(jì)算各涂層的折射率以及太赫茲波在其中的飛行時(shí)間； 如表4所示，借助式(2)模型測得的總厚度為106.5 μm，與SIN-EC770的測量結(jié)果相差較大，底漆折射率為3.56，與表2結(jié)果相矛盾。

表4 底漆+銀漆太赫茲方法測量結(jié)果Table 4 Results of the double coating sampleby terahertz method

該樣品實(shí)際包含三層涂層，如圖4所示，除了基本的反射脈沖Eref1，Eref2與Eref3外，實(shí)測太赫茲信號(hào)還包含由基底反射回來的信號(hào)Eref4與各層介質(zhì)中的多重反射信號(hào)EM，由于銀漆的折射率大于中間介質(zhì)層，由銀漆-中間介質(zhì)界面反射回來的Eref2的符號(hào)為負(fù)。

圖4 底漆+銀漆樣品反射信號(hào)與擬合信號(hào)Fig.4 Reflection and simulation signals ofthe base and silver coating sample

圖5為該樣品的太赫茲波光路圖，各個(gè)反射脈沖的光程與其在時(shí)域上的位置具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，當(dāng)樣品狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)，多重反射脈沖EM和目標(biāo)反射脈沖信號(hào)Eref1—Eref4在時(shí)域上的相對(duì)位置將會(huì)發(fā)生改變，EM可能會(huì)出現(xiàn)在Eref1與Eref4之間，在對(duì)樣品中太赫茲波的光程沒有先驗(yàn)認(rèn)知的情況下，雖然可以計(jì)算各個(gè)反射信號(hào)之間的飛行時(shí)間差，但算法無法從時(shí)域信號(hào)上判斷各個(gè)反射脈沖具體來自哪一個(gè)反射界面，從而無法實(shí)現(xiàn)對(duì)各層涂層厚度的求解。

圖5 太赫茲波在多層樣品中的光路圖Fig.5 Paths of terahertz waves of a multi-layer sample

4 結(jié) 論

基于太赫茲時(shí)域光譜系統(tǒng)，根據(jù)菲涅爾定律與太赫茲脈沖的飛行時(shí)間原理建立數(shù)學(xué)模型，借助差分進(jìn)化算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行求解，實(shí)現(xiàn)了對(duì)油漆厚度的自動(dòng)非接觸式無損測量。為了驗(yàn)證差分進(jìn)化算法運(yùn)算結(jié)果的穩(wěn)定性，針對(duì)每一種樣品，任意選擇該樣品的一個(gè)太赫茲測量信號(hào)重復(fù)進(jìn)行200次求解，得到200組結(jié)果并計(jì)算這些結(jié)果的不確定度。三種樣品厚度及折射率計(jì)算結(jié)果的不確定度均較小，說明差分進(jìn)化算法具有較強(qiáng)的收斂性。對(duì)于單層樣品，太赫茲測量方法表現(xiàn)良好，對(duì)樣品基底所在平面法線方向與太赫茲波出射方向之間的角度誤差具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性，較小的角度誤差對(duì)測量結(jié)果影響可以忽略不記，測量結(jié)果與渦流測厚儀的結(jié)果相一致。在將基于飛行時(shí)間原理的測量模型拓展到多層樣品的測量中時(shí)，發(fā)現(xiàn)太赫茲波在各層介質(zhì)中的光程將影響各個(gè)反射脈沖在時(shí)域光譜上的相對(duì)位置，由于多重反射效應(yīng)的存在，算法無法區(qū)分各個(gè)反射峰來自哪一個(gè)反射界面，給各層厚度的求解帶來困難。

相比于渦流測厚、磁性測厚等厚度測量手段，太赫茲技術(shù)具有非接觸式、無損檢測等明顯優(yōu)勢； 在滿足測量精度要求的情況下，本文提出的模型實(shí)現(xiàn)了對(duì)厚度小于60 μm的油漆涂層的測量工作，降低了基于飛行時(shí)間原理的太赫茲測厚方法的測量極限，有效擴(kuò)大了該方法的測量范圍。