圓錐型徑向基函數(shù)的配點法及其應用

郭玄玄,王福章,2

(1.淮北師范大學 數(shù)學科學學院,安徽 淮北 235000；2.宿遷學院 文理學院,江蘇 宿遷 223800 )

0 引言

徑向基函數(shù)配點法是對應于有限元法發(fā)展起來的一種求解微分方程數(shù)值解的區(qū)域配點型無網(wǎng)格法.該方法數(shù)學原理簡單,具有容易進行程序?qū)嵤┖透呔葦?shù)值模擬等優(yōu)點.徑向基函數(shù)法僅需利用區(qū)域配點信息即可對待求問題進行數(shù)值模擬[1-3].由于徑向基函數(shù)配點法只需要一組區(qū)域節(jié)點來離散求解問題,直接借助于區(qū)域離散點來構造近似函數(shù),因此受到眾多學者的青睞,吸引了許多相關領域?qū)W者開展了深入的研究.

眾所周知,目前對于徑向基函數(shù)配點法的研究大多集中于Multiquadric(MQ)[4],高斯(Gaussians)[5-6]和Thin plate spline(TPS)[7]三種徑向基函數(shù)方法.其中高斯型徑向基函數(shù)和MQ方法由于涉及徑向基函數(shù)中的參數(shù)問題,理論和應用方面的研究最為廣泛,TPS方法的研究也比較多.然而關于圓錐型(Cornical type)徑向基函數(shù)配點法的研究較少報道.據(jù)文獻所知,Li[8]用圓錐型徑向基函數(shù)配點法對邊值問題反問題進行數(shù)值模擬,結(jié)果表明：圓錐型徑向基函數(shù)可以通過已知第一類邊界條件和第二類邊界條件,非常準確地重構未知邊界,且實施過程非常簡單.其余相關研究工作鮮見報道.

本研究針對拉普拉斯控制方程邊值問題的數(shù)學模型,用切比雪夫節(jié)點作為數(shù)值模擬過程中的配點結(jié)合圓錐型徑向基函數(shù)進行數(shù)值模擬.將該方法與傳統(tǒng)圓錐型徑向基函數(shù)配點法和解析解的結(jié)果進行了對比研究,分析了基于切比雪夫節(jié)點的圓錐型徑向基函數(shù)法對拉普拉斯控制方程邊值問題的數(shù)學模型所獲數(shù)值結(jié)果的影響.

1 徑向基函數(shù)配點法的基本思想

為了簡要說明徑向基函數(shù)配點法的基本思想,本研究考慮如下二維平面區(qū)域Ω?2上的拉普拉斯微分方程邊值問題.

Δu(P)=f(P),P=(x,y)∈Ω;

(1)

(2)

(3)

ΓD∪ΓN=?Ω,ΓD∩ΓN=φ.

在徑向基函數(shù)配點法中,本研究用函數(shù)

(4)

來近似邊值問題(1)—(3)的解u(P)，其中:{Pj}是區(qū)域Ω?2中的N個不同的節(jié)點,{cj}為待定系數(shù),而

(5)

將近似表達式(4)代入邊值問題(1)—(3),考慮N個配點(其中M個內(nèi)點,ND-M個第一類邊界點,N-ND個第二類邊界點),可得

(6)

(7)

(8)

方程組(6)—(8)可縮寫為

Qc=b,

(9)

(10)

求得,對應點處法向的數(shù)值解可由上式求法向?qū)?shù)得到.

2 切比雪夫配點法

傳統(tǒng)的徑向基函數(shù)配點法在上述數(shù)值模擬過程中配點的選取大部分采用均勻布點(圖1).為了提高傳統(tǒng)的徑向基函數(shù)配點法的數(shù)值模擬精度,本研究提出了以下切比雪夫配點法,其基本思想是利用定義在開區(qū)間(-1,1)上的切比雪夫節(jié)點,在切比雪夫節(jié)點內(nèi)增加區(qū)間端點-1和1,構成閉區(qū)間[-1,1]的計算節(jié)點,具體如下(圖2):

(11)

圖1 傳統(tǒng)徑向基函數(shù)的配點示意圖

圖2 切比雪夫節(jié)點示意圖

通過對傳統(tǒng)的布點圖和切比雪夫節(jié)點圖進行比較,可以看出,傳統(tǒng)布點節(jié)點間距相等,而且切比雪夫節(jié)點在角點處更密集,在區(qū)域中部較為稀疏.

3 算例分析

為了實施方便,本研究考慮問題所滿足的齊次定解問題如下：

Δu(x,y)=0 [(x,y)∈Ω],

(12)

(13)

其中Ω=[-1,1]×[-1,1]表示正方形區(qū)域.全部邊界僅考慮第一類邊界條件,該問題解析解為

為了與傳統(tǒng)徑向基函數(shù)方法進行比較,傳統(tǒng)方法選取邊界配點數(shù)N=441,由于切比雪夫節(jié)點不是均勻布點,選取近似的邊界配點數(shù)N=437,計算點數(shù)均為1 681個.當m=3時,圖3給出了當x=1時傳統(tǒng)圓錐形徑向基函數(shù)配點法所得到的誤差剖面圖,圖3中結(jié)果表明在區(qū)域邊界{(x,y)|x=1,y∈(-1,1)}附近誤差較大,而其他點處的誤差相對較小,所有計算點處的平均相對誤差為Perr=1.53×10-5.

圖4給出了當x=1時基于切比雪夫配點法所得到的誤差剖面圖,圖4中結(jié)果表明：在區(qū)域邊界{(x,y)|x=1,y∈(-1,1)}附近所有計算點處的平均相對誤差為Perr=3.06×10-6，由此可見，用傳統(tǒng)方法所得誤差約為使用新方法(基于切比雪夫配點法)所得誤差的5倍.

圖3 傳統(tǒng)圓錐型徑向基函數(shù)法所得到的誤差圖

圖4 基于切比雪夫配點法所得到的誤差圖

上述算例表明傳統(tǒng)的圓錐型徑向基函數(shù)方法在有些邊界節(jié)點附近數(shù)值模擬精度較低,然而基于切比雪夫節(jié)點的圓錐型徑向基函數(shù)法在邊界處的誤差有明顯減小,并且它可以改進整體區(qū)域上的計算結(jié)果的精度.

4 結(jié)論

將切比雪夫節(jié)點和徑向基函數(shù)結(jié)合用于數(shù)值模擬偏微分方程邊值問題可以得到令人滿意的結(jié)果.與傳統(tǒng)的圓錐型徑向基函數(shù)方法相比,基于切比雪夫節(jié)點的徑向基函數(shù)法的優(yōu)越性在于:計算結(jié)果精度高；在邊界處的誤差有明顯減小.盡管本研究僅考慮將切比雪夫節(jié)點與圓錐型徑向基函數(shù)相結(jié)合的方法,但該方法可以非常容易推廣到其他同類問題之上.本研究表明,基于切比雪夫節(jié)點的徑向基函數(shù)法,對數(shù)值模擬偏微分方程邊值問題具有較好的效果.本研究的方法可以推廣到實際問題的數(shù)值模擬中[9-10].