“還原法”巧解小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題

■江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第三實(shí)驗(yàn)小學(xué) 吳陳軼

數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過程中，一般是根據(jù)已有的條件進(jìn)行思考與分析，從中找出解決的方式。我們可以運(yùn)用一些已知的條件，反向推導(dǎo)，解決這類的數(shù)學(xué)題型，這種方式被稱之為“還原法”，也稱之為“倒推法”。

一、從“單個(gè)對(duì)象”著手，按部就班

“單個(gè)對(duì)象”主要是指在習(xí)題中，只有一個(gè)主語與總量，并且在解題過程中，即使條件發(fā)生變化，但是最后所求解的結(jié)論依然是主語與總量。

如，超市售賣一批香蕉，第一天賣掉了總體香蕉的1/2，第二天賣掉剩下的1/2并多售賣出10千克，然后第三天賣掉第二天剩下的1/2并少3千克，這些蘋果最后還剩下10千克，請(qǐng)問這一批香蕉一共有多少千克？在這一道習(xí)題里面，“一批香蕉”是其中的主語，也是這道習(xí)題中的“單個(gè)對(duì)象”，因此不管這一批香蕉經(jīng)歷幾天的販賣，都需要解答“一批香蕉”是多少千克。在面對(duì)這樣的習(xí)題中，為方便理解，一般都需要建立流程圖、還原圖或者倒退圖，對(duì)這三種圖像中的一種進(jìn)行分析。這三種方法的選用中，需要根據(jù)班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，確切地選擇方式，以下將論述其中的一種方式。

所運(yùn)用的方法為流程圖方法。首先，需要做出其中的流程圖，即圖1。流程圖的繪畫較為簡(jiǎn)單，只需要根據(jù)習(xí)題內(nèi)容進(jìn)行繪畫，如，將每天店中剩下的香蕉用空格表示，并在箭頭上標(biāo)注好每天售賣的量，流程圖的繪畫就完成了。計(jì)算也較簡(jiǎn)單，只需要向前推導(dǎo)即可，但是要注意在推導(dǎo)過程中變化符號(hào)。在流程圖的繪畫中，學(xué)生大多會(huì)發(fā)生以下兩種錯(cuò)誤。第一，對(duì)于在繪畫箭頭上的標(biāo)注中，對(duì)于“多賣出10千克”“少2千克”的符號(hào)運(yùn)用出現(xiàn)錯(cuò)誤，這是就需要他們對(duì)于習(xí)題與流程圖中各種知識(shí)點(diǎn)都有明確的認(rèn)知，明白空格是店內(nèi)所剩的香蕉質(zhì)量，從而理解所需什么符號(hào)。第二就是計(jì)算中所出現(xiàn)的錯(cuò)誤，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，是需要進(jìn)行反向計(jì)算，因此在計(jì)算時(shí)，需要對(duì)符號(hào)進(jìn)行修改，如，箭頭上的減法，計(jì)算時(shí)需要修改成加法等?；蛘咴谟?jì)算時(shí)，對(duì)于計(jì)算的順序發(fā)生錯(cuò)誤，在進(jìn)行反向計(jì)算時(shí)需要反向推導(dǎo)，因此在列式時(shí)需要添加一定的括號(hào)，防止計(jì)算順序的錯(cuò)誤，對(duì)其進(jìn)行計(jì)算有所幫助。

圖1流程圖

二、從“多個(gè)對(duì)象”出發(fā)，靈活運(yùn)用

“多個(gè)對(duì)象”其中主要是指：在習(xí)題中，會(huì)有多個(gè)主語在其中，并且在計(jì)算過程中，多個(gè)主語也會(huì)同時(shí)出現(xiàn)變化，但是在最后所求得的依然會(huì)是這些多個(gè)主語或者這些多個(gè)主語的部分。例如，在三輛公交車上，有48個(gè)人乘坐前往同一個(gè)地方，但是每輛車上的人數(shù)不等，因?yàn)椴糠衷蛐枰胶馊藬?shù)，因此從第一輛車中下來6人到第二輛車中，之后在第二輛車中下來8人到第三輛車中，從而車中人數(shù)平衡了，請(qǐng)問原來三輛車中分別有多少人？

在這道習(xí)題中，主要有三個(gè)主語對(duì)象，即在剛開始時(shí)三輛車上的人數(shù)，在習(xí)題中這三輛車上的人數(shù)都在發(fā)生變化，最后達(dá)到一致的數(shù)目。因此，在學(xué)生初次接觸這類習(xí)題中，都難以直接進(jìn)行解決，主要是因?yàn)樵谄渲猩婕岸鄠€(gè)主語，并且其中的數(shù)量還在不斷變化，這就需要教師進(jìn)行一定的引導(dǎo)。對(duì)于上一習(xí)題主要可以繪畫出以下的示意圖，如圖2。

圖2車輛中人員的調(diào)動(dòng)

通過圖2，不難發(fā)現(xiàn)在最后每輛車中的人數(shù)相同，因此最后每輛車中都會(huì)有16人，因此，一次推導(dǎo)，通過“之后在第二輛車中下來8人到第三輛車中”這句話可以推導(dǎo)出，在這次人員調(diào)動(dòng)之前，第三輛車只有8人，第二輛車有24人。最后，再根據(jù)“因此從第一輛車中下來6人到第二輛車中”這句話得出，最開始第一輛車有22人，第二輛車有18人。通過逐次推導(dǎo)的方式得出結(jié)論，在這種類型題的解決中，學(xué)生主要需要注意兩點(diǎn)，首先，在建立示意圖后，直接根據(jù)數(shù)量關(guān)系和習(xí)題中的話語，反向推導(dǎo)。最后就是需要注意其中的數(shù)量關(guān)系，注意其中的各種符號(hào)運(yùn)用。

三、以“不同對(duì)象”分析，確定核心

“不同對(duì)象”同樣是指多個(gè)主語，但是“不同對(duì)象”的多個(gè)主語與“多個(gè)對(duì)象”的多個(gè)主語不同，“多個(gè)對(duì)象”的多個(gè)主語一般是指同種的事物，而“不同對(duì)象”的多個(gè)主語是指不同的事物，并通過反向推導(dǎo)的方式推導(dǎo)出“不同對(duì)象”的答案。例如，在商場(chǎng)引進(jìn)一批香蕉進(jìn)行售賣，最開始進(jìn)行稱重，香蕉與筐一共重104斤，通過一天的努力，上午售賣出一半的香蕉，下午也售賣出了上午所剩下的一半，最后再進(jìn)行稱重，香蕉和筐一共重29斤，問香蕉多重？筐多重？在學(xué)生進(jìn)行分析中，如果未注意，就會(huì)根據(jù)“多個(gè)對(duì)象”的習(xí)題方法進(jìn)行解答，但是在這道習(xí)題中，需要注意筐與香蕉是不同性質(zhì)的物質(zhì)，并且筐的質(zhì)量一直未發(fā)生變化，香蕉的質(zhì)量發(fā)生了變化，所以解答的方法就不同。介紹一種解答方式，如下：將其中的香蕉設(shè)置成一個(gè)未知數(shù)，先求解香蕉的質(zhì)量，首先因?yàn)椤白铋_始進(jìn)行稱重，香蕉與筐子一共重104斤”與“最后在進(jìn)行稱重，香蕉和筐一共重29斤”兩句話，推導(dǎo)出一天一共售賣出了75斤，并且通過“上午售賣出一半的香蕉，下午也售賣出了上午所剩下的一半”可以看出售賣的75斤也是香蕉總量的3/4，通過計(jì)算得出香蕉的質(zhì)量為100斤，再計(jì)算一下得出筐的質(zhì)量為4斤。在這道習(xí)題的解決方式運(yùn)用的主要為份數(shù)與比例法進(jìn)行還原計(jì)算，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所經(jīng)常使用的方式。

四、讓“相同對(duì)象”一致，加深印象

“相同對(duì)象”的特質(zhì)與“單個(gè)對(duì)象”一致，在題干中主語以及總量相同，其所求的未知量與主語一致。例如：某水果店購入一批水果，第一天賣出的水果量比總量的一半少10斤，第二天賣出的水果比剩下的水果的一半多8斤，現(xiàn)在的水果量為20斤，問：這家水果店原本購入多少斤水果？從題干看，主語是這批水果，所求也是水果總量。針對(duì)此類題目，我們可以讓學(xué)生先算出水果店原本購入的水果量［（20+8）×2-10］×2=92斤。當(dāng)算出水果總量后，要學(xué)生進(jìn)行檢驗(yàn)，即用“還原法”進(jìn)行反推：（92÷2+10）÷2-8=20斤。我們利用“逆向思維”進(jìn)行推導(dǎo)檢驗(yàn)，一方面可以檢驗(yàn)此題正確與否，另一方面還能加深學(xué)生運(yùn)用還原法檢驗(yàn)此類題目的效果，提升了學(xué)生的解題效率。

五、結(jié)語

遇到上文所列舉的問題時(shí)，可運(yùn)用“還原法”解決小學(xué)數(shù)學(xué)中的這類題型，讓題目變得簡(jiǎn)單、明了，提升小學(xué)生此類題型的解題效率。