有限水深海浪背景下船舶尾流感應(yīng)電磁場數(shù)值模擬?

王向坤， 李予國,2??， 李建凱， 朱心宇

(1.中國海洋大學(xué)海洋地球科學(xué)學(xué)院， 海底科學(xué)與探測技術(shù)教育部重點實驗室， 山東 青島 266100；2.青島海洋科學(xué)與技術(shù)試點國家實驗室， 海洋礦產(chǎn)資源評價與探測技術(shù)功能實驗室， 山東 青島 266237)

海洋電磁技術(shù)是一種新興的海洋地球物理探測手段，在海洋油氣資源勘探、海底天然氣水合物調(diào)查和海底地質(zhì)結(jié)構(gòu)研究等方面的應(yīng)用前景廣泛而巨大。在海洋電磁探測中，通常以船舶作為載體，用于海底電磁采集站的釋放和回收以及海洋電磁發(fā)射源的拖曳等。船舶在海水中航行會引起周圍海水運(yùn)動產(chǎn)生尾流，海面也常伴生海浪，它們因切割地磁場而產(chǎn)生感應(yīng)電磁場。該類感應(yīng)電磁場是海洋電磁探測的主要噪聲干擾，忽略此類噪聲可能會對海洋電磁探測方法的應(yīng)用帶來不利影響。此外，隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，船舶隱身性能越來越得到重視，使得船舶的特征信號難以捕捉，船舶尾流由于其難以消除成為一種新的船舶信號源，海浪是船舶尾流信號的主要噪聲來源，實際情況下，船舶在海表面航行時是以海浪為背景的而不是平靜海面。因此，研究海浪感應(yīng)電磁場和尾流感應(yīng)電磁場的特征差異以及海浪背景下的尾流感應(yīng)電磁場模擬方法，具有理論和現(xiàn)實意義。

海浪運(yùn)動感應(yīng)電磁場的研究始于二十世紀(jì)五、六十年代。Weaver[1]基于表面波理論建立了二維無限水深海浪感應(yīng)磁場模型，模擬結(jié)果表明感應(yīng)磁場大小與海浪的波高和波長有關(guān)。Groskaya等[2]導(dǎo)出了淺海表面重力波感應(yīng)磁場的解析解。Chaillout等[3]利用有限元方法獲得有限水深海浪感應(yīng)電磁場數(shù)值解，為采用實測離散海浪速度模擬感應(yīng)電磁場奠定了基礎(chǔ)。張自力等[4]分析了二維無限水深海浪感應(yīng)磁場的頻譜特征。朱曉建等[5]將不同頻率的海浪感應(yīng)磁場疊加，得到了三維無限水深多頻海浪感應(yīng)磁場響應(yīng)。張寶強(qiáng)[6]采用直接微分法計算三維有限水深單頻海浪感應(yīng)電磁場。林智恒等[7]用畢奧薩法爾定律求解二維海浪感應(yīng)磁場。周春等[8]用格林函數(shù)法求解海浪感應(yīng)磁場。Yaakobi等[9]討論了三維有限水深多頻海浪感應(yīng)磁場在空氣中沿水平方向的變化規(guī)律。目前三維有限水深海浪感應(yīng)電磁場的研究尚不完善。比如，單一頻率海浪感應(yīng)電磁場的研究較多，實際上海浪是一種多頻海水運(yùn)動，研究和分析多頻海浪感應(yīng)電磁場模擬方法及其特征更符合實際情況，這方面的研究工作有待深入。

開爾文尾流是船舶在海平面航行時引起的一種海水?dāng)_動(見圖1)，其由向船后方傳播的橫斷波以及往四周輻散的擴(kuò)散波組成，兩者相干涉形成“V”形區(qū)域的邊界，稱為開爾文臂[10]。Dan[11]建立了無限水深水面船舶和水下航行器尾流感應(yīng)電磁場模型，結(jié)果表明尾流感應(yīng)電磁場是可測的。Zou等[12]探討了航空磁測尾流感應(yīng)磁場的可行性。Yaakobi等[9]等導(dǎo)出了有限水深水面船舶感應(yīng)磁場在空氣層中的表達(dá)式。張伽偉等[13-15]模擬了淺海中水面船舶和水下航行器感應(yīng)電磁場響應(yīng)。在尾流感應(yīng)電磁場的研究中，為了簡化起見，往往只考慮邊界面上磁場切向分量連續(xù)性條件，而忽略了電場切向分量在分界面處的連續(xù)性。這會導(dǎo)致尾流感應(yīng)電場模擬結(jié)果在不同介質(zhì)分界面處不連續(xù)，以及產(chǎn)生較大誤差等。

圖1 開爾文尾流示意圖

在海浪背景下船舶尾流感應(yīng)電磁場研究方面，朱曉建等[5]計算了無限水深條件下風(fēng)浪中尾流感應(yīng)磁場，但沒有考慮海底介質(zhì)的影響。Yaakobi等[9]分析了有限水深條件下空氣層中海浪感應(yīng)磁場和尾流感應(yīng)磁場的特征差異，但只導(dǎo)出了空氣層中感應(yīng)磁場表達(dá)式，這可用于分析航空觀測的海浪和尾流感應(yīng)磁場資料。

本文對前人的研究方法進(jìn)行了改進(jìn)，考慮了分界面處電場連續(xù)性以及海底介質(zhì)的影響，推導(dǎo)出新的海浪和尾流感應(yīng)電磁場表達(dá)式，完善了有限水深情況下海浪感應(yīng)電磁場和尾流感應(yīng)電磁場模擬方法。在海浪感應(yīng)電磁場模擬中，考慮到海浪的多頻性和隨機(jī)性，我們將各種頻率隨機(jī)初相位的單頻海浪感應(yīng)電磁場線性疊加，得到多頻海浪感應(yīng)電磁場響應(yīng)，并給出了空氣層、海水層和海底介質(zhì)中海浪感應(yīng)電磁場表達(dá)式。本文借鑒海浪感應(yīng)電磁場表達(dá)式推導(dǎo)方法，在求解尾流感應(yīng)電磁場時應(yīng)用電場連續(xù)性條件，解決尾流感應(yīng)電場在邊界處不連續(xù)問題。本文模擬了有限水深海浪和尾流感應(yīng)電磁場傳播特性，并分析了海浪對尾流感應(yīng)磁場的影響。

1 海浪和尾流感應(yīng)電磁場

考慮如圖2所示有限水深地電模型。假設(shè)空氣層、海水層和海底介質(zhì)的電導(dǎo)率分別為σ0、σ1和σ2，相應(yīng)的介電常數(shù)分別為ε0、ε1和ε2，海水層厚度為d。假定船體以恒定速度U沿x軸負(fù)方向運(yùn)動，以使得尾流運(yùn)動方向為x軸正方向，α為風(fēng)向與x軸夾角。對于小尺度海浪運(yùn)動和船舶尾流運(yùn)動而言，可以假定研究區(qū)域內(nèi)地磁場為一固定值，且有：

圖2 空氣-海水-海底三層地電模型

(1)

式中：F為地磁場強(qiáng)度；φ為地磁北極與x軸正方向的夾角；I為地磁傾角。假設(shè)海浪和船舶尾流的運(yùn)動速度分別為Vw和Vs，并假定海浪和尾流之間的相互作用可以忽略，則海浪和尾流運(yùn)動感應(yīng)電場可以表示為E=(Vw+Vs)×(B+F)，這里B為感應(yīng)磁場強(qiáng)度。由于地磁場強(qiáng)度(F)遠(yuǎn)大于感應(yīng)磁場強(qiáng)度(B)，于是海浪和尾流感應(yīng)電場可以近似為E=(Vw+Vs)×F。海浪和尾流感應(yīng)電磁場滿足如下麥克斯韋方程：

(2)

(3)

式中：μ為磁導(dǎo)率，本文假設(shè)所有介質(zhì)層中磁導(dǎo)率均為真空磁導(dǎo)率。由式(2)和式(3)可得到海浪和尾流運(yùn)動感應(yīng)磁場滿足的微分方程：

(4)

在求解上述微分方程(4)之前，我們先給出三維海浪及尾流的速度場表達(dá)式。

Higgins等[16]將三維海浪視為由M×N個振幅為am,n、角頻率為ωm、隨機(jī)相位為εm,n、傳播方向與x軸夾角呈θn的正弦波線性疊加而成，于是三維海浪速度場可以表示為[13]:

(5)

式中，

(6)

(7)

(8)

以固定速度U行駛的船舶尾流速度場可以表示為[17]：

(9)

式中，

(10)

(11)

尾流速度場角頻率ω0=k0Ucosθ，尾流波數(shù)k0=(gtanhk0d/U2)sec2θ，Y(x,z)是描述船形的函數(shù)。對于細(xì)長型船體，Y(x,z)可以表示為[11]：

(12)

式中：D為船體吃水深度；l為半船長。

下面，我們分別求解三維海浪和尾流感應(yīng)電磁場微分方程(4)。

海水運(yùn)動感應(yīng)電磁場是由海水速度場引起的，于是其感應(yīng)電磁場也符合簡諧波函數(shù)形式[1]。且可以表示為：

ei(ωmt-kmxcosθn-kmysinθn+εm,n)。

(13)

ei(ωmt-kmxcosθn-kmysinθn+εm,n)。

(14)

類似地，船舶尾流感應(yīng)電磁場可以表示為：

ei(ω0t-k0xcosθ-k0ysinθ)dθ。

(15)

ei(ω0t-k0xcosθ-k0ysinθ)dθ。

(16)

其中：hθ,m,n(z)和eθ,m,n(z)表示海浪感應(yīng)磁場和感應(yīng)電場表達(dá)式中待求解的部分；hθ(z)和eθ(z)表示尾流感應(yīng)磁場和感應(yīng)電場表達(dá)式中待求解部分，它們要根據(jù)速度場通過求解麥克斯韋方程確定。

海浪速度場和尾流速度場與其激發(fā)的感應(yīng)電磁場之間具有相同的簡諧波函數(shù)形式，且海浪感應(yīng)電磁場表達(dá)式(13)和式(14)指數(shù)項中隨機(jī)相位εm.n不參與運(yùn)算，故可令：

q=q(z)ei(ωt-kxcosθ-kysinθ)。

(17)

h=h(z)ei(ωt-kxcosθ-kysinθ)。

(18)

e=e(z)ei(ωt-kxcosθ-kysinθ)。

(19)

其中：q(z)代指已知項qw(z)和qs(z)；h(z)代指海浪和尾流感應(yīng)磁場表達(dá)式中待求解項hθ,m,n(z)和hθ(z)；e(z)代指海浪和尾流感應(yīng)電場表達(dá)式中待求解項eθ,m,n(z)和eθ(z)。將式(18)代入式(4)，可得各介質(zhì)層中感應(yīng)磁場微分方程的通解：

(20)

將式(20)和式(19)代入式(3)，可得感應(yīng)電場表達(dá)式：

(21)

2 海浪背景下尾流感應(yīng)電磁場仿真計算

本文編寫了模擬有限水深海浪背景下尾流電磁場計算程序，其流程圖如圖3所示。使用該程序可以計算有限水深海浪感應(yīng)電磁場、尾流感應(yīng)電磁場以及海浪背景下的尾流感應(yīng)磁場。

圖3 模擬算法流程圖

考慮由空氣層、海水層和海底介質(zhì)構(gòu)成的三層地電模型，假設(shè)空氣、海水和海底介質(zhì)的電導(dǎo)率分別為σ0=10-12S/m、σ1=5 S/m和σ3=0.04 S/m，空氣、海水和海底介質(zhì)的介電常數(shù)分別為ε0=8.85 pF/m、ε1=81ε0和ε2=18ε0，海水厚度d=40 m。并假定地磁場強(qiáng)度F=5×104nT，磁傾角I=π/3，磁北與x軸夾角φ=π/4。

2.1 海浪感應(yīng)電磁場

假設(shè)風(fēng)速U19.5=10 m/s，風(fēng)向α=π/4，選擇頻率個數(shù)和方向分割數(shù)M=N=50，即模擬海浪的頻率范圍是0.02～1 Hz。計算得到的t=0時刻海平面下方1 m處海浪感應(yīng)磁場Bx分量分別沿x軸和y軸的變化曲線如圖4(a)和圖4(b)所示。由圖4(a)和圖4(b)可知：(1)感應(yīng)磁場分量Bx在水平方向上基本呈等幅度變化，幅值范圍大體在±0.4nT。(2)由于風(fēng)向為π/4，所以感應(yīng)磁場Bx在x軸方向和y軸方向具有相似的傳播特性。圖4(c)和圖4(d)分別表示海浪感應(yīng)電磁場各分量在點(x=1,y=1)處沿垂直深度變化曲線。從圖中可以看出，(1)由于空氣層、海水層和海底的電性差異，導(dǎo)致各介質(zhì)中感應(yīng)磁場衰減程度不同?？諝鈱又懈袘?yīng)磁場衰減速度快于其在海水層和海底中的衰減。(2)海浪感應(yīng)電場在海面處具有最大值，隨深度增大呈指數(shù)衰減。

圖4 海浪運(yùn)動感應(yīng)電磁場

2.2 尾流感應(yīng)電磁場

假設(shè)船速U=10 m/s，半船長l=50 m，船體吃水深度D=6 m，利用本文所述程序計算得到的t=0時刻海表面下方1 m處尾流感應(yīng)磁場Bx分量分別沿x軸和y軸的變化曲線如圖5(a)和圖5(b)所示。由圖5(a)和(b)可知：(1)沿x軸Bx分量曲線表現(xiàn)為先迅速增大，然后緩慢衰減的正弦波，其衰減速度隨著距離增大而逐漸變小，在2 km遠(yuǎn)處量級為102pT，高于目前儀器測量的下限。(2)Bx分量沿y軸的變化曲線存在兩個極值，并且極值間隔隨x取值的增大而變大，但極值大小隨x取值增大而減小，這與尾流速度場“V”形結(jié)構(gòu)有關(guān)。圖5(c)和(d)分別表示在點(x=1,y=1)處尾流運(yùn)動感應(yīng)電磁場沿垂直深度變化曲線。由圖可知，(1)開爾文尾流同樣為表面重力波，尾流感應(yīng)磁場和感應(yīng)電場最大值均出現(xiàn)在海面處。(2)在空氣中，尾流感應(yīng)磁場在垂直方向上隨著觀測點逐漸遠(yuǎn)離海表面按指數(shù)規(guī)律衰減，且其衰減得比在海水和海底中要快。(3)尾流感應(yīng)電場水平分量在分界面處連續(xù)，這再次說明本文導(dǎo)出的感應(yīng)電磁場的系數(shù)表達(dá)式是正確的。另外，海浪和尾流感應(yīng)電磁場在垂直方向上的變化特征相似。

圖5 舶尾流運(yùn)動感應(yīng)電磁場

2.3 海浪背景下尾流感應(yīng)磁場

下面，我們模擬有限水深海浪背景下尾流感應(yīng)磁場。假設(shè)船速U=10 m/s,風(fēng)速U19.5分別10,14和18 m/s，其它參數(shù)與前述相同。利用本文所述方法計算得到三種不同風(fēng)速海浪背景下t=0時刻海平面下方1 m處尾流感應(yīng)磁場Bx分量沿x軸的變化曲線，如圖6所示。由圖6可知：隨著風(fēng)速增大，尾流感應(yīng)磁場Bx噪聲變強(qiáng)，海浪背景下尾流感應(yīng)磁場分量Bx沿x軸衰減趨勢變緩，當(dāng)風(fēng)速達(dá)到18 m/s時，Bx曲線基本呈等幅度變化，表明此時尾流感應(yīng)磁場基本上被海浪感應(yīng)磁場所覆蓋。

圖7為船速和風(fēng)速分別為U=10和U19.5=10 m/s時船后方三個不同距離處與y軸平行剖面上尾流感應(yīng)磁場Bx分量曲線。比較圖7和圖5(b)可知，高頻海浪感應(yīng)磁場噪聲的存在使得尾流感應(yīng)磁場曲線不光滑，但尾流磁場的兩個極大值仍然清晰可見。在極值點所代表的開爾文臂區(qū)域之外，尾流感應(yīng)磁場易被海浪感應(yīng)磁場所覆蓋，這表明海浪背景下尾流感應(yīng)磁場在y方向的特征范圍是以開爾文臂的最外側(cè)為邊界的。

3 結(jié)論

本文考慮了分界面處感應(yīng)電場連續(xù)性以及海底介質(zhì)的影響，推導(dǎo)出新的海浪和尾流感應(yīng)電磁場表達(dá)式，解決了尾流感應(yīng)電場分界面處不連續(xù)問題，完善了有限水深情況下海浪和尾流感應(yīng)電磁場模擬方法，并編寫了計算程序，實現(xiàn)了海浪背景下開爾文尾流感應(yīng)磁場仿真計算。算例表明：

(1)當(dāng)風(fēng)速U19.5=10 m/s及船速U=10 m/s時，海表面處海浪和尾流運(yùn)動感應(yīng)磁場量級范圍是10-1～1 nT，感應(yīng)電場量級范圍是10～102μV/m，海水運(yùn)動感應(yīng)電磁場是海洋電磁技術(shù)應(yīng)用時不可忽略的干擾源。

(2)海浪感應(yīng)磁場和尾流感應(yīng)磁場在水平方向的傳播特征具有明顯差別，而在垂直方向上兩者變化特征相似。因此，在分析海浪背景下船舶尾流磁場信號時，需要對比分析平面觀測結(jié)果。

(3) 船舶尾流感應(yīng)磁場在開爾文臂區(qū)域幅值最大，風(fēng)速較小時其在海浪背景下能夠保持較好的特征，因此在研究海浪背景下船舶信號識別時，應(yīng)以開爾文臂區(qū)域為重點。另外，海浪可能會對尾流感應(yīng)磁場產(chǎn)生明顯影響，尤其是風(fēng)速很大時，尾流感應(yīng)磁場可能完全淹沒在海浪感應(yīng)磁場中。

附錄：待定系數(shù)表達(dá)式的推導(dǎo)

為了求得待定系數(shù)b1，a2，b2，a3，必須利用如下邊界條件：(1)海水面(z=0)及海底面(z=-d)處感應(yīng)磁場水平分量以及垂直分量連續(xù)；(2)海水面及海底面處感應(yīng)磁場垂直分量對于z的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)；(3)海水面及海底面處感應(yīng)電場水平分量連續(xù)。利用以上邊界條件，可以得到：

(A-1)

(A-2)

式中：

A=((δ0-δ1)(δ2-δ1)e-δ1d-

(A-3)

(A-4)

類似地，可得到：

a2x=(c1eδ1dΦx+c2Ψx)/B。

(A-5)

a2y=(c1eδ1dΦy+c2Ψy)/B。

(A-6)

b2x=(c3e-δ1dΦx+c4Ψx)/B。

(A-7)

b2y=(c3e-δ1dΦy+c4Ψy)/B。

(A-8)

式中：

B=c2e-δ1d-c4eδ1d，

在求得系數(shù)a2x，a2y，b2x，b2y后，根據(jù)電磁場邊界條件可求得系數(shù)b1x，b1y，a3x和a3y。

在求得所有待定系數(shù)后，可以得到感應(yīng)電磁場表達(dá)式，然后需要將代指項還原。對于海浪感應(yīng)電磁場，將表達(dá)式中的k和ω還原為海浪的波數(shù)和角頻率，將P和Q還原為通過海浪速度場qw(z)求取的Pw和Qw，在指數(shù)項加上隨機(jī)相位εm,n后進(jìn)行疊加運(yùn)算，可得海浪感應(yīng)電磁場響應(yīng)。同樣的，對于尾流感應(yīng)電磁場，將表達(dá)式中的k和ω還原為尾流的波數(shù)和角頻率，將P和Q還原為通過尾流速度場qs(z)求取的Ps和Qs，然后對表達(dá)式進(jìn)行積分運(yùn)算，可得尾流感應(yīng)電磁場響應(yīng)。

在以上推導(dǎo)待定系數(shù)表達(dá)式的過程中，我們利用了分界面處電磁場連續(xù)性邊界條件，這保證了計算得到的尾流感應(yīng)電場水平分量在邊界處連續(xù)。如果不考慮分界面處電場邊界條件時待定系數(shù)表達(dá)式中將不含有與Q有關(guān)的項。