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    基于變式教學(xué)理念下的課例與反思
    ——以“一次函數(shù)中的行程問題專題”為載體

    2020-11-05 07:54:54丁葉謙
    初中生世界 2020年40期
    關(guān)鍵詞:實(shí)際意義坐標(biāo)軸變式

    ■丁葉謙

    一、學(xué)情分析

    本課之前,學(xué)生已基本掌握了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì),并且可以根據(jù)函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)圖像的解析式,且能利用函數(shù)解析式求一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo),并且在之前方程的學(xué)習(xí)過程中已經(jīng)能夠利用方程解決行程問題。但利用函數(shù)圖像以及方程思想綜合分析行程問題,學(xué)生的能力還略顯不足,尤其是解較為復(fù)雜的函數(shù)圖像與行程問題結(jié)合的綜合題。

    二、教學(xué)實(shí)錄與反思

    1.問題初探,積累經(jīng)驗(yàn)。

    問題1甲、乙兩人分別從相距480 千米的A、B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行,駛往對方所在地,如圖1是他們行駛的路程y(千米)與行駛的時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)圖像。從圖像中,你能獲得哪些信息?

    學(xué)生1:由點(diǎn)(6,480)可知乙6 小時(shí)行駛了480千米,所以乙的速度為80千米/小時(shí)。

    學(xué)生2:利用待定系數(shù)法可求出y乙=80x,y甲=60x。

    教師:如果深入分析,你能求出甲、乙相遇的時(shí)間嗎?

    學(xué)生3:由題意,可得y甲+y乙=480,即80x+所以他們經(jīng)過小時(shí)相遇。

    變式1在問題1中,如果甲、乙行駛的速度不變,將y(千米)表示為甲、乙離A 地的距離,x(小時(shí))表示他們行駛的時(shí)間,你能畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像嗎?

    學(xué)生小組交流展示,畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像,如圖2。

    教師:哪位同學(xué)來分享一下你畫出這個(gè)函數(shù)圖像的經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

    學(xué)生4:我畫這個(gè)函數(shù)圖像時(shí)主要抓住4 個(gè)點(diǎn),即甲的起點(diǎn)和終點(diǎn)、乙的起點(diǎn)和終點(diǎn),根據(jù)y(千米)表示為甲、乙離A地的距離,x(小時(shí))表示他們行駛的時(shí)間,可知甲的起點(diǎn)為(0,0)、終點(diǎn)為(8,480),乙的起點(diǎn)為(0,480)、終點(diǎn)為(6,0),分別連接甲、乙的起點(diǎn)和終點(diǎn)便可得出相應(yīng)的函數(shù)圖像。

    教師:根據(jù)畫出的函數(shù)圖像,我們可以發(fā)現(xiàn)兩條線段明顯有一個(gè)交點(diǎn),你能說出這個(gè)交點(diǎn)所代表的實(shí)際意義嗎?

    學(xué)生5:這個(gè)交點(diǎn)表示甲、乙兩人行駛一定時(shí)間后相遇了。

    教師:同問題1 一樣,你能求出他們相遇的時(shí)間嗎?

    學(xué)生6:可以應(yīng)用待定系數(shù)法求出他們的函數(shù)表達(dá)式:y甲=60x、y乙=480-80x。由于y表示他們離A 地的距離,當(dāng)他們相遇時(shí),他們離A 地的距離相等,因此y甲=y乙,故60x=480-80x,解得x=所以他們行駛小時(shí)相遇。

    變式2在問題1中,如果甲、乙行駛的速度不變,將y(千米)表示為甲、乙兩人間的距離,x(小時(shí))表示他們行駛的時(shí)間,你還能畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像嗎?

    學(xué)生小組交流展示,畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像,如圖3。

    教師:哪位同學(xué)來分享一下你畫出這個(gè)函數(shù)圖像的經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

    學(xué)生7:我在畫這個(gè)函數(shù)圖像時(shí)主要是先確定幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),然后通過這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)來確定函數(shù)圖像:首先,由于y(千米)表示為甲、乙兩人間的距離,x(小時(shí))表示他們行駛的時(shí)間,因此出發(fā)前的點(diǎn)坐標(biāo)為(0,480);其次是相遇點(diǎn),相遇時(shí)他們之間的距離為0,因此相遇點(diǎn)為再次,當(dāng)乙到達(dá)A時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為(6,360);最后,甲到達(dá)B時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為(8,480)。將這些點(diǎn)用線段連接便可得函數(shù)圖像。

    教師:通過問題1 及變式1、變式2 的學(xué)習(xí),我們可以發(fā)現(xiàn)問題的主題干基本沒變,但坐標(biāo)軸所代表的意義發(fā)生了改變,導(dǎo)致函數(shù)圖像也發(fā)生了較大的變化,據(jù)此你能獲得什么樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)?

    學(xué)生8:坐標(biāo)軸所代表的實(shí)際意義不同,函數(shù)圖像便不同,因此在解決此類問題時(shí),我們要關(guān)注橫、縱坐標(biāo)所代表的實(shí)際意義,同時(shí)還需要關(guān)注一些關(guān)鍵點(diǎn)。

    教師:解決一次函數(shù)中的行程問題,我們需要:①弄清橫、縱坐標(biāo)軸所代表的意義;②弄清關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義。

    【教學(xué)反思】問題初探環(huán)節(jié)是教師在問題1的基礎(chǔ)上,借助變式教學(xué),讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)同樣的問題情境,只是由于坐標(biāo)軸所代表的意義發(fā)生了變化,函數(shù)圖像也會發(fā)生變化,從而突出“核心知識”——橫、縱坐標(biāo)所代表的實(shí)際意義,加深學(xué)生對“核心知識”的理解,積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)——解決一次函數(shù)中的行程問題要弄清橫、縱坐標(biāo)所代表的實(shí)際意義,為后續(xù)的深入學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

    2.變式拓展,提升經(jīng)驗(yàn)。

    變式3甲、乙兩人從相距120 千米的A、B兩地同時(shí)同向出發(fā),往C地方向前行。甲駕車,乙騎行。當(dāng)甲追上乙后,將一重要文件交予乙,并立即返回B處。乙繼續(xù)騎行到達(dá)C地。如圖4是他們行駛過程中的函數(shù)圖像,其中y(千米)表示甲、乙兩人的距離,x(小時(shí))表示他們行駛的時(shí)間。你能根據(jù)圖像得到哪些信息呢?

    教師:變式3與變式2有何不同?

    學(xué)生9:本題與變式2相比,坐標(biāo)軸所代表的意義以及函數(shù)圖像的形狀基本沒變,只是數(shù)據(jù)上稍有變化,但他們的運(yùn)動方式卻發(fā)生了變化,變式2 中他們是相向運(yùn)動,而變式3 中他們是同向運(yùn)動。

    教師:由此可見,同樣的圖像,表達(dá)的意義卻發(fā)生了較大的變化,這主要?dú)w結(jié)于物體運(yùn)動的方式發(fā)生了較大的變化,因此我們在審題時(shí)還需要關(guān)注物體運(yùn)動的方式。

    教師:那么結(jié)合圖像,你能獲得哪些信息呢?

    學(xué)生10:結(jié)合題意及坐標(biāo)軸所代表的實(shí)際意義,由點(diǎn)(0,120)可知A、B兩地相距120千米。

    學(xué)生11:由點(diǎn)(2,0)我發(fā)現(xiàn)甲追上乙用了2小時(shí),畫線段圖表示為如圖5。由點(diǎn)可知甲從兩人相遇處回B 地,用時(shí)小時(shí),此時(shí)甲、乙相距80 千米,線段圖表示為如圖6。由點(diǎn)(4,120),再結(jié)合點(diǎn)可知乙又用小時(shí)走了40 千米到達(dá)C 地,因此乙的速度為30千米/小時(shí),B、C兩地相距120千米。

    學(xué)生12:因?yàn)榧? 小時(shí)追上乙,因此甲2 小時(shí)行駛了120+2×30=180 千米,故甲的速度為90千米/小時(shí)。

    教師:通過以上學(xué)習(xí),同學(xué)們有何學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)要與大家交流?

    學(xué)生13:我覺得解決一次函數(shù)中的行程問題,可以從兩個(gè)方面入手:審題干,弄清物體運(yùn)動的方式,弄清橫、縱坐標(biāo)軸所代表的意義;審圖,弄清圖像的歸屬,弄清關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義。

    【教學(xué)反思】變式拓展環(huán)節(jié)是教師通過變式3 的教學(xué),讓學(xué)生發(fā)現(xiàn),雖然坐標(biāo)軸所代表的意義沒有發(fā)生變化、函數(shù)圖像沒有發(fā)生變化,但由于物體運(yùn)動的方式發(fā)生了變化,函數(shù)圖像所反映出的實(shí)際意義也會發(fā)生較大的變化,拓寬了學(xué)生的認(rèn)知,突出了核心知識——物體運(yùn)動的方式、關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義,從而使學(xué)生初步形成解決一次函數(shù)中的行程問題的基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),即要關(guān)注物體運(yùn)動的方式、關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義。

    3.拓寬提升,形成方法。

    變式4在變式3 的基礎(chǔ)上,如果只將圖4中的4 小時(shí)刪去,其他條件不變,如圖7,你能求出甲、乙的速度嗎?

    學(xué)生14:設(shè)甲的速度為x 千米/小時(shí),乙的速度為y 千米/小時(shí)。根據(jù)函數(shù)圖像,結(jié)合前面的分析以及圖5、圖6,可得方程組解這個(gè)方程組,得所以甲的速度為90千米/小時(shí),乙的速度為30千米/小時(shí)。

    教師:通過變式4 的學(xué)習(xí),你又有什么樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)要與大家分享呢?

    學(xué)生15:我們在解決一次函數(shù)中的行程問題時(shí),有時(shí)需要借助畫線段圖來進(jìn)行綜合分析,有時(shí)還需要利用方程思想來解決問題。

    教師:通過這堂課的學(xué)習(xí),你對解決一次函數(shù)中的行程問題有何看法?

    學(xué)生交流研討,教師總結(jié)板書,給出解決一次函數(shù)中的行程問題的基本策略。

    【教學(xué)反思】教師通過變式4 的教學(xué),讓學(xué)生更加全面、深刻地看到解決此類問題的全貌,形成解決此類問題的基本策略,為學(xué)生今后解決一次函數(shù)中的行程問題積累經(jīng)驗(yàn),提升學(xué)生分析和解決此類問題的能力。

    縱觀以上教學(xué)過程,教師是根據(jù)學(xué)生的學(xué)情把握好教學(xué)的邏輯起點(diǎn),采用變式教學(xué)的策略,突出解決問題的核心方法,教學(xué)設(shè)計(jì)由淺入深,環(huán)環(huán)相扣,讓學(xué)生經(jīng)歷直觀、推理、類比、歸納、概括等思維過程,使學(xué)生的思維品質(zhì)得到進(jìn)一步的提高。

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