軸對(duì)稱(chēng)殼體結(jié)構(gòu)聲散射高效計(jì)算方法

周子翔，任春雨

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

海洋發(fā)展戰(zhàn)略重要性日益顯著，有關(guān)水下聲波探測(cè)及深潛器結(jié)構(gòu)聲性能研究日益增多。水下復(fù)雜結(jié)構(gòu)受聲波激勵(lì)后，會(huì)產(chǎn)生包含復(fù)雜結(jié)構(gòu)幾何形狀、內(nèi)部結(jié)構(gòu)、材料等信息的散射聲場(chǎng)，此類(lèi)水下復(fù)雜結(jié)構(gòu)聲散射研究在當(dāng)今水下結(jié)構(gòu)聲性能研究中尤為重要，相應(yīng)的計(jì)算方法也較為豐富。

目前，聲散射問(wèn)題的計(jì)算方法包括了近似解法和數(shù)值解法，多應(yīng)用于嚴(yán)格理論解較難解決的復(fù)雜結(jié)構(gòu)中。湯渭霖[1–2]使用Kirchhoff近似的物理聲學(xué)方法，將其推廣到非硬表面的情況，解決了附加吸聲覆蓋層的目標(biāo)強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題；范威[3]使用簡(jiǎn)正波Kirchhoff近似混合方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)大尺寸復(fù)雜目標(biāo)在淺海波導(dǎo)中的散射聲場(chǎng)計(jì)算。T矩陣方法是在半解析方法基礎(chǔ)上的數(shù)值方法，所求單一T矩陣適用于各入射方向，能夠精確解決中、高頻散射問(wèn)題，廣泛應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)目標(biāo)聲散射計(jì)算[4–5]，但無(wú)法計(jì)算表面有棱角模型，例如兩端平面的圓柱殼。王朔中[6]提出應(yīng)用于水下結(jié)構(gòu)聲散射的時(shí)域有限差分方法，此方法可有效用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)聲散射計(jì)算，但需同時(shí)考慮內(nèi)外空間，導(dǎo)致在求解遠(yuǎn)場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，外部網(wǎng)格量較大，計(jì)算量大大增加。有限元計(jì)算方法由于其對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)及多頻段的可用性，被廣泛用于研究水下復(fù)雜目標(biāo)聲散射[7–9]，Rajabi等[10]使用三維有限元方法計(jì)算了多層復(fù)合材料圓柱殼的聲散射特性。雖然三維有限元計(jì)算方法精度高、模型構(gòu)建要求低，但是其效率較差是顯而易見(jiàn)的。為了提高計(jì)算效率，二維軸對(duì)稱(chēng)計(jì)算方法需大力推廣。目前對(duì)于二維軸對(duì)稱(chēng)運(yùn)用計(jì)算方法研究較少，Mario Zampolli等[11]提出了求解軸對(duì)稱(chēng)目標(biāo)聲散射的方法，胡珍、張培珍等[12–13]利用二維有限元方法分別研究了水下掩埋目標(biāo)及水中局部填充帶球冠柱體的聲散射特性。

本文研究對(duì)象為雙層周期加筋圓柱殼模型，該模型大范圍運(yùn)用在水下魚(yú)雷、深潛器等結(jié)構(gòu)中，具有極大的工程價(jià)值。而這類(lèi)模型在數(shù)值計(jì)算的過(guò)程中，隨體積和頻率增多的網(wǎng)格量，導(dǎo)致需要龐大的計(jì)算量來(lái)滿(mǎn)足計(jì)算精度。為了解決這一問(wèn)題，本文利用有限元方法，推導(dǎo)出適用于二維軸對(duì)稱(chēng)模型的公式，結(jié)合仿真軟件，計(jì)算了雙層周期加筋圓柱殼模型在平面波作用下的回波特性，并將三維與二維的計(jì)算結(jié)果和效率進(jìn)行對(duì)比，說(shuō)明二維軸對(duì)稱(chēng)有限元方法在水下復(fù)雜目標(biāo)聲散射計(jì)算中具有較高計(jì)算精度與計(jì)算效率。

1 基本理論

本文研究的軸對(duì)稱(chēng)目標(biāo)如圖1所示。采用非軸對(duì)稱(chēng)激勵(lì)的平面波入射，選用柱坐標(biāo)r，θ，z。這種情況，通過(guò)二維有限元方法計(jì)算，既能保證計(jì)算精度，也能大大提高計(jì)算效率。本節(jié)介紹柱坐標(biāo)下的入射平面波展開(kāi)公式，遠(yuǎn)場(chǎng)聲目標(biāo)強(qiáng)度計(jì)算公式，以及此種情況下彈性域與聲場(chǎng)域的變分方程。隨后基于變分方程，將三維有限元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了二維有限元問(wèn)題，并在商用有限元軟件COMSOL中構(gòu)建二維軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)聲散射計(jì)算模型。

圖1 旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)圖Fig. 1 Rotating structure

1.1 平面波展開(kāi)

一般柱坐標(biāo)入射聲場(chǎng)pinc可以通過(guò)Fourier級(jí)數(shù)形式按照m階展開(kāi)得到：

根據(jù)式（1），對(duì)入射平面波展開(kāi)，它的波數(shù)向量k平行于rz平面，并與r軸形成一個(gè)角度：

1.2 聲目標(biāo)強(qiáng)度

在柱坐標(biāo)系中，距原點(diǎn)距離為r處，遠(yuǎn)場(chǎng)聲目標(biāo)強(qiáng)度公式為：

1.3 非軸對(duì)稱(chēng)激勵(lì)下軸對(duì)稱(chēng)目標(biāo)的變分方程

根據(jù)彈性域與聲場(chǎng)域變分方程，可以在COMSOL中構(gòu)建水下軸對(duì)稱(chēng)目標(biāo)非軸對(duì)稱(chēng)激勵(lì)計(jì)算模型。相應(yīng)變分方程可表示為：

式（4）～式（7）中：大括號(hào)內(nèi)取值，根據(jù)周向模數(shù)m取值而定，當(dāng)時(shí)，取上側(cè)值；時(shí)，取下側(cè)值計(jì)算。

1.4 算例驗(yàn)證

利用文獻(xiàn)[11]中長(zhǎng)度200 cm，半徑25 cm，殼厚1 cm帶帽圓柱的剛體與真空殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行方法驗(yàn)證。對(duì)比計(jì)算中入射平面波為正橫方向，材料橫波波速1 400 m/s，縱波波速3 500 m/s，密度3 000 kg/m3。通過(guò)剛體帶帽圓柱與帶帽圓柱殼的聲目標(biāo)強(qiáng)度TS計(jì)算結(jié)果對(duì)比可知，利用COMSOL構(gòu)建的二維軸對(duì)稱(chēng)聲散射計(jì)算模型的計(jì)算結(jié)果與參考文獻(xiàn)結(jié)果吻合度非常高，如圖2所示?？梢宰C明所使用二維軸對(duì)稱(chēng)有限元法具有較高的準(zhǔn)確性，完全適用于軸對(duì)稱(chēng)殼體結(jié)構(gòu)聲散射這一類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算。

圖2 聲目標(biāo)強(qiáng)度TS對(duì)比Fig. 2 Comparison of acoustic target intensity TS

2 散射場(chǎng)計(jì)算與分析

2.1 目標(biāo)模型與聲學(xué)參數(shù)

為了驗(yàn)證計(jì)算方法在不同物理結(jié)構(gòu)中的有效性，構(gòu)建純圓柱殼、加筋圓柱殼和雙層加筋圓柱殼的二維軸對(duì)稱(chēng)仿真模型，如圖3所示。模型由水包圍，入射平面波為正橫入射，采用收發(fā)合置方式計(jì)算散射聲場(chǎng)，計(jì)算頻帶為100～5 000 Hz，步長(zhǎng)為10 Hz。相關(guān)模型幾何尺寸與材料參數(shù)見(jiàn)表1和表2。

2.2 圓柱殼加筋對(duì)比分析

圖4～圖6為單一圓柱殼與加筋圓柱殼在不同入射方向（包括0°，20°，40°入射）下的聲目標(biāo)強(qiáng)度TS對(duì)比曲線(xiàn)，其中入射角度為入射波與模型正橫方向的夾角，0°即為正橫。對(duì)比單一圓柱殼與加筋圓柱殼，隨著入射波頻率的增大，入射波波長(zhǎng)減小，環(huán)形加強(qiáng)筋對(duì)聲目標(biāo)強(qiáng)度的影響逐漸明顯。

圖3 二維軸對(duì)稱(chēng)模型Fig. 3 Two-dimensional axisymmetric model

表1 幾何參數(shù)Tab. 1 Geometric parameters

表2 材料參數(shù)Tab. 2 Material parameters

圖4 圓柱殼與加筋殼聲目標(biāo)強(qiáng)度（0°）Fig. 4 Acoustic target intensity of cylindrical shell and stiffened shell（0°）

圖5 圓柱殼與加筋殼聲目標(biāo)強(qiáng)度（20°）Fig. 5 Acoustic target intensity of cylindrical shell and stiffened shell（20°）

圖6 圓柱殼與加筋殼聲目標(biāo)強(qiáng)度（40°）Fig. 6 Acoustic target intensity of cylindrical shell and stiffened shell（40°）

當(dāng)入射角為0°時(shí)，加筋殼聲目標(biāo)強(qiáng)度與圓柱殼在低頻范圍內(nèi)基本吻合，僅在高頻段3 500～5 000 Hz的3 600 Hz與4 500 Hz附近存在較大差異；當(dāng)入射角為20°時(shí)，加筋殼在3 400Hz，3 800 Hz，4 250 Hz附近以及4 500～5 000 Hz范圍內(nèi)與圓柱殼TS存在差異；當(dāng)入射角為40°時(shí)，加筋殼TS與圓柱殼差異愈加明顯，從1 750 Hz開(kāi)始出現(xiàn)較多小的偏差點(diǎn)，無(wú)法達(dá)到小角度入射時(shí)低頻范圍內(nèi)的吻合程度。上述現(xiàn)象都說(shuō)明隨著入射角度的增大，加筋殼在高頻段的影響相較單一圓柱殼會(huì)逐漸增大。

2.3 雙層加筋圓柱殼對(duì)比分析

圖7～圖9為加筋圓柱殼與雙層加筋圓柱殼在0°，20°，40°入射平面波作用下的聲目標(biāo)強(qiáng)度TS對(duì)比曲線(xiàn)。

對(duì)于雙層加筋圓柱殼，為表明外殼對(duì)聲散射特性的影響，在圖7中增加了單一圓柱外殼在正橫入射時(shí)的聲目標(biāo)強(qiáng)度曲線(xiàn)。對(duì)比加筋圓柱殼與雙層加筋圓柱殼，由圖7可見(jiàn)，對(duì)于正橫入射而言，其雙層結(jié)構(gòu)TS更多是由外部殼體所貢獻(xiàn)的，相較內(nèi)部加筋柱殼來(lái)說(shuō)，外部殼體的計(jì)算結(jié)果普遍較高一點(diǎn)。特別是在3 000 Hz之后，雙層加筋圓柱殼TS與單一圓柱外殼吻合程度進(jìn)一步增加。

圖7 加筋殼與雙層加筋殼聲目標(biāo)強(qiáng)度（0°）Fig. 7 Acoustic target intensity of stiffened shell and double layer stiffened shell（0°）

圖8 加筋殼與雙層加筋殼聲目標(biāo)強(qiáng)度（20°）Fig. 8 Acoustic target intensity of stiffened shell and double layer stiffened shell（20°）

圖9 加筋殼與雙層加筋殼聲目標(biāo)強(qiáng)度（40°）Fig. 9 Acoustic target intensity of stiffened shell and double layer stiffened shell（40°）

當(dāng)入射角度為20°時(shí)，圓柱外殼對(duì)聲散射特性的影響減弱，只在1 400～2 500 Hz內(nèi)，圓柱外殼的影響較大，而在1 400以下、2 500 Hz以上，雙層結(jié)構(gòu)與內(nèi)部加筋柱殼結(jié)果相近。當(dāng)入射角度為40°時(shí)，雙層結(jié)構(gòu)與內(nèi)部加筋柱殼結(jié)果則更為相近?？傊S著入射角度增大，外部殼體影響逐漸縮小，內(nèi)部加筋結(jié)構(gòu)影響增強(qiáng)，雙層加筋結(jié)構(gòu)與單層加筋結(jié)構(gòu)聲目標(biāo)強(qiáng)度逐漸吻合。

2.4 計(jì)算效率對(duì)比分析

表3與圖10顯示了各結(jié)構(gòu)模型3D與2D的計(jì)算效率，結(jié)果均由裝載Intel（R）Xeon（R）E5-2686v4@2.3GHz芯片工作站計(jì)算所得，操作系統(tǒng)為64位Windows 10專(zhuān)業(yè)版。

由圖11對(duì)比3D與2D模型的計(jì)算效率可得：

1）在最大網(wǎng)格尺寸不超過(guò)入射波波長(zhǎng)1/6情況下，三維模型的計(jì)算自由度是二維模型的30～40倍；

2）二維模型運(yùn)行內(nèi)存占用基本穩(wěn)定在2GB左右，三維模型運(yùn)行內(nèi)存占用隨著結(jié)構(gòu)復(fù)雜度升高，所需內(nèi)存成倍增加；

3）計(jì)算時(shí)間上，二維模型平均單頻點(diǎn)所需時(shí)間與三維模型相差20～100倍，遠(yuǎn)低于三維模型。如果考慮周向模數(shù)m，對(duì)于本文模型m=10已能滿(mǎn)足計(jì)算精度，每個(gè)頻點(diǎn)計(jì)算10次后，計(jì)算時(shí)間也與三維模型相差甚遠(yuǎn)。

表3 各模型3D與2D計(jì)算效率對(duì)比Tab. 3 Comparison of 3D and 2D calculation efficiency of each model

圖10 各模型3D與2D計(jì)算效率對(duì)比Fig. 10 Comparison of 3D and 2D calculation efficiency of each model

3 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)水下復(fù)雜結(jié)構(gòu)聲散射分析精度較低且耗時(shí)較大的問(wèn)題，本文基于軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在非軸對(duì)稱(chēng)激勵(lì)情況下的變分理論，在有限元仿真軟件中實(shí)現(xiàn)了對(duì)旋轉(zhuǎn)柱殼結(jié)構(gòu)的聲散射特性分析。通過(guò)與相關(guān)文獻(xiàn)三維模型聲目標(biāo)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性；通過(guò)仿真分析圓柱殼、加筋殼、雙層加筋殼等不同復(fù)雜結(jié)構(gòu)的聲散射特性，進(jìn)一步說(shuō)明了該方法的高效性?；诒疚奶岢龅姆椒?，后續(xù)可在水下目標(biāo)聲輻射方面開(kāi)展研究，拓寬應(yīng)用范圍。