基于傅里葉擬合的多種季節(jié)劃分法及相似度量

戴 婷

（湖南工程學院 計算科學與電子學院，湘潭411104）

0 引言

古時《黃帝內(nèi)經(jīng)》描述“五日謂之侯，三侯謂之氣，六氣謂之時，四時謂之歲”.天氣最小的周期單位謂之“侯”，一年有72 侯，24 節(jié)氣，4 季.以24 節(jié)氣為基礎(chǔ)劃分四季是傳統(tǒng)方法［1］.24 節(jié)氣主要以一年之內(nèi)太陽的輻射狀態(tài)變化為基礎(chǔ)制定，屬于對地球這個系統(tǒng)的能量輸入，每年大致是相同的.而地球本身隨著時間時刻在變化，自身的運行規(guī)律無法與太陽輻射狀態(tài)完全同頻，因此考慮在24 節(jié)氣的基礎(chǔ)上改進四季劃分的方法.

現(xiàn)代關(guān)于四季劃分的研究已有很多成果，例如張寶堃［1］提出的侯平均氣溫法：候平均氣溫小于等于10 ℃為冬季，10～22 ℃之間為春季，大于等于22 ℃為夏季，22～10 ℃之間為秋季.孫樹鵬等［2］和侯威等［3］提出了利用相似性度量的方法，用多要素構(gòu)造了描述氣候狀態(tài)的變量.薛峰等［4］利用相似性度量函數(shù)構(gòu)造了投影角，根據(jù)投影角的范圍對四季進行劃分.王正等［5］構(gòu)造了三種典型場進行氣候的季節(jié)劃分，研究大氣的變化情況.

本文基于地面氣溫單變量討論四季的劃分方法，從兩個角度進行討論.從24 節(jié)氣劃分法出發(fā)，時間點保持相對不變，采用小波去噪傅里葉擬合法建模，寫出溫度函數(shù)，構(gòu)造溫度波動投影角的計算，劃分四季，確定四季的溫度波動區(qū)間與分布，作為地球響應的標準形態(tài).另一方面人們感受到的季節(jié)變化是多因素共同作用的結(jié)果，包括地理位置、地形地貌、當?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境等，仿照侯平均氣溫劃分法，討論四季特征，以傅里葉擬合的標準形態(tài)對比，構(gòu)造季節(jié)偏離率等指標進行統(tǒng)計描述.

1 資料和季節(jié)劃分方法

本文采用的資料是西安涇河站近十年（Ω：2005.01.01～2014.12.31）的逐日平均氣溫序列{q wt;t ∈Ω} 、最 低 氣 溫{L qwt;t ∈Ω} 、最 高 氣 溫{H qwt;t ∈Ω} 等指標進行研究.數(shù)據(jù)來源于“國家氣象信息中心”（data.cma.cn）.

1.1 24節(jié)氣劃分法

公元前104 年，由鄧平等制定的《太初歷》，正式把24 節(jié)氣定為歷法，太陽從黃經(jīng)零度起，沿黃經(jīng)每運行15°所經(jīng)歷的時日稱為“一個節(jié)氣”.每年運行360°，共經(jīng)歷24 個節(jié)氣.節(jié)氣是根據(jù)太陽的位置來制定的，每年時間基本固定，不根據(jù)地球自身變化而變化.把地球看成一個系統(tǒng)，24 節(jié)氣指明了系統(tǒng)的能量輸入狀態(tài)和時間，并不能實時反應地球本身的周期變化，具有超前性.

24 節(jié)氣表達為圓周圖像，圓周代表循環(huán)往復的周期運動，可用參數(shù)方程來表達：

θ 每走過15°則為一個節(jié)氣，全年360 天，太陽一日運行1°，共計24 個節(jié)氣.即θ 既代表方位，又代表時間，是典型的時空一體的表述模式.為了和地球的逐日氣溫進行對比分析，將θ 表述為時間，故太陽的運行按時間軸來描述，即為余弦函數(shù)，如圖1中表達節(jié)氣的各個位置.而四分四至代表了太陽輻射的周期變化中的典型狀態(tài)，標明θ 的方位取值.

圖1 24節(jié)氣余弦表述圖

1.2 傅里葉擬合投影法

對氣溫序列{q wt;t ∈Ω} 進行小波低通濾波去噪［6］，得到主頻序列{Ft;t ∈Ω} 與短期擾動序列{It;t ∈Ω} .主頻序列代表地球系統(tǒng)的內(nèi)在運行規(guī)律，是太陽輻射的周期反應，而短期擾動序列則與地理位置、地形地貌、大氣環(huán)流等因素相關(guān).采用文獻［6］的加法模型：

考慮太陽輻射屬于周期運動，符合余弦波的運行規(guī)律，故對{ }Ft;t ∈Ω 進行傅氏擬合，如下形式：

k ≥1 表示存在一種以上的周期，在大循環(huán)中又有小周期，可以是多個周期并存的形態(tài).k=1 得到波形的主頻，結(jié)合擬合優(yōu)度Adj.R2進行擬合，一般定為Adj.R2≥85%確認可行；k 的取值上限n 選取擬合優(yōu)度上升速度顯著變緩的節(jié)點.

主頻中初相φ1的位置可以看成整個系統(tǒng)的響應延遲程度，將其換算成延遲時間YT：

將余弦波投影并變換至[-π,π]區(qū)間：

這個模型是對太陽輻射地球的能量的直接反應，看成系統(tǒng)的標準響應形態(tài).它的運行規(guī)律與太陽輻射的規(guī)律一致，不同的緯度會造成不同的時間延遲；亦可將輻射能量轉(zhuǎn)化為直接觀察的溫度對象［7］.

1.3 基于傅氏擬合的氣溫劃分法

基于傅氏擬合的標準響應{ }Ft;t ∈Ω ，根據(jù)地面的物候特征采用氣溫分割法（分割點為10 ℃，22 ℃）重新進行四季劃分.太陽輻射輸入的是能量，氣溫是能量在系統(tǒng)中的直觀響應.投影角劃分法是從太陽輻射運行規(guī)律的角度進行考慮的，是從系統(tǒng)輸入角度考量；侯平均氣溫法是從地球地面溫度來考量，屬于系統(tǒng)輸出角度的考量.

按氣溫劃分四季是從地球系統(tǒng)本身出發(fā)，既考慮系統(tǒng)輸入（傅氏擬合標準響應），又考慮系統(tǒng)本身運行規(guī)律對輸入信號的修正.

1.4 基于地面氣溫的四季劃分法

地面氣溫包括日均氣溫{q wt;t ∈Ω} 序列，五日平滑氣溫序列{Jt;t ∈Ω} 等.按照侯平均氣溫法和投影角兩種方法對地面氣溫進行季節(jié)的劃分［8］.地面氣溫序列與傅里葉擬合序列相比包含了更多方面的信息，包括主頻，包括短期的隨機擾動，亦包括當?shù)氐奈锖蚝推渌鞣疵娴囊蛩貙鉁氐挠绊?不同的經(jīng)緯度、地形等因素作用下響應不盡相同［9］.

2 季節(jié)相似性的度量

對標四季劃分的標準模型，考慮其他劃分方法與之的差異性度量：

同一地區(qū)的四季劃分不同方法之間的偏離率若相差過大，說明該方法存在改進空間，或未能正確描述四季；也可對比四季之間的偏離率差異大小，描述四季的季節(jié)差異；亦可將氣溫逐年與標準形態(tài)進行分析，可以發(fā)現(xiàn)某些年份的偏離率顯著不同，那么提示發(fā)生了極端氣溫事件.

3 四季標準態(tài)與實際差異的相似性

3.1 傅氏擬合投影法

余弦波振幅為13.39 ℃，全年氣溫的波動范圍是［1.31 ℃，28.09 ℃］；周期T1=365.5 天，與目前的一回歸年365.2422 日相比，誤差0.2578 天；初相φ1=-0.15，表示系統(tǒng)對太陽輻射的響應時間延遲9.2 天.

3.2 傅氏擬合序列侯平均氣溫劃分法與24節(jié)氣的比較

依照侯平均氣溫對四季的劃分方法，在傅氏擬合的圖像中添加10 ℃和22 ℃的參考線對比.

圖2 侯平均氣溫與傅里葉擬合溫度對比

圖2 為侯平均氣溫序列{Jt;t ∈T} 與傅氏擬合序列{Ft;t ∈T} 的對比（氣溫刻度為0.1 ℃），可以觀察到擬合序列在夏冬季的高低溫部分擬合效果略差，不能完全反應氣溫的劇烈波動，較侯平均氣溫更為平滑，能反映氣溫的長期主趨勢.

表1 傅氏擬合法劃分四季時間表

從時間上看，每年入春的時間在春分左右；入夏的時間基本在立夏與小滿之間；入秋的時間在白露前一兩天；入冬時間霜降之后立冬之前.值得注意的是西安的冬季最長，入冬時間對比立冬節(jié)氣提前8 天，其他季節(jié)均為滯后，夏季滯后9 天左右，春天滯后三個節(jié)氣，秋天滯后兩個節(jié)氣.從每個季節(jié)的時長來看，冬季最長，夏季次之，春秋季時間短且成對稱形態(tài).

3.3 五日平滑序列侯平均氣溫劃分法與24 節(jié)氣的比較

首先對{q wt;t ∈T} 進行五日平滑，得到逐日的侯平均氣溫序列{Jt;t ∈T} ，以2005 年的氣溫示例兩者的趨勢對比：

圖3 日均氣溫與五日平滑氣溫序列對比

從圖3 可以看到，氣溫序列的主趨勢符合余弦函數(shù)的圖像，五日平滑氣溫與日均氣溫序列保持一致，其余年份亦是如此.按照10 ℃和22 ℃的劃分可 以得到以下結(jié)果，如表2 所示.

表2 侯平均氣溫法劃分四季時間表

圖4 侯平均氣溫法劃分四季時長（天）與四立節(jié)氣的時間差（天）

從時間上看，每年入春的時間在3 月份，波動程度在25 天之內(nèi)；入夏的時間基本在5 月中下旬，其中2010 年較遲，在6 月11 日；入秋的時間在九月上中旬，波動程度在20 天之內(nèi)；最為穩(wěn)定的是入冬時間，基本在11 月中旬，除了2012 年入冬較早，在11月2 號.總的來看，春夏波動大，秋冬波動小.

從每個季節(jié)的時長來看，冬夏季節(jié)較長，冬季約為120 天左右，遠超過一年的四分之一90 天，夏季基本維持100 天略多，秋季時間最短，從50 天到70 天不等，春季變動較大，最短53 天，最長90 天.根據(jù)平均時長來看四個季節(jié)在全年的占比，從春季至冬季分別為：18.7%、31%、17.7%、40%.這種四季時長的差異與地點所處的經(jīng)緯度有關(guān)，太陽輸入能量至地球系統(tǒng)，地表的響應各地不同.響應時長的規(guī)律亦與不同氣候類型，不同的地貌特征等因素相關(guān).

與四立相距的時間代表當?shù)貙ο到y(tǒng)輸入的響應時間，入冬時間基本與立冬保持一致，平均相距4天，其次是入夏時間比立夏推遲18.3 天，最長的是入春的時間，相距立春平均推遲40.5 天，且波動較大.其他季節(jié)波動較春季平穩(wěn).但2010 年入夏與入秋的時間比往年更加推遲，當年春天的時間達到90天，夏天與秋天的時間均有不同幅度的縮短.

3.4 四種季節(jié)劃分法的比較

從對四季的劃分時間點、季節(jié)的時長、溫度的波動范圍看這兩種方法相似度較高，但仍有各自的特點，存在差異.

圖5 左上為基于傅氏擬合的氣溫序列{Ft;t ∈Ω} 按投影法劃分四季，春秋形態(tài)一致，分布一致，冬夏形態(tài)類似，方向相反，夏季溫度左偏，高溫區(qū)四分位距小，而冬季右偏，低溫區(qū)四分位距小.

圖5 傅氏擬合溫度、日均氣溫、侯平均氣溫的兩種四季劃分形態(tài)

圖5 右上為基于實際日均氣溫序列{q wt;t ∈Ω}按投影法劃分四季，可以看到，經(jīng)過地球系統(tǒng)的變換，冬夏兩季的有偏分布得到糾正，均表現(xiàn)為對稱形態(tài)，與春秋相比較，分布區(qū)間較短，數(shù)據(jù)表現(xiàn)更集中，但是容易出現(xiàn)異常值，即極端事件.

圖5 左下為基于傅氏擬合的氣溫序列{Ft;t ∈Ω}按氣溫法劃分四季，四季的分布形態(tài)上更接近左上的情況，冬夏表現(xiàn)有偏不對稱形態(tài).即按照投影法劃分或氣溫法劃分四季沒有太大差異.

圖5 右下為基于五日平滑的氣溫序列{Jt;t ∈Ω}按氣溫法劃分四季，分布形態(tài)與右上比較接近.

綜上所述，影響四季劃分差異的主要因素是氣溫序列采用的不同計算方法，{Ft;t ∈Ω} 序列主要反 映 的 是 太 陽 輻 射 的 周 期 變 化，{q wt;t ∈Ω} 與{Jt;t ∈Ω} 均是地球系統(tǒng)的完全響應序列，與擬合序列最大的差異在于系統(tǒng)自身的運行因素影響.那么根據(jù)公式（3），可以得知{It;t ∈Ω} 序列反映了地球系統(tǒng)自身的運行規(guī)律.

以基于傅氏擬合氣溫的投影法為基準，根據(jù)公式（7），（8）計算三種方法的季節(jié)溫度均值偏離率與溫差偏離率如表3 所示.

表3 三種四季劃分法的偏離率表

溫度的偏離主要發(fā)生在冬季，這與量綱有關(guān)，偏離率的計算采用的是相對值計算，冬季的氣溫低，溫度數(shù)值小，因此相對誤差被放大，絕對誤差為1.74 ℃.與其他季節(jié)的絕對誤差值持平.夏季和冬季的溫差偏離較大，地球自身運行對太陽輻射的響應以這兩季更為明顯，則這兩季更易發(fā)生極端氣溫事件.