基于GO 法與DBN 的冗余系統(tǒng)可靠性分析

趙志博，多依麗，王 博，孫 鐵，劉 明，高 涵

（遼寧石油化工大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧撫順113001）

隨著科技的飛速發(fā)展，各個領(lǐng)域涌現(xiàn)出大量性能優(yōu)越、復(fù)雜程度高的系統(tǒng)。然而，系統(tǒng)的復(fù)雜度越高，發(fā)生故障的可能性就越大。為滿足系統(tǒng)的可靠性要求，設(shè)計者往往會采用冗余結(jié)構(gòu)，即在關(guān)鍵或易損部分增加一套具有相同功能的元件、設(shè)備或裝置，以確保當(dāng)該部分發(fā)生故障時系統(tǒng)可以正常運行[1]。因此，冗余系統(tǒng)的可靠性很大程度上決定整套系統(tǒng)的使用壽命。

解決冗余系統(tǒng)的可靠性分析問題，傳統(tǒng)的研究方法是利用動態(tài)故障樹中的備件門對系統(tǒng)的失效機理進行建模與分析[2]。動態(tài)故障樹雖然可以考慮共因失效與維修因素對可靠性的影響，但是當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模較大時會產(chǎn)生大量的基本事件，從而導(dǎo)致故障樹變得復(fù)雜，增加建模與求解的難度。目前，馬爾科夫技術(shù)是一種廣泛應(yīng)用于冗余系統(tǒng)可靠性分析的方法。文獻[3]將狀態(tài)空間方法與馬爾可夫模型的概率分析相結(jié)合，成功應(yīng)用于冗余與非冗余的熱電聯(lián)產(chǎn)系統(tǒng)的可靠性評估中；文獻[4]利用馬爾科夫技術(shù)，構(gòu)造了冗余系統(tǒng)可靠性分析模型，該模型結(jié)合共因失效與已建立的失效模式，提出過程需求，并分析了對系統(tǒng)可靠性的影響。雖然馬爾科夫技術(shù)可有效表達冗余系統(tǒng)的動態(tài)特性，卻存在狀態(tài)空間組合爆炸的問題，難以對規(guī)模較大的系統(tǒng)進行求解。

GO 法是一種有效處理具有時序、復(fù)雜關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的可靠性分析方法，因其能描述不同單元之間備用相關(guān)的功能，可應(yīng)用于冗余系統(tǒng)的可靠性分析中。文獻[5]利用GO 法對含有共因失效的三取二冗余系統(tǒng)和外電源備用系統(tǒng)進行了可靠性分析；文獻[6]創(chuàng)建新的操作符，提出了一種基于GO 法與馬爾科夫理論的冗余可修系統(tǒng)可靠性分析方法。與動態(tài)故障樹相比，雖然GO 法在建模方面更能反映系統(tǒng)的原貌，但定量分析過程繁瑣，并且沒有相關(guān)軟件支持，所以應(yīng)用不夠廣泛。

近幾年發(fā)展起來的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)（Dynamic Bayesian Network，DBN）不僅可以反映維修因素對系統(tǒng)的影響，還能描述研究對象隨時間變化的動態(tài)特性，最重要的是它擁有成熟的算法，可有效彌補GO 法在分析過程中的不足，目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘[7]、可靠性分析[8]和風(fēng)險評估[9]等領(lǐng)域。本文將GO 法進行改進，增設(shè)兩種可以描述備件相關(guān)的操作符并將其與動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合。首先，給出新操作符向DBN 的轉(zhuǎn)換規(guī)則。然后，根據(jù)算法建立案例中控制單元的DBN 模型，綜合考慮共因失效與維修因素對控制單元進行可靠性分析。最后，基于DBN 的反向推理功能，迅速得出控制單元在發(fā)生故障時的薄弱環(huán)節(jié)，從而節(jié)約計算成本，對工程的實際應(yīng)用亦具有一定的價值。

1 GO 法與DBN

1.1 GO 法簡介

GO 法[10]是一種以成功為導(dǎo)向的可靠性分析方法。它將系統(tǒng)的原理圖、流程圖或工程圖按照一定的規(guī)則轉(zhuǎn)化成GO 圖模型，利用模型中的操作符與信號流表達單元之間的邏輯關(guān)系與物流進程。最后，根據(jù)不同操作符的運算規(guī)則完成系統(tǒng)的定量或定性分析。

1.2 DBN 簡介

DBN[11]是包含時間維度的隨機模型，它由有向無環(huán)圖和相對應(yīng)的條件概率表構(gòu)成。構(gòu)造DBN 時，需要滿足兩個條件：（1）有限的時間內(nèi)條件概率的變化過程是平穩(wěn)的；（2）動態(tài)概率的變化具有馬爾科夫性。以上假設(shè)在DBN 中可以表示為一個先驗網(wǎng)絡(luò)（B0）和一個轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)(B→)，已知這兩個部分就能建立任意時刻的DBN 模型。

先驗網(wǎng)絡(luò)在初始條件下的概率分布：

轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)在相鄰時間片間的轉(zhuǎn)移概率分布：

DBN 各節(jié)點的聯(lián)合分布概率：

1.3 基于GO 法的冗余系統(tǒng)DBN 模型

GO 法對備用相關(guān)的描述：在冗余并聯(lián)系統(tǒng)中，當(dāng)正在運行的主件發(fā)生故障時，備件開始工作以保證系統(tǒng)繼續(xù)正常運行。若冗余系統(tǒng)的備件在備用狀態(tài)時不發(fā)生故障或者發(fā)生故障的概率很小，則備件的故障狀態(tài)與主件工作時的故障狀態(tài)有關(guān)。

傳統(tǒng)的GO 法模型只擁有17 種操作符，不存在描述備用相關(guān)的操作符。為表達上述關(guān)系，本文建立了未考慮共因失效的備件操作符18，具體描述如下：

在M 取K 冗余系統(tǒng)中，有M 個輸入信號，但正常工作時只允許K 個信號輸入，其余信號均處于備用狀態(tài)，只有當(dāng)M 個輸入信號全失效時，輸出信號才會失效。

現(xiàn)假設(shè)有一雙機冗余冷備系統(tǒng)由主件1-1 和備件1-2 組成，當(dāng)主件發(fā)生故障時備件開始工作。根據(jù)各操作符的建立方法及向DBN 轉(zhuǎn)化的一般規(guī)則[12]，其GO 圖模型及對應(yīng)的DBN 網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示。在DBN 網(wǎng)絡(luò)模型中，節(jié)點1、2 分別為GO 圖模型中主、備件對應(yīng)的節(jié)點；R 為輸出信號；圓弧箭頭1、2 表示節(jié)點從t 時刻向t+1 時刻傳遞的信息；直線箭頭3 表示主件發(fā)生故障后向備件發(fā)出的信息；直線箭頭4、5 表示上一節(jié)點向下一節(jié)點傳播的信息。

圖1 備用相關(guān)系統(tǒng)GO 圖模型向DBN 網(wǎng)絡(luò)模型轉(zhuǎn)化規(guī)則

由于DBN 引入了時間序列，需獲得同一節(jié)點從t 時刻向t＋1 時刻的條件概率。假設(shè)系統(tǒng)只有故障（用1 表示）和正常（用0 表示）兩種狀態(tài)，因DBN 擁有Markov 性，故節(jié)點xi的條件概率可表示為：

式中，fxi(t）為xi的失效概率密度函數(shù)。

由此可知，圖1 中冗余系統(tǒng)的DBN 模型各節(jié)點的條件概率可以表達為：

式中，f1(t)、f2(t)分別為節(jié)點1、節(jié)點2 的失效密度函數(shù)；m1(t)、m2(t)分別為節(jié)點1、節(jié)點2 的維修密度函數(shù)；fα2(t)為節(jié)點2 處于備用狀態(tài)時的失效概率密度。

其中，當(dāng)冗余系統(tǒng)中兩元件為熱備相關(guān)時，α（休眠因子）=1；兩元件為溫備相關(guān)時，0 ＜α ＜1，兩元件為冷備相關(guān)時，α=0；當(dāng)節(jié)點1 或2 的狀態(tài)不可修時，m1(t)及m2(t)均為0。

1.4 考慮共因失效的DBN 建模

在對熱儲備系統(tǒng)進行建模時，共因失效是一個必須考慮的因素，雖然GO 法可以說明共因失效對冗余系統(tǒng)中備份相關(guān)性的影響，但求解過程比較繁瑣。為此，本文建立了新的操作符19，其描述如下：操作符19 由K 個輸入信號和一個控制信號組成，只有當(dāng)控制信號有效且至少有一個輸入信號有效時，輸出信號才有效。

雙機熱備冗余系統(tǒng)GO 圖模型向DBN 的轉(zhuǎn)化規(guī)則如圖2 所示。GO 圖模型中操作符19-3 為共因失效備件門，操作符5-4 為主件與備件的控制信號，本文將共因失效信號作為操作符的控制信號。DBN 中A1為主件的獨立失效節(jié)點，A2為備件的獨立失效節(jié)點，E1為主件與備件的共因失效節(jié)點，其他符號的定義與上文一致，此處不再贅述。

圖2 共因失效系統(tǒng)GO 圖模型向DBN 的轉(zhuǎn)化規(guī)則

共因失效的故障率很難通過測量獲得，目前常用的方法是通過α 因子模型或β 因子模型進行估計[13]。本文利用β 因子模型確定熱儲備系統(tǒng)的共因失效概率。假設(shè)系統(tǒng)中元件的使用壽命服從指數(shù)分布，則β 因子可表示為：

式中，λc為共因失效概率；λ1為元件獨立失效概率；β值通常由專家確定，取值范圍為β∈[0,0.25]。

考慮共因失效的熱儲備系統(tǒng)DBN 模型的條件概率可以表示為：

式中，fA1(t)、fA2(t)分別為節(jié)點A1、A2的失效密度函數(shù)；mA1(t)、mA2(t)分別為節(jié)點A1、A2的維修密度函數(shù)；fE1(t)為節(jié)點E1的失效密度函數(shù)；mE1(t)為節(jié)點E1的維修密度函數(shù)。當(dāng)節(jié)點A1、A2和E1的狀態(tài)是不可修時，mA1(t)、mA2(t)及mE1(t)均為0。

1.5 基于GO 圖模型的冗余系統(tǒng)DBN 推理

基于GO 圖模型的DBN 推理是在給定網(wǎng)絡(luò)模型和參數(shù)基礎(chǔ)上，利用獲取的證據(jù)，得到所需節(jié)點概率的過程，具體步驟如下：（1）根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)不同單元之間的邏輯關(guān)系建立GO 圖；（2）把GO 圖中的操作符（非邏輯門操作符）作為DBN 中先驗網(wǎng)絡(luò)的根節(jié)點，并同時設(shè)置轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)中與其相應(yīng)的子節(jié)點，最后建立二者之間的連接關(guān)系；（3）以操作符的狀態(tài)概率為DBN 中根節(jié)點的先驗概率，根據(jù)式（5）—（7）與式（9）—（14）確定其轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)中子節(jié)點的條件概率；（4）將根節(jié)點先驗概率與其對應(yīng)的子節(jié)點的條件概率輸入DBN 模型中，利用DBN 的算法獲得所需信息。

2 算例分析

應(yīng)用文獻[14]中已有的案例對新算法進行驗證，并針對該案例中動態(tài)故障樹在冗余系統(tǒng)可靠性分析中的不足，建立考慮共因失效的可靠性模型，分析案例中某控制單元的可靠性。

某控制單元GO 圖模型如圖3 所示。圖3 中，操作符1 表示電源；操作符2、3、4、7、8、9、11、12 分別代表單元內(nèi)的各個元件；直線箭頭為信號流，表示由電源發(fā)出的電壓信號在操作符之間的輸入與輸出。

圖3 某控制單元GO 圖模型

該控制單元包括三個模塊，模塊1 由三個相同的元件組成，工作方式為三機冗余熱儲備，因此需要采用操作符19 共因失效備件門描述該模塊的備用相關(guān)性；模塊2 由屬性不同的三個元件并聯(lián)構(gòu)成，使用第2 類操作符連接輸出；模塊3 為雙機冗余溫儲備設(shè)計，利用操作符18 進行連接。組成該控制單元的元件均為可修，并且只有故障（F）和成功（T）兩種工作狀態(tài)。表1 為GO 圖模型中各操作符含義及案例中所提供的各元件的可靠性參數(shù)。根據(jù)各操作符向DBN 映射的一般規(guī)則，利用GeNIe 軟件建立的DBN 模型如圖4 所示。

表1 GO 圖模型中各操作符含義及各元件的可靠性參數(shù)

圖4 基于改進GO 法的某控制單元DBN 模型

本文根據(jù)軟件中的聯(lián)合樹算法，計算控制單元中電壓輸出正常與失敗概率。對控制單元進行定量分析時，一般基于如下幾個條件：（1）控制單元中所有元件在初始時刻的工作狀態(tài)均正常；（2）控制單元中各元件的使用壽命及維修度服從指數(shù)分布；（3）維修該控制單元的人員充足，共因失效組的維修率為模塊內(nèi)所有元件的維修率之和；（4）分析控制單元在工作條件最差的情形下的可靠度時，共因失效因子β=0.1。利用式（8）可得熱儲備冗余系統(tǒng)的共因失效概率為0.000 375。由式（5）—（7）和式（9）—（14）可算出DBN 中各個根節(jié)點的先驗概率與轉(zhuǎn)移概率，t=1 時DBN 內(nèi)各根節(jié)點的轉(zhuǎn)移概率見表2。將表2中的參數(shù)輸入到DBN 模型中進行計算，節(jié)點N17 的輸出信息即為控制單元的成功與故障概率。

表2 控制單元DBN 各根節(jié)點轉(zhuǎn)移概率

續(xù)表2

為證明本方法的有效性，首先選擇未考慮共因失效與維修因素時控制單元的可靠度進行分析?；趧討B(tài)故障樹與GO 法得到的控制單元可靠性退化曲線對比結(jié)果如圖5 所示。由圖5 可知，基于兩種方法所得結(jié)果一致，驗證了本方法的正確性。雖然文獻[14]采用的動態(tài)故障樹分析法可以處理維修因素與溫備結(jié)構(gòu)對可靠度的影響，但并未考慮共因失效等因素，所得結(jié)果趨于理想，無法反映系統(tǒng)真實的工況。因此，為直觀地說明共因失效對計算結(jié)果的影響，本文將控制單元分包含共因失效與不包含共因失效兩種情況進行比較，其可用度的動態(tài)變化規(guī)律如圖6 所示。

圖5 基于動態(tài)故障樹與GO 法得到的控制單元可靠性退化曲線對比結(jié)果

圖6 考慮/未考慮共因失效與維修因素的控制單元可用度曲線

由圖6 可以看出，控制單元在運行初期，兩種情況下系統(tǒng)的正常工作概率下降趨勢均十分明顯。這一階段控制單元還未處于平穩(wěn)的工作狀態(tài)，各個元件發(fā)生故障的速率大于其維修的速率，從而導(dǎo)致系統(tǒng)可用度驟降。30 周后，控制單元的維修速率開始上升，正常工作的概率走勢也不再驟降，系統(tǒng)的可用度也趨于平穩(wěn)。從圖6 還可以看出，考慮共因失效時，系統(tǒng)的可用度要低于未考慮共因失效的可用度。由此可知，若對熱備冗余系統(tǒng)進行可靠性分析時，只考慮獨立失效而忽略共因失效的影響，必然會降低可靠性的精度，進而造成分析結(jié)果的誤差。

3 故障診斷

DBN 具有強大的反向推理能力，它可以通過設(shè)置模型中任一節(jié)點在任意時刻的不同狀態(tài)，得到其他節(jié)點的后驗概率。本文假設(shè)控制單元處于工作狀態(tài)穩(wěn)定階段即t=30 周時出現(xiàn)故障，此時各個元件所對應(yīng)的根節(jié)點的后驗概率如圖7 所示。由圖7可知，元件C1、C2、C3的正常工作狀態(tài)概率最小。因此，以上元件是該控制單元的薄弱環(huán)節(jié)。當(dāng)控制單元發(fā)生故障時，應(yīng)優(yōu)先安排技術(shù)人員檢查上述三個元件，及時維修或更換，通過降低關(guān)鍵元件的故障率，保證整個系統(tǒng)的長周期穩(wěn)定運行。

圖7 根節(jié)點后驗概率直方圖

4 結(jié) 論

（1）基于GO 法中對備用相關(guān)的描述，構(gòu)建了分別適用于冷、熱儲備的操作符，給出了其向DBN 轉(zhuǎn)化的方法，并以一個簡單的控制單元為例，證明了該方法在冗余系統(tǒng)可靠性評估中的有效性與正確性。

（2）共因失效是冗余可修系統(tǒng)中不可忽視的因素，若將熱備冗余系統(tǒng)當(dāng)作獨立失效來處理，必然會造成分析結(jié)果的誤差，難以真實反映系統(tǒng)的運行狀況。

（3）憑借DBN 強大的推理能力，可方便地計算系統(tǒng)中每個部件正常工作的概率，彌補了GO 法計算不便的劣勢，還可利用其故障診斷功能，迅速確定研究對象在發(fā)生故障時的薄弱環(huán)節(jié)，為制定冗余系統(tǒng)的防控與維修措施提供了理論支持。