線性代數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的探討

朱清芳 周慧倩

（洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 河南·洛陽(yáng) 471934）

線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)課，內(nèi)容多，比較抽象，如果按傳統(tǒng)的教材和教法，直接介紹定義，定理，計(jì)算，學(xué)生不清楚概念從何而來、學(xué)為何用，容易產(chǎn)生枯燥，難懂的想法，學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力不足，學(xué)習(xí)效果不好。

事實(shí)上，線性代數(shù)的很多概念如多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、線性空間等都可以找到相應(yīng)的實(shí)際問題，作為概念的實(shí)例引入，反過來又可以用代數(shù)概念和方法來解決實(shí)際問題.這樣，不但能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們更好的理解代數(shù)概念，而且能體驗(yàn)到探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程.在實(shí)際教學(xué)過程中，無論是在數(shù)學(xué)概念的講解中，還是在對(duì)問題的分析以及思維的拓展上，不斷的、反復(fù)的強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的思想，將數(shù)學(xué)建模思想融入到每一個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)上，不論是對(duì)我們學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)知識(shí)，還是培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，都是很好的實(shí)踐手段.下面從概念引入和理論應(yīng)用兩個(gè)方面舉例加以說明。

1 概念的引入

很多線性代數(shù)概念都具有明顯的幾何或者實(shí)際生活背景，如果從背景出發(fā)，通過實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型來引入代數(shù)概念，將很大程度上減輕概念的抽象性，使學(xué)生更好的理解概念，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

行列式，矩陣，線性方程組，特征值，線性空間等概念都可以這樣引入。

實(shí)例1：矩陣概念的引入。

問題1：某航空公司在A，B，C，D四城市之間開辟了若干航線，如圖所示表示了四城市間的航班圖，如果從A到B有航班，則用帶箭頭的線連接A與B，若兩城市之間沒有航班則不用連線：

則右圖可以用矩陣表示為

而在實(shí)際生活當(dāng)中，可能會(huì)有更多的城市。通過上述矩陣，就可以高效的輸入這樣一個(gè)航班關(guān)系圖，并且使得計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別并且快速有效處理這樣的圖形。

在上面的這樣一個(gè)實(shí)例中，實(shí)際上已經(jīng)應(yīng)用了如下數(shù)學(xué)建模手段：圖的概念引入；將圖轉(zhuǎn)化為矩陣的思想。

問題2：討論一個(gè)兩人零和對(duì)策問題.兩兒童A，B玩游戲，每人只能在{石頭，剪刀，布}中選擇一種，當(dāng)A，B各選擇一種策略時(shí)，就確定了一個(gè)“局勢(shì)”，也就定出了各自的輸贏，規(guī)定勝者得1分，負(fù)者失1分，平手各得零分，則A的得益可用下述矩陣表示：

實(shí)例2：矩陣特征值和特征向量概念的引入。

問題：一種昆蟲，第一組為幼蟲（不產(chǎn)卵），第二組每個(gè)成蟲在兩周內(nèi)平均產(chǎn)卵100個(gè)，第三組每個(gè)成蟲在兩周內(nèi)平均產(chǎn)卵150個(gè)。假設(shè)每個(gè)卵的成活率為0.09，第一組和第二組的昆蟲能順利進(jìn)入下一個(gè)成蟲組的存活率分別為0.1和0.2.假設(shè)現(xiàn)有三個(gè)組的昆蟲各100只，計(jì)算第2周、第4周、第6周后各個(gè)周齡的昆蟲數(shù)目，并考慮下面問題：

（1）以兩周為一時(shí)間段，分析這種昆蟲各周齡組數(shù)目演變趨勢(shì).在兩個(gè)相鄰的時(shí)間段，各周齡組的昆蟲數(shù)目變化的比例是否有一個(gè)穩(wěn)定值？昆蟲數(shù)目是無限增長(zhǎng)還是趨于滅亡？原因是什么？

（2）如果使用一種除蟲劑可以控制昆蟲的數(shù)目，使得各組昆蟲的成活率減半，問這種除蟲劑是否有效？

對(duì)上述昆蟲繁殖問題建模解答中，主要使用的是萊斯利矩陣模型以及萊斯利矩陣的特征值。

2 理論的應(yīng)用和思維的拓展

實(shí)例3：動(dòng)物數(shù)量的按年齡段預(yù)測(cè)問題。

問題：某農(nóng)場(chǎng)飼養(yǎng)的某種動(dòng)物所能達(dá)到的最大年齡為15歲，將其分成三個(gè)年齡組：第一組，0～5歲；第二組，6～10歲；第三組，11～15歲.動(dòng)物從第二年齡組起開始繁殖后代，經(jīng)過長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)，第二組和第三組的繁殖率分別為4和3.第一年齡和第二年齡組的動(dòng)物能順利進(jìn)入下一個(gè)年齡組的存活率分別為12和14。假設(shè)農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)有三個(gè)年齡段的動(dòng)物各100頭，問15年后農(nóng)場(chǎng)三個(gè)年齡段的動(dòng)物各有多少頭？

問題分析與建模：因年齡分組為5歲一段，故將時(shí)間周期也取為5年，15年后就經(jīng)過了3個(gè)時(shí)間周期。設(shè)表示第k個(gè)時(shí)間周期的第 i組年齡階段動(dòng)物的數(shù)量（k=1，2，3；i=1，2，3）。

因?yàn)槟骋粫r(shí)間周期第二年齡組和第三年齡組動(dòng)物的數(shù)量是由上一時(shí)間周期上一年齡組存活下來動(dòng)物的數(shù)量，所以有

又因?yàn)槟骋粫r(shí)間周期，第一年齡組動(dòng)物的數(shù)量是由于一時(shí)間周期各年齡組出生的動(dòng)物的數(shù)量，所以有

結(jié)果分析：15年后，農(nóng)場(chǎng)飼養(yǎng)的動(dòng)物總數(shù)將達(dá)到16625頭，其中0～5歲的有14375頭，占86.47%，6～10歲的有1375頭，占8.27%，11～15歲的有875頭，占5.226%.15年間，動(dòng)物總增長(zhǎng)16625-3000=13625頭，總增長(zhǎng)率為13625/3000=454.16%。

這樣一個(gè)問題是為了引入矩陣的相似對(duì)角化計(jì)算矩陣的方冪而提出，而實(shí)際生活當(dāng)中還有許多類似的問題，比如人口的遷移問題、就業(yè)人員的流動(dòng)問題等等。

實(shí)例4：行星軌道計(jì)算問題。

問題：一天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道，他在軌道平面內(nèi)建立以太陽(yáng)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，在兩坐標(biāo)軸上取天文測(cè)量單位（一天文單位為地球到太陽(yáng)的平均距離：1.4959787×1011m）.在5個(gè)不同的時(shí)間對(duì)小行星作了5次觀察，測(cè)得軌道上5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如下表：

?

由開普勒第一定律知，小行星軌道為一橢圓.請(qǐng)建立小行星軌道的方程：

并確定橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，長(zhǎng)軸，短軸的長(zhǎng)度。

對(duì)如上實(shí)例的求解實(shí)際上是解一個(gè)線性方程組，但我們?cè)谡n堂上提出了這樣的問題，就實(shí)際意義而言，觀測(cè)數(shù)據(jù)總是有誤差的，因此，觀測(cè)的數(shù)據(jù)越多對(duì)我們計(jì)算越有利，但是若有更多的數(shù)據(jù)，則得到的方程組可能無解.然后由此引入線性回歸最小二乘數(shù)學(xué)模型：在實(shí)際生活當(dāng)中有些問題沒有理論上的數(shù)學(xué)解，但是應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^數(shù)學(xué)方法得到需要的解。另一方面，計(jì)算橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，長(zhǎng)軸，短軸的長(zhǎng)度乃是線性代數(shù)的二次型理論在解析幾何進(jìn)而在實(shí)際問題中的一個(gè)典型應(yīng)用.通過這樣一個(gè)實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)建模的無處不在，高等代數(shù)在數(shù)學(xué)模型求解當(dāng)中的一個(gè)又一個(gè)的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)建模方法能夠使數(shù)學(xué)知識(shí)形象化、系統(tǒng)化和實(shí)用化，同時(shí)數(shù)學(xué)建模思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的催化劑和認(rèn)識(shí)理論規(guī)律的有力武器.在高等代數(shù)的一些概念、定理的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，有助于分清各知識(shí)脈絡(luò)以及它們的聯(lián)系，數(shù)學(xué)建模思想能將知識(shí)向深度和廣度延伸，高等代數(shù)中有許多具體問題和定理還值得深入挖掘其中的知識(shí)點(diǎn)；與其它學(xué)科相結(jié)合方面的問題也有待進(jìn)一步探討。