初中數(shù)學(xué)教科書中歷史名題分布特征及啟示

唐海軍高 晶

初中數(shù)學(xué)教科書中歷史名題分布特征及啟示

唐海軍1，2，高 晶2

（1．貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550001；2．四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 達州 635000）

選取人教版、北師大版、華師大版初中數(shù)學(xué)教科書作為研究對象，分別對教科書中數(shù)學(xué)歷史名題的分布年級與來源、名題類型與功能、教科書位置與知識領(lǐng)域、名題情境與呈現(xiàn)方式等指標(biāo)進行統(tǒng)計分析，并為中國初中數(shù)學(xué)教科書的編寫者及數(shù)學(xué)教師教學(xué)提供參考建議：增加名題的數(shù)量，調(diào)整名題的位置；整合名題的資源，開展研究性專題教學(xué)；優(yōu)化名題的設(shè)計，增強課堂人文氛圍；拓展名題的閱讀，加深對問題本質(zhì)的理解．

數(shù)學(xué)教科書；歷史名題；教科書比較

數(shù)學(xué)歷史名題通常是指在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長河中形成，并且對數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)教學(xué)方面起過或仍起著重要作用的數(shù)學(xué)問題[1]，其具有經(jīng)典性、歷史性、趣味性等特點．歷史名題對數(shù)學(xué)發(fā)展有促進作用，對數(shù)學(xué)教學(xué)有思想方法引領(lǐng)作用，對學(xué)生有激發(fā)興趣、進行愛國主義教育的作用．

1 數(shù)學(xué)名題的價值與研究現(xiàn)狀

路易斯·雷德福（Luis Radford）認為在數(shù)學(xué)課堂中使用歷史文本，能夠增強學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)展的洞察力；增強對數(shù)學(xué)在社會中作用的理解；增進對數(shù)學(xué)主觀維度的感知[2]．由于社會中早期的數(shù)學(xué)問題通常是基于經(jīng)驗和任務(wù)導(dǎo)向的，名題的情境常常涵蓋堤防修筑、城墻建造、土地稅收、糧食儲存以及商品價格的計算．因此，法蘭克·斯懷茲（F. J. Swetz）認為“在社會歷史的后期，人們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)同樣的問題情境被不斷修改以促進數(shù)學(xué)技術(shù)；同時，文化和社會學(xué)的信息也可以從解決數(shù)學(xué)歷史問題中獲得”[3]．比如初中數(shù)學(xué)教科書（人民教育出版社，2013年9月版七年級·上冊）中“一元一次方程”中的“報酬問題”，反映出封建社會底層百姓的勞動收入情況．

數(shù)學(xué)名題除了鞏固所學(xué)知識、提升問題解決能力、促進數(shù)學(xué)思維形成之外，還能夠發(fā)揮獨特的數(shù)學(xué)情感教育．“歷史問題對學(xué)生來說可能是有趣的，但處理這些歷史問題需要讓他們得到一種感覺，即采用簡單的工具和技術(shù)就能解決一些生活中的實際問題”[4]，比如華東師范大學(xué)出版社2012年7月出版的數(shù)學(xué)教科書（九年級·下冊），在閱讀材料中所編寫的科學(xué)家埃拉托色尼（Eratosthenes）在亞歷山大城測量計算地球圓周的近似長度問題；在九年級（上）的例題中編排了泰勒斯（Thales）采用全等的思想測量河的寬度，利用相似原理測量金字塔的高度等問題，都是初等幾何學(xué)在現(xiàn)實世界中的應(yīng)用．這有益于增加學(xué)生的自信心，幫助他們相信自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力．

國內(nèi)已有學(xué)者對數(shù)學(xué)歷史名題進行了相關(guān)研究．概括起來有4個方面．其一，對數(shù)學(xué)名題本身的研究．例如，高希堯（1982）編有《數(shù)海鉤沉——世界數(shù)學(xué)名題選輯》，沈康身（2002）著有《歷史數(shù)學(xué)名題賞析》，單墫（2002）著《數(shù)學(xué)歷史名題辭典》，他們的成果為后續(xù)的教科書編寫、數(shù)學(xué)教學(xué)、相關(guān)研究提供了豐富的素材．其二，在數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)教科書的研究中，通過教科書比較[5-6]提到數(shù)學(xué)名題的數(shù)量和分布．例如，王振輝指出在數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教科書時，增加歷史知識的介紹形式，可選擇歷史名題作為教科書的例題或練習(xí)題[7]；陳碧芬統(tǒng)計得出北師大版教科書為幾乎所有的歷史名題附上了翻譯，這樣的翻譯“就為數(shù)學(xué)學(xué)科中的古文閱讀能力給出了較為合理的定位，而且為學(xué)生展示了中國古文在表達數(shù)學(xué)問題時存在的困難”[8]．其三，聚焦于數(shù)學(xué)歷史名題的研究．例如，劉艷紅的碩士論文研究了數(shù)學(xué)名題的定義、分類、在數(shù)學(xué)發(fā)展與數(shù)學(xué)教育中的地位與作用[9]．其四，研究數(shù)學(xué)歷史名題的價值．例如，劉超認為數(shù)學(xué)名題對數(shù)學(xué)教育和HPM研究都具有重要的價值，在此基礎(chǔ)上提出了HPM視角下的問題解決教學(xué)過程與策略[10]；黃孌在高中數(shù)學(xué)課堂開展教學(xué)實驗，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)名題的效應(yīng)，經(jīng)過兩年的教學(xué)實踐，收到了良好的效果與經(jīng)驗[11]．

綜上所述，已有研究[5-8]對數(shù)學(xué)歷史名題的價值與應(yīng)用已有一定的認識基礎(chǔ)，但也存在著由于沒有明確的統(tǒng)計標(biāo)準(zhǔn)，導(dǎo)致不同文獻對同一本教科書的統(tǒng)計數(shù)據(jù)出現(xiàn)差異的現(xiàn)象，或僅是對數(shù)學(xué)名題進行了特征歸類與解題列舉[9-11]，尚缺乏對初中數(shù)學(xué)教科書中歷史名題的分布特征與教材編寫、教學(xué)設(shè)計與資源開發(fā)之間關(guān)系的深入研究．然而，初中數(shù)學(xué)教科書的內(nèi)容雖然只涉及到初等數(shù)學(xué)，但它“本質(zhì)上是一個有潛力的寶庫”（如，含有豐富的歷史名題）．為促進利用這一寶庫，數(shù)學(xué)教師的教學(xué)目標(biāo)不應(yīng)僅僅停止在澄清一個古老的原始文本，而應(yīng)該始終是將歷史主題的實際關(guān)聯(lián)性帶到學(xué)生對當(dāng)今和未來世界的把握上[12]．同時，教科書不僅在課程開發(fā)中發(fā)揮了很大作用，更為教師提供了一個連貫性的框架來指導(dǎo)教師的工作．除此以外，教科書還幫助教師定義了要教的數(shù)學(xué)知識和一定數(shù)量的練習(xí)[13]．因此，對不同版本的初中數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)歷史名題的分布特征進行比較研究，有利于教科書編寫者審視數(shù)學(xué)歷史名題在教科書中的現(xiàn)狀，更有益于開闊數(shù)學(xué)教師對教科書解讀的視野，有助于數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)．

2 研究設(shè)計

2.1 研究問題

基于數(shù)學(xué)歷史名題的價值與研究現(xiàn)狀的分析，確定此項研究主要聚焦于以下兩個問題．

（1）中國初中數(shù)學(xué)教科書歷史名題的分布有什么特征？

（2）對教科書編寫、教學(xué)設(shè)計、學(xué)習(xí)指導(dǎo)有什么啟示？

2.2 研究對象與方法

研究選取影響力較廣的人民教育出版社2013年9月發(fā)行的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下簡稱人教版）初中教科書共6冊，北京師范大學(xué)出版社2014年7月發(fā)行的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下簡稱北師大版）初中教科書共6冊，華東師范大學(xué)出版社2012年7月發(fā)行的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下簡稱華師大版）初中教科書共6冊，作為研究對象．研究上述教科書所含歷史名題的分布特征與數(shù)量．根據(jù)數(shù)學(xué)歷史名題的定義、特點，基于兩條標(biāo)準(zhǔn)進行選擇，一是明確以問題形式呈現(xiàn)，要求學(xué)生思考解答；二是教科書中標(biāo)注了“古算題”“歷史名題”，或有溯源著作等輔助性說明文字的題目，或數(shù)學(xué)史上公認的經(jīng)典問題、重要事件改編的問題．研究方法采用內(nèi)容分析法，參考已有研究維度，制定分析框架，統(tǒng)計分析教科書中的歷史名題，以數(shù)據(jù)來描述對象所含名題的特征，獲得規(guī)律與啟示．

2.3 分析框架

基于內(nèi)容分析法的教科書研究，常采取對來源不同的教科書進行比較研究的設(shè)計，來凸顯“不同時代、不同地區(qū)、不同文化、不同國別、不同利益集體的教育信念和價值觀，以及教育思潮的興起與衰落”[14]．教科書中歷史名題的分布特征包含它們分布的年級與源自的國家或地區(qū)及著作、名題的類型與作用、教科書中的位置與所屬知識領(lǐng)域、承載名題的情境與呈現(xiàn)方式以及3個版本教科書中都出現(xiàn)的典型名題．

題目的類型主要分為畫圖題、計算題、證明題、說明說理題、實驗題．題目的作用包括情境導(dǎo)入、樣例展示、隨堂練習(xí)（基礎(chǔ)知識）、綜合運用、拓廣探索．教科書位置包括章節(jié)主題圖、正文（例題）、練習(xí)習(xí)題、課外閱讀與思考．分布領(lǐng)域根據(jù)中國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將數(shù)學(xué)課程內(nèi)容劃分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐等4部分內(nèi)容，為了更具體地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)名題的分布，研究選擇名題所在章的標(biāo)題劃分分布領(lǐng)域，如“有理數(shù)”“勾股定理”．名題的情境借鑒鮑建生對習(xí)題情境的劃分（無情境、個人生活、公共常識、科學(xué)情境）[15]，并在此基礎(chǔ)上修改為“數(shù)學(xué)情境、個人生活、社會生活、科學(xué)情境（不含數(shù)學(xué)）”．名題的呈現(xiàn)方式包含數(shù)學(xué)史融入方式與題目表現(xiàn)形式，融入形式包括復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式[16]，具體統(tǒng)計指標(biāo)內(nèi)容如表1所示．

3 研究結(jié)果與分析

3.1 分布年級與名題來源

了解數(shù)學(xué)歷史名題在各年級分布以及它們的來源國家或地區(qū)與出處，有助于從整體上認識不同版本教科書名題的分布特點．通過統(tǒng)計獲得人教版、北師大版、華師大版初中3種教科書中所含數(shù)學(xué)歷史名題的年級分布，如表2所示．

表1 數(shù)學(xué)歷史名題統(tǒng)計部分指標(biāo)具體內(nèi)容

表2 數(shù)學(xué)歷史名題分布年級

由表2知，從數(shù)量看，北師大版最多，華師大版其次，人教版最少．從分布年級看，人教版主要分布在八年級下冊，占相應(yīng)版本歷史名題總量的43.48%，北師大版與華師大版主要分布在八年級上冊，分別占比44%和37.04%．3個版本教科書的數(shù)學(xué)歷史名題都集中在八年級，出現(xiàn)這種聚集現(xiàn)象可能與名題集中在某一知識領(lǐng)域或某一章節(jié)有很大關(guān)系．

名題源自國家或地區(qū)有兩類，其一是某一名題源于獨特的文化地域，例如，華師大版引入的“蕩秋千”問題，這是明朝數(shù)學(xué)家程大位在《直指算法統(tǒng)宗》中用西江月詞牌所寫的幾何名題．作者把利用勾股定理、相似原理求解直角三角形的問題巧妙地融入一個東方少女蕩秋千的歡樂場景，合轍押韻，意象優(yōu)美．其二是部分歷史名題涉及多個獨立的出處，比如勾股定理應(yīng)用中提到的“折竹抵地”問題出現(xiàn)在中國的《九章算術(shù)》中，但在古代印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅Ⅰ、普里圖達卡、阿耶波多Ⅱ的著作中也有出現(xiàn)．同時，“同一問題不但可以在不同的社會中找到……還可以賦予歷史上不同時代的數(shù)學(xué)問題保持其連續(xù)性”[17]．正如“勾股定理曾先后在不同國家或地區(qū)被不同民族所發(fā)現(xiàn)，成為一種標(biāo)志性的文化事件而載入這些國家或地區(qū)的文明史”[18]．類似于教科書中出現(xiàn)的采用畢達哥拉斯法、中國“青朱出入圖”、古印度“無字證明”等不同方法證明勾股定理的例子，若涉及多個獨立起源的歷史名題，統(tǒng)計時歸屬于不同國家或地區(qū)．

由表3可知，數(shù)學(xué)名題來源主要是文明古國中的中國與古代希臘．中國作為東方文明的主要發(fā)源地與保存地，數(shù)學(xué)發(fā)展已經(jīng)有幾千年的歷史，留下了《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《算學(xué)啟蒙》等一大批著作和數(shù)學(xué)成果[19]，其中的《九章算術(shù)》以246個與生產(chǎn)、生活實踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題為主體，以問（題目）、答（答案）、術(shù)（解題的步驟，但沒有證明）為主線，尤其值得關(guān)注．由于該書涉及到實際問題解決，“這些問題作為主要的教學(xué)來源，被他們的作者仔細地選擇，既有用，又展示了他們的數(shù)學(xué)藝術(shù)的狀態(tài)”[17]，因此，后世數(shù)學(xué)家將其作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備之材料，甚至唐、宋時期還明令規(guī)定為教科書．進一步統(tǒng)計知，這些名題中源于《九章算術(shù)》的歷史名題，人教版有4題，北師大版有9題，華師大版中有4題，可見編寫者對中國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)著作的重視．古希臘作為西方文明的主要起源地之一，涌現(xiàn)出譽為古希臘三賢的蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德，以及泰勒斯、畢達哥拉斯、阿基米德、歐幾里德、阿波羅尼奧斯等一大批數(shù)學(xué)大家，留下《幾何原本》《圓錐曲線論》等曠世著作，許多的初等數(shù)學(xué)知識就來源于這些著作之中．

表3 數(shù)學(xué)歷史名題分布

注：表中阿拉伯指的是古代阿拉伯文化所在區(qū)域．

3.2 名題類型與功能

數(shù)學(xué)歷史名題的類型主要包括為畫圖題、計算題、證明題、說明說理題、實驗題等5種形式．經(jīng)統(tǒng)計知，人教版、北師大版、華師大版數(shù)學(xué)教科書中的歷史名題最主要的類型是計算題，分別占總數(shù)的65.38%、78%和66.67%；其次是證明題，分別占30.77%、8%和18.52%；其它類型占比均較小．例如，人教版在九年級上冊概率部分安排了1道“布豐投針”問題的實驗題．北師大版、華師大版均有1道作圖題和設(shè)計題涉及數(shù)學(xué)歷史．這反映出數(shù)學(xué)教科書中的名題類型集中于計算題目，題型的分布還不夠均衡與多樣．出現(xiàn)這種情況的可能原因有以下兩點．（1）與中國初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中各知識領(lǐng)域的分布比例有較大關(guān)系，據(jù)吳立寶、曹一鳴以2008年出版的人教版初中數(shù)學(xué)教科書為樣本，調(diào)查獲得“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”3部分平均所占的百分比分別為：49%、41%和10%[20]，計算題主要分布在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域；（2）近年來初中數(shù)學(xué)教科書中幾何證明內(nèi)容的比重在下降，同時“淡化證明”，強化說理[21-22]，使得幾何歷史名題的選用受到課程標(biāo)準(zhǔn)對于例題習(xí)題難度的限制，導(dǎo)致幾何名題較少出現(xiàn)在教科書中．

由表4知，人教版、華師大版數(shù)學(xué)名題的功能主要是課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容的拓廣探索，分別占47.83%和66.67%，目的是擴大學(xué)生的知識面；北師大版數(shù)學(xué)名題主要在綜合運用型題目中，占相應(yīng)版本名題總量的36%，所涉及知識重在解決問題．據(jù)此推測，華師大版對數(shù)學(xué)名題的定位偏向于開拓學(xué)生數(shù)學(xué)相關(guān)概念、定理的歷史視野與文化育人功能（通過后續(xù)名題分布位置的數(shù)據(jù)，也能印證這一結(jié)論）；北師大版對于數(shù)學(xué)名題的定位偏向于以名題為載體的知識應(yīng)用，而人教版介于這兩者之間．初中學(xué)生正處于培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)以及滲透數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的過渡期、關(guān)鍵期，在數(shù)學(xué)各個題型、具體知識中，編排數(shù)學(xué)發(fā)展史上的經(jīng)典名題，做到“為教育而歷史”和“依歷史而教育”[23]，可以實現(xiàn)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育和諧融合．?dāng)?shù)學(xué)歷史名題既具有情境載體、方法示范、鞏固所學(xué)、實踐運用等作用，又可以在數(shù)學(xué)文化育人方面發(fā)揮出獨特的功能．

表4 數(shù)學(xué)歷史名題功能統(tǒng)計

3.3 教科書位置與分布領(lǐng)域

名題分布在教科書的位置有章節(jié)主題圖、例題、練習(xí)與習(xí)題、閱讀思考．通過統(tǒng)計知，各版本數(shù)學(xué)歷史名題所處位置集中在課堂練習(xí)與習(xí)題欄目中，人教版、北師大版、華師大版各占65.22%、64%和51.85%．對于教科書中的閱讀思考材料，3個版本也編排有大量的數(shù)學(xué)史題目，各占相應(yīng)版本歷史名題總量的26%、22%和40.74%．以數(shù)學(xué)歷史名題作為章節(jié)的主題圖在北師大版教科書中出現(xiàn)了6次，比如在“一元一次方程”這章主題圖中給出了《希臘詩文選》收錄的丟番圖墓志銘，在八年級上冊“勾股定理”一章的主題圖給出了“蜘蛛與蒼蠅”問題[24]（該問題最早出現(xiàn)在1903年的英國報紙上，它是19世紀(jì)英國著名的謎題創(chuàng)作者H·E·杜登尼所給出的），尤其是《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題還分別成為了“二元一次方程組”所在章和“解二元一次方程組”所在節(jié)的主題圖．可見這些經(jīng)典歷史名題在數(shù)學(xué)教科書的情境創(chuàng)設(shè)、思想引領(lǐng)、方法示范、文化熏陶等方面有著重要的地位．正文例題方面，人教版和華師大版各有2道歷史名題，分別占相應(yīng)版本名題總量的8.7%和7.4%，北師大版只有1道，占2%，由此說明教科書中處于例題位置的數(shù)學(xué)歷史名題占比都很低，有待加強．

為進一步獲得3個版本教科書數(shù)學(xué)歷史名題分布特征，研究中統(tǒng)計了數(shù)學(xué)名題相對集中的領(lǐng)域，具體分布見表5．

表5 主要歷史名題所處知識領(lǐng)域及占總名題量比例

由表5知，3個版本教科書歷史名題的分布并不均勻，主要集中在有理數(shù)與實數(shù)的發(fā)展史、方程與方程組解決“數(shù)學(xué)化”的生活問題、勾股定理與相似圖形解決三角形問題這3個大的知識領(lǐng)域．特別是勾股定理，3個版本比例分別達到34.78%、24%和25.93%．這也從某個側(cè)面反映了教科書的編寫者具有強烈的共識，即上述的數(shù)學(xué)內(nèi)容都是能夠蘊含數(shù)學(xué)文化的合適題材．然而，初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)與不等式、四邊形與圓、概率與統(tǒng)計等內(nèi)容鮮有數(shù)學(xué)名題呈現(xiàn)，教科書編寫者需要在這些方面補充適量的歷史名題．

3.4 名題情境與呈現(xiàn)方式

了解數(shù)學(xué)名題的題材情境及教科書對這些題目的呈現(xiàn)方式，有助于教師解讀教科書，弄清編者意圖．不同情境的數(shù)學(xué)歷史名題在不同版本教科書中的分布情況如表6所示．

表6 不同情境的數(shù)學(xué)歷史名題分布

由表6知，人教版與華師大版的數(shù)學(xué)歷史名題以數(shù)學(xué)情境為主，各占43.48%和44.44%；北師大的數(shù)學(xué)名題情境主要是社會生活情境與數(shù)學(xué)化的情境，分別占該版名題總量的40%和38%，而反映個人生活場景與自然規(guī)律、科學(xué)現(xiàn)象情境的名題都相對較少．?dāng)?shù)學(xué)歷史名題可間接反映當(dāng)時社會的關(guān)注焦點，如糧食收獲、存儲和交易，反映出他們的農(nóng)業(yè)狀況．歷史上，數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的目的是讓學(xué)生解決一些感興趣的社會問題．這樣的問題也提供了許多可供當(dāng)代學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)的素材．學(xué)生可以在解決源于幾個世紀(jì)前的問題時，產(chǎn)生一定的興奮和某種滿意的體驗．因為，某種意義上，帶有生動情境的數(shù)學(xué)歷史問題能讓學(xué)生觸摸過去[3]．

數(shù)學(xué)歷史名題的呈現(xiàn)方式包括數(shù)學(xué)史融入教科書的方式，以及外在的表現(xiàn)形式兩個方面．?dāng)?shù)學(xué)史以名題為載體融入教科書的方式主要有復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式．復(fù)制式是對數(shù)學(xué)歷史中的古算題、名題，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言直接翻譯而來，只需要學(xué)生解答這些題目即可．通過統(tǒng)計知，人教版、北師大版、華師大版教科書中數(shù)學(xué)名題融入方式主要是復(fù)制式，分別占比47.83%、40%和48.15%．比如北師大版八（上）引自《算法統(tǒng)宗》的“以繩測井”、《孫子算經(jīng)》的“僧分饅頭”等問題都是復(fù)制式．順應(yīng)式是情境不變，問題或解法發(fā)生改變，3個版本各占34.78%、36%和29.63%．重構(gòu)式指的是借鑒歷史名題的原型，根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)特征，改變情境和求解的問題．由統(tǒng)計知，重構(gòu)式名題均較少，3個版本分別占比17.39%、24%和22.22%．因而要進一步發(fā)揮名題的作用，就需要教師在教學(xué)設(shè)計時自身下功夫鉆研教科書，把名題重新解構(gòu)，取其思想方法精髓，編制新的變式題目．

數(shù)學(xué)歷史名題的表現(xiàn)形式有頭像、圖片、文字、圖形、符號、圖文等多種常見方式（限于篇幅不再贅述具體表現(xiàn)形式的數(shù)據(jù)分布）．如北師大版九年級上冊“劉徽與《海島算經(jīng)》”問題，既有文字對作者情境的介紹、有圖片呈現(xiàn)作者頭像，又有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的符號語言描述測量海島的高度，并配置以山高示意圖．這有利于學(xué)生降低認知負荷，理解歷史名題的涵義．對于同樣問題，人教版教科書還配有《海島算經(jīng)》中題目的原古文，這一細節(jié)的處理，既有助于說明古漢語學(xué)習(xí)對于了解中國古代數(shù)學(xué)的重要價值，也有利于學(xué)生更好地理解和解決這類問題．

3.5 不同版本教科書均出現(xiàn)的數(shù)學(xué)歷史名題

3個版本教科書中都出現(xiàn)的數(shù)學(xué)歷史名題如表7所示．除表7中的名題外，涉及二次根式的“海倫—秦九韶公式的應(yīng)用”問題、勾股定理練習(xí)題中的“桿子靠墻”（出現(xiàn)在古巴比倫泥板）問題或“云梯靠墻”問題、畢達哥拉斯數(shù)問題、泰勒斯測金字塔高度與測河寬問題等均出現(xiàn)在至少兩個版本的教科書中．總之，上述歷史名題在兩個或多個版本的教科書中出現(xiàn)，一方面在某種程度上體現(xiàn)了它們訓(xùn)練思維、鞏固新知與拓展視野的重要作用；另一方面，也顯示了它們更能夠作為數(shù)學(xué)教育教學(xué)中實施“立德樹人”、課堂德育、美育的極佳素材，所以，初中數(shù)學(xué)教師要高度重視這些經(jīng)典問題的獨特價值．

表7 3個版本教科書的相同數(shù)學(xué)歷史名題統(tǒng)計

4 研究結(jié)論與啟示

4.1 主要結(jié)論

從上述統(tǒng)計分析，可以概括出3個版本初中數(shù)學(xué)教科書中歷史名題在編寫上的特征．

（1）從數(shù)量上說北師大版教科書分布的數(shù)學(xué)歷史名題最多，華師大版、人教版相對較少；3個版本的歷史名題主要集中在八年級（八年級《勾股定理》一章分布的歷史名題較多）；名題來源國家或地區(qū)主要是古代中國與古希臘；源于《九章算術(shù)》的歷史名題，人教版有4題，北師大版有9題，華師大版中有4題．

（2）3個版本數(shù)學(xué)歷史名題主要的類型是計算題；人教版、華師大版分布的數(shù)學(xué)歷史名題功能主要是用于課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容的拓廣探索，而北師大版數(shù)學(xué)歷史名題主要分布在綜合運用型題目中，所涉及知識重在解決問題．

（3）3個版本數(shù)學(xué)歷史名題所處位置集中在課堂練習(xí)與習(xí)題欄目中；教科書中歷史名題的分布并不均勻，相對集中于一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程組、勾股定理、相似圖形幾個知識領(lǐng)域．

（4）人教版與華師大版的數(shù)學(xué)歷史名題以數(shù)學(xué)情境為主，各占43.48%和44.44%；北師大版的數(shù)學(xué)名題情境主要是社會生活情境與數(shù)學(xué)情境，分別占該版名題總量的40%和38%；3個版本教科書中數(shù)學(xué)名題融入方式主要是復(fù)制式，數(shù)學(xué)名題的表現(xiàn)形式有頭像、圖片、文字、圖形、符號、圖文等多種方式．

（5）丟番圖墓志銘、雞兔同籠、引葭赴岸等至少12個典型的歷史名題在3個版本教科書中均有出現(xiàn)；而“海倫—秦九韶公式的應(yīng)用”、勾股定理練習(xí)題中“桿子靠墻”或“云梯靠墻”、畢達哥拉斯數(shù)、泰勒斯測金字塔高度與測河寬等問題均出現(xiàn)在至少兩個版本的教科書中．

4.2 啟示

4.2.1 增加名題的數(shù)量 調(diào)整名題的位置

（1）增加數(shù)學(xué)歷史名題的數(shù)量．

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在教材編寫建議中指出教材要適時地介紹數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料，幫助學(xué)生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．隨著中小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的不斷深入，課程標(biāo)準(zhǔn)中所提倡的把數(shù)學(xué)史作為理解數(shù)學(xué)的一個基本途徑的理念逐漸為人們所接受[1]．?dāng)?shù)學(xué)課堂中出現(xiàn)的一些數(shù)學(xué)題，可以找到與之相對應(yīng)的歷史名題，它們都可以成為學(xué)生學(xué)習(xí)相應(yīng)內(nèi)容的重要素材．通過表2和表5知，相比北師大版，人教版與華師版數(shù)學(xué)教科書中歷史名題的數(shù)量較少，所以修訂教材時不妨在分式及分式方程、函數(shù)、不等式、四邊形、圓、概率等領(lǐng)域，再適當(dāng)增加一些在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的難易范圍內(nèi)的歷史名題．比如，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（Leonardo Fibonacci，約1170—1250），在13世紀(jì)就提出了分式方程，并在其《計算之書》第15章中給出了這樣一道分式方程問題：“若干人平分10第納爾，每人得若干；若加上6人，再平分40第納爾，則每人所得與前面相同，求第一次分錢人數(shù)？”該樣例符合“可化為一元一次方程的分式方程”的課程標(biāo)準(zhǔn)要求，適合作為例題或習(xí)題使用．

從縱向比較來看，以人教版為例，2013版“一元一次方程”這章與2004版相比，保留了古埃及紙草書問題、報酬問題、丟番圖墓志銘問題、良馬駑馬問題，卻減少了并沒有超出課程標(biāo)準(zhǔn)要求的“買布問題”“牧童數(shù)羊”兩個歷史名題．對于以往教科書中，經(jīng)典的且符合課程標(biāo)準(zhǔn)要求的歷史名題應(yīng)予以補充進來．從橫向比較來看，教科書修訂時可借鑒其它版本使用的數(shù)學(xué)名題，從而豐富教科書內(nèi)容．如北師大版八年級（上）在二元一次方程組這章引入了《九章算術(shù)》中的“盈不足術(shù)”問題，雖在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中是用矩陣求解線性方程已無需用“盈不足術(shù)”，但在計算高次方程數(shù)值解或函數(shù)方程?()=0的實根近似值時，有時還要用到盈不足術(shù)的求解公式．錢寶琮先生認為“這些內(nèi)容真正代表中華民族傳統(tǒng)文化特色，在國外都非常有影響”[25]，應(yīng)該寫進中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中．這對于學(xué)生今后學(xué)習(xí)算法、程序語言起到認知鋪墊作用，進一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．其它版本教科書編寫時，可將此問題作為方程組的課外閱讀材料補充進入初中教科書．

（2）調(diào)整數(shù)學(xué)歷史名題的位置．

例題是教科書中概念定理與習(xí)題間的橋梁和紐帶[26-42]，對學(xué)習(xí)者具有呈現(xiàn)方法、展現(xiàn)思維、鞏固新知、格式示范、文化育人的作用．通過表4知，歷史名題在樣例欄目分布較少，所以建議將部分經(jīng)典的數(shù)學(xué)歷史名題調(diào)整到例題的位置，引起學(xué)生重視名題的價值．例如，在3個版本的一元一次方程這一章中均出現(xiàn)的“合作問題”，其中人教版為“兩工程隊合作鋪設(shè)管線問題”．該類相似的問題在西方較早出現(xiàn)在古希臘數(shù)學(xué)家海倫的《度量》一書中，稱之為“水池注水問題”，后被收入丟番圖的《算術(shù)》中[43]；在東方，中國的《九章算術(shù)》均輸一章中也有類似水池注水問題．到了13世紀(jì)，斐波那契在《計算之書》中首次將注水問題改為水孔排水問題，該類問題也成為15至16世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)教科書的常用問題．隨著時代發(fā)展，數(shù)學(xué)家或者教科書編寫者根據(jù)學(xué)生生活情境的變化而改編該問題．現(xiàn)在，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常稱其為“工程問題”．這樣的數(shù)學(xué)名題既可以被應(yīng)用于小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，又可作為初中一元一次方程的問題情境．因此，在算術(shù)過渡到代數(shù)階段，它們自然是適合于課堂教學(xué)的理想的數(shù)學(xué)問題[43]．正如“合作問題”這類歷史悠久、模型典型、知名度高的數(shù)學(xué)問題，建議教科書編寫時放入到例題中并注明其來源．

4.2.2 整合名題的資源 開展研究性專題教學(xué)

法蘭克·斯懷茲（1989）認為，“很多教師認為數(shù)學(xué)史如果納入學(xué)校的課程，可以通過利用數(shù)學(xué)史料來豐富其教學(xué)．如果這種豐富性僅僅是在一個已準(zhǔn)備就緒的擁擠課程中匯集更多事實性知識，那么歷史材料對課堂教師的效用和吸引力是有限的”[3]．?dāng)?shù)學(xué)歷史名題很多，無法全部納入教科書中，因而需要對豐富的名題資源進行整合，以歷史名題為載體，開展研究性的專題教學(xué)．同時，表4也反映出3個版本教科書的數(shù)學(xué)名題主要功能是定位于拓廣探索，實施研究性教學(xué)是落實教科書這一特定編寫意圖的重要舉措．通過統(tǒng)計可知，有些歷史名題在2個或3個版本教科書中都出現(xiàn)了，說明這些名題是數(shù)學(xué)史中具有代表性與影響力的問題，可作為開展研究性教學(xué)的題材．

教師要利用已有的課程資源，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)名題所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)文化的價值，開展教學(xué)實驗與研究．其步驟為：首先，分析名題的誕生和發(fā)展歷程；其次，對數(shù)學(xué)發(fā)展史上解決該問題涌現(xiàn)出的不同思想方法進行比較；最后，介紹該問題的推導(dǎo)延伸以及在復(fù)雜情境中的應(yīng)用．例如，勾股定理中“蜘蛛與蒼蠅”問題（又稱為螞蟻最短爬行路徑問題），既是應(yīng)用勾股定理解決問題的經(jīng)典案例，又是中考常遇到的基本題型．為突出學(xué)生的主體地位，保障專題的教學(xué)效果，可將該問題作為課外作業(yè)提前安排給學(xué)生自學(xué)探究．因為“歷史問題廣泛分散在課堂練習(xí)和家庭作業(yè)中，可能更有效．喜歡提前給學(xué)生指定‘一周的問題’的教師會發(fā)現(xiàn)歷史問題很好地符合自學(xué)探究的任務(wù)”[44]．

4.2.3 優(yōu)化名題的設(shè)計 增強課堂人文氛圍

路易斯·雷德福認為引入數(shù)學(xué)史“可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)只有在其自身文化的歷史情境下產(chǎn)生的意義”[2]．?dāng)?shù)學(xué)歷史名題的背景“反映了正式歷史書中很少承認的，而當(dāng)時社會迫切需要的日常生活方面．這樣的問題不僅限于古代社會，而且在數(shù)學(xué)史上一直出現(xiàn)到現(xiàn)在為止”[17]．人教版、北師大版和華師大版中源自中國的數(shù)學(xué)歷史名題各占47.83%、44%和37.04%，較高比例的分布有其合理性．因此，教師要立足中華傳統(tǒng)文化來審視中國的數(shù)學(xué)教科書，在數(shù)學(xué)教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)時，做到文化與科學(xué)的有機融合．

比如在設(shè)計“一元二次方程”這一課時，一方面補充教科書中沒有出現(xiàn)的歷史名題，另一方面取材幾何內(nèi)容，可作如下的兩個問題情境設(shè)計．（1）1275年中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出：“直積（矩形面積）八百六十四步，只云闊（寬）不及長一十二步（寬比長少一十二步）．問闊及長各幾步？（2）一根長10米的竹竿，斜靠在墻壁上．頂端A到地板的距離為8米．若推動A端使之下移1米，情況怎樣？這兩個教學(xué)情境體現(xiàn)出數(shù)學(xué)是人類智慧的歷史積淀，構(gòu)成了人類最廣泛、最基礎(chǔ)的人類文化內(nèi)容之一．第一個問題情境用到南宋數(shù)學(xué)家楊輝的問題引入，弘揚了中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化；第二個問題情境是源自古巴比倫時期的數(shù)學(xué)泥板記錄的“竿子靠墻”問題（這類問題在北師大版、華師大版教科書“勾股定理”一章習(xí)題中均有呈現(xiàn)），同時也是一個簡化的靜力學(xué)問題．這樣的設(shè)計引發(fā)學(xué)生深入思考，培養(yǎng)中學(xué)生的科學(xué)精神，也對學(xué)生人文與科學(xué)教育起到潛移默化、文理交融的效果．

4.2.4 拓展名題的閱讀 加深對問題本質(zhì)的理解

數(shù)學(xué)歷史名題在教科書位置的分布上，主要是在課堂練習(xí)、章節(jié)習(xí)題以及拓展性的閱讀材料之中．初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師注重于教科書的正文（例題）的使用，章節(jié)習(xí)題答案的核對、評講糾錯，而較少去關(guān)注章節(jié)主題圖和課后閱讀性材料的學(xué)習(xí)指導(dǎo)，導(dǎo)致教科書的文化育人功能并沒有充分發(fā)揮出來．因此，教科書在編寫修改時可以提供拓展性歷史名題閱讀的網(wǎng)址或者二維碼，便于師生獲得更多相關(guān)知識的學(xué)習(xí)材料．同時，教師也要指導(dǎo)學(xué)生閱讀一些擁有數(shù)學(xué)歷史名題的著作，來拓展數(shù)學(xué)視野，比如閱讀湯服成、蔣延爐編著的《古今中外著名算題趣讀及詳解》，法國數(shù)學(xué)教育家巴賓（Evelyne Barbin）主編的《數(shù)學(xué)史與歷史名題》等．

在廣泛的閱讀中，比較不同版本教科書對于同一問題的編寫特點，分析同一問題在不同地區(qū)的數(shù)學(xué)發(fā)展史上的表現(xiàn)形式，有利于學(xué)生把握問題的本質(zhì)．例如，勾股定理應(yīng)用中的“竿子靠墻”問題在北師大版、華師大版教科書中均有編排，而實際上該問題在不同地區(qū)也先后有出現(xiàn)，例如[3]，古巴比倫時期數(shù)學(xué)泥板記載的“一根30英尺長的橫梁靠墻站著．上端滑了6英尺．下端移動了多遠？”；中國的《九章算術(shù)》中有“今有垣高一丈．倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地．問木長幾何？”13世紀(jì)，意大利的斐波那契在《計算之書》中給出了“一支20英尺長的長矛靠在塔上．如果它的末端被移出12英尺，那么長矛頂端下滑了有多遠？”學(xué)生在廣泛的閱讀過程中，拋開情境的外衣，比較、歸納獲得共同的問題模型，從而真正做到對定理的實質(zhì)性理解．

為了使今天的數(shù)學(xué)教科書更人性化，顯然，“數(shù)學(xué)必須附著于真實的人類——真實的人類行為、制造和思考——它必須與真實的人類環(huán)境、社會和智力的傾向相聯(lián)系”[44]．教科書所選擇的數(shù)學(xué)歷史名題也一樣，只有與人類生產(chǎn)生活以及學(xué)習(xí)密切相關(guān)的，有著重要的數(shù)學(xué)思想方法的題目才能夠世代相傳，成為經(jīng)典．

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[29] 蘇洪雨．基于問題設(shè)計的數(shù)學(xué)微探究評價體系構(gòu)建[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（1）：19-24．

[30] 何聲清．?dāng)?shù)學(xué)教師KCS與學(xué)生認知的一致性研究——以“概率”內(nèi)容為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（1）：25-29．

[31] 劉婷，陳倩．高中生訂正數(shù)學(xué)錯題態(tài)度量表的編制和檢驗[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（1）：30-36．

[32] 陳志輝，孫虎，周芳芳．上海七年級學(xué)生“平行”概念表征與轉(zhuǎn)譯的調(diào)查研究——基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（1）：37-42．

[33] 黃翔，童莉，李明振，等．從“四基”“四能”到“三會”——一條培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主線[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（5）：37-40．

[34] 李紅云，朱文芳，伍春蘭．學(xué)生統(tǒng)計思維發(fā)展水平劃分探究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（5）：41-46．

[35] 鄧清，夏小剛．?dāng)?shù)學(xué)思維視域下“教表達”的再認識與思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（5）：47-50．

[36] 吳宏，張珂，劉廣軍．?dāng)?shù)學(xué)寫作融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實驗研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（5）：51-58．

[37] 渠東劍．素養(yǎng)導(dǎo)向下的學(xué)業(yè)質(zhì)量評價探討[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（5）：59-64．

[38] 陳婷，孫彬博，張彩云．百年高中數(shù)學(xué)課程能力目標(biāo)發(fā)展的回眸與反思——基于課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱）的文本分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（6）：5-9．

[39] 嚴(yán)必友，寧連華，趙靜亞．高中學(xué)生數(shù)學(xué)書寫狀況的調(diào)查研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（6）：10-15．

[40] 斯海霞，葉立軍．浙教版初中數(shù)學(xué)拓展性課程教材編寫特點及改進建議[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（6）：16-20．

[41] 趙文君，莫雅慈，曹一鳴．初中數(shù)學(xué)教師新課程實施情況及影響因素研究——以成都市龍泉驛區(qū)導(dǎo)學(xué)講評式教學(xué)為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（6）：21-26．

[42] 孫思雨，朱雁．初中生數(shù)學(xué)自我效能感及其校準(zhǔn)性的調(diào)查研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（6）：27-32．

[43] 汪曉勤．HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M]．北京：科學(xué)出版社，2017：239-244．

[44] ?FRIEDM N. Can mathematics education and history of mathematics coexist [J]. Science & Education, 2001, 10 (4): 391–408．

The Distribution Characteristics and Inspiration of Famous Problems in Chinese Junior Middle School Mathematics Textbooks

TANG Hai-jun1, 2, GAO Jing2

(1. School of Mathematics Science, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang 550001, China;2. College of Mathematics, Sichuan University of Arts and Science, Sichuan Dazhou 635000, China)

This study selected the junior high school mathematics textbook series published by People’s Education Press, Beijing Normal University Press, and East China Normal University Press and analyzed historically known problems in these textbook series. In particular, we analyzed the historically known problems included in these three series of textbooks from the following aspects: grade distribution and source, types and functions, location in textbooks and content strands, problem situations and presentation modes. Finally, some suggestions are provided for the textbook writers and mathematics teachers in junior high school: The mathematics textbooks should have more historically known problems and the locations of examples in textbooks should be adjusted; different type of historically known problems should be integrated and inquiry-based teaching related to the historically known problems should be implemented; special attention should be paid to the design of historically known problems and then cultivate mathematical culture in classroom; and students’ reading of the historically known problems should be strengthened and then deepen their understanding of the mathematics embedded in the problems.

mathematics textbook; historically known problems; comparative analysis

G634.6

A

1004–9894（2020）05–0008–06

唐海軍，高晶．初中數(shù)學(xué)教科書中歷史名題分布特征及啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2020，29（5）：8-13．

2020–02–27

貴州師范大學(xué)2018年度研究生創(chuàng)新基金資助項目——初中生數(shù)學(xué)課堂合作問題解決中的教師干預(yù)研究（YC[2018]035）；全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃一般項目——中學(xué)生合作問題解決中認知互動與社會互動及其關(guān)系的實證研究（BHA180157）；四川文理學(xué)院2016年一般項目——新形勢下遞進式師范技能訓(xùn)練研究（2016GJ007Y）

唐海軍（1982—），男，四川南充人，四川文理學(xué)院講師，貴州師范大學(xué)博士生，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)、教科書分析與數(shù)學(xué)文化研究．

[責(zé)任編校：張楠、陳雋]