高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限的求解方法

梁新峰，任丹丹

（安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽淮南232001）

數(shù)列是大學(xué)高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析及數(shù)學(xué)專業(yè)相關(guān)專業(yè)課程的基本知識點。它在大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起到了重要的作用。通過對數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)等課程的分析可知，數(shù)列極限不僅與函數(shù)極限密切相關(guān)，而且為學(xué)習(xí)定積分的定義、級數(shù)理論及離散數(shù)學(xué)等提供了極為重要的準(zhǔn)備知識。另外，在“新工科”的背景下，我們秉承“傳道授業(yè)解惑”的宗旨，樹立和明確研究目標(biāo)，更加注重對數(shù)列求解的方法創(chuàng)新及其對方法的分類。鑒于此，我們著重研究數(shù)列極限的求解方法及其分類。

函數(shù)是由定義域、對應(yīng)法則及其值域所決定的，而數(shù)列是一類以正整數(shù)集（或者它的子列）為定義域的特殊函數(shù)。鑒于此，我們可以從函數(shù)的角度研究數(shù)列的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。數(shù)列根據(jù)其不同的結(jié)構(gòu)性質(zhì)可分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列、周期數(shù)列、常數(shù)列等。因此，我們可以依據(jù)數(shù)列自身的結(jié)構(gòu)性質(zhì)采用不同的求解方法。

下面我們對數(shù)列收斂性的求解方法進(jìn)行系統(tǒng)的研究。

1 數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是一種基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)證明方法，通常用于證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題成立，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。故我們可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明和求解某些特定數(shù)列的極限。解題過程通常分為兩步，首先通過數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的極限是存在的，在此基礎(chǔ)上，利用等式兩端同時取極限、求解方程等方法求解數(shù)列的極限。

2 變量替換法

當(dāng)已知兩個數(shù)列中某些項之間的關(guān)系式時，直接證明兩個極限均收斂往往是比較困難的。我們常常需要依據(jù)原有的關(guān)系式選取合適的中間變量，將原有的關(guān)系式化簡，以便證明極限收斂。這樣既可以簡化我們的計算過程，又可以降低我們的解題難度。

3 函數(shù)極限法

數(shù)列是一種以正整數(shù)或者其子列為定義域的特殊函數(shù)。對于特定的較為復(fù)雜的數(shù)列，我們依據(jù)數(shù)列自身的結(jié)構(gòu)及其關(guān)系式難以直接得到其極限。鑒于數(shù)列和函數(shù)之間的特殊關(guān)系，結(jié)合子列的收斂性和數(shù)列的收斂性的關(guān)系，我們可以將間斷的數(shù)列的極限轉(zhuǎn)化為對應(yīng)連續(xù)函數(shù)的極限進(jìn)行研究探討。

4 定積分法

定積分是高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析等課程中重要的知識點，其在求解圖形面積和物體質(zhì)量等現(xiàn)實問題中起到了至關(guān)重要的作用。我們注意到定積分的定義是通過“分割、近似、求和及取極限”等4個步驟給出的。在此過程中，取極限是至關(guān)重要的一步，此步將煩瑣的求極限的過程轉(zhuǎn)化為定積分的求解過程。

5 利用微分中值定理法

在方法3中，我們注意到函數(shù)和數(shù)列之間的關(guān)系，如果數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)在特定的閉區(qū)間內(nèi)是連續(xù)且可導(dǎo)的，則我們可以利用連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)（如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等）研究數(shù)列的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。下面我們利用函數(shù)的微分中值定理將例1重新證明，以此說明此法在研究數(shù)列收斂中的作用。

6 利用施篤茲公式進(jìn)行求解

6 結(jié)束語

本文闡述了數(shù)列在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，并基于此，對研究數(shù)列收斂的方法進(jìn)行了較為全面的分類和闡釋，包括數(shù)學(xué)歸納法、變量代換法、積分法、利用微分中值定理和施篤茲（Stolz）公式等。