縫面水壓力與地震作用下重力壩壩踵裂縫擴(kuò)展數(shù)值模擬

胡良明，李姝鈺，賈 欣，楊 旭

(鄭州大學(xué) 水利科學(xué)與工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

混凝土重力壩基本都是帶縫工作，且混凝土重力壩壩踵處于不同材料的交界處，承受高水頭作用，受力條件復(fù)雜。我國(guó)混凝土重力壩大部分建設(shè)在地震頻發(fā)的西南地區(qū)，若重力壩遭遇強(qiáng)烈地震，裂尖容易因應(yīng)力集中而產(chǎn)生貫穿性裂縫[1]，因此需要對(duì)地震和縫水壓力作用下壩踵裂縫擴(kuò)展進(jìn)行數(shù)值模擬。用傳統(tǒng)有限元框架模擬裂縫擴(kuò)展需不停地進(jìn)行網(wǎng)格重剖，Belytschko 等[2]提出的擴(kuò)展有限元法（XFEM）裂縫網(wǎng)格與計(jì)算網(wǎng)格相互獨(dú)立，不要求網(wǎng)格重剖便可模擬裂縫擴(kuò)展；杜效鵠等[3]用XFEM 對(duì)重力壩斷裂問題進(jìn)行了數(shù)值分析；方修君等[4-5]用XFEM 進(jìn)行了Koyna 重力壩地震開裂過程的模擬和水壓作用下混凝土試件開裂過程模擬；董玉文等[6]建立了適用于重力壩水力劈裂的XFEM；高景泉等[7]進(jìn)行了靜力作用下壩踵裂縫的水力劈裂分析，未考慮地震作用；鐘紅等[8]基于多邊形比例邊界有限元法研究了壩基開裂與縫內(nèi)水壓力分布形式的關(guān)系；鄭志芳等[9]研究了地震作用下縫內(nèi)水壓規(guī)律及其對(duì)裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，為地震作用下壩體水力劈裂研究奠定了基礎(chǔ)。

以上學(xué)者在混凝土重力壩裂縫擴(kuò)展模擬中，簡(jiǎn)化了重力壩的受力狀態(tài)與壩踵初始裂縫狀態(tài)，沒有考慮縫面水壓力與地震的綜合作用，不能真實(shí)模擬壩踵裂縫擴(kuò)展最危險(xiǎn)的應(yīng)力及位移情況?；诖耍疚睦肵FEM 和相互作用積分理論，建立重力壩壩踵存在初始裂縫的條件下，考慮縫面水壓力與地震共同作用的裂縫擴(kuò)展數(shù)值模型，分析壩踵初始裂縫長(zhǎng)度、壩體與壩基彈模比與縫面水壓力分布形式對(duì)壩踵裂縫擴(kuò)展的影響。

1 裂縫動(dòng)態(tài)分析基本原理

1.1 動(dòng)態(tài)斷裂問題的XFEM

位移場(chǎng)u 的表達(dá)式參考文獻(xiàn)[10]及[11]。動(dòng)態(tài)斷裂問題的裂尖增強(qiáng)函數(shù)為：

式中：r，θ 分別為裂尖局部極坐標(biāo)的半徑和夾角。

動(dòng)態(tài)斷裂問題控制方程：

動(dòng)態(tài)斷裂問題進(jìn)行時(shí)間積分時(shí)選用常用的Newmark 隱式積分：

式中：Δt 為時(shí)間增量；ut為t 時(shí)刻的位移向量；當(dāng) α ≥0.5且 β ≥0.25(α+0.5)2時(shí)，此算法無條件穩(wěn)定，本文取α=0.5，β=0.25。

1.2 動(dòng)態(tài)裂縫擴(kuò)展準(zhǔn)則

選擇最大周應(yīng)力準(zhǔn)則作為裂縫開裂準(zhǔn)則。裂縫擴(kuò)展角 θc滿足：

等效應(yīng)力強(qiáng)度因子Keq滿足：

若Keq大于動(dòng)態(tài)斷裂韌度 KICdyn，則裂縫開始擴(kuò)展。

動(dòng)態(tài)斷裂問題求解應(yīng)力強(qiáng)度因子采用相互作用積分法。在考慮體積力、慣性力以及縫面作用力的情況下，相互作用積分I(1,2)表達(dá)式為：

式中：I(1,2)為狀態(tài)1 和2 的相互作用積分；q 為權(quán)函數(shù)；W(1,2)為狀態(tài)1 和2 下的應(yīng)變能；為裂縫面牽引力在i 方向的分量。

相互作用積分和裂尖動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子Kdyn的關(guān)系為：

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 有限元模型的建立

Koyna 混凝土重力壩建在印度Koyna 河上，該壩于1967 年經(jīng)歷的6.5 級(jí)強(qiáng)烈地震中保留了完整的強(qiáng)震破壞記錄，因此常被用于大壩的抗震分析。大壩的基本情況及壩基的計(jì)算范圍如圖1(a)所示。壩踵位置預(yù)設(shè)一條長(zhǎng)度為a 的水平裂縫。

壩體混凝土及基巖的泊松比均取0.25，平面應(yīng)變斷裂韌度KIC均取5 MPa·m1/2，壩體混凝土的彈性模量E1取31 GPa，密度取2 450 kg/m3，基巖的彈性模量設(shè)為E2。XFEM 數(shù)值分析采用四節(jié)點(diǎn)等參元均勻網(wǎng)格，計(jì)算模型共劃分為3 440 個(gè)單元，有限元網(wǎng)格劃分如圖1(b)所示。地基采用無質(zhì)量地基模型，避免地震波在壩基中產(chǎn)生傳播放大效應(yīng)。采用Wester-gard 附加質(zhì)量法來進(jìn)行重力壩抗震設(shè)計(jì)中動(dòng)水壓力的模擬，以附加質(zhì)量形式施加到結(jié)構(gòu)自由度質(zhì)量矩陣。文獻(xiàn)[12]中線彈性應(yīng)力強(qiáng)度因子適用于大體積混凝土結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)是目前廣泛接受的，以此為依據(jù)建立重力壩壩踵裂縫斷裂數(shù)值模型。

圖1 重力壩計(jì)算模型及網(wǎng)格劃分示意Fig.1 Gravity dam calculation model and grid partition schematic diagram

2.2 地震波的選取

由于人工波不具備天然波的完全非平穩(wěn)隨機(jī)過程特性，缺少?gòu)?qiáng)烈變化的短周期成分，結(jié)合《水工建筑物抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 51247—2018)，按照Ⅱ類場(chǎng)地，選取最大加速度值為0.167g、特征周期0.35 s、荷載增量步為0.1 s 的天然波TH2TG035，水平方向加速度時(shí)程曲線見圖2，前17 s 加速度變化幅度較大，故截取前17 s 用于計(jì)算。

圖2 地震波加速度時(shí)程曲線Fig.2 Time history graph of seismic wave acceleration

2.3 計(jì)算工況

模擬試驗(yàn)采用的各項(xiàng)數(shù)據(jù)如表1 所示，縫面水壓力為結(jié)構(gòu)所受外荷載，作為施加在裂縫面上的面力。假定縫面水壓力P 的分布形式為：

式中：r 為縫面上的節(jié)點(diǎn)與裂尖的距離；a 為裂縫長(zhǎng)度；P0為裂縫口的靜水壓力。

參考文獻(xiàn)[13]，水壓力分布形式中，n=0，1，2 時(shí)分別代表水壓力均勻分布、線性分布和二次函數(shù)分布。模擬重力壩壩踵裂縫在最不利工況下的裂縫擴(kuò)展，即考慮縫面水壓力、壩體自重和地震共同作用下，上游壩面承受滿水庫動(dòng)水壓力，下游無水。計(jì)算共分為5 種工況，具體見表1。

表1 計(jì)算工況Tab.1 Calculation conditions

3 計(jì)算結(jié)果分析

3.1 等效應(yīng)力強(qiáng)度因子及裂縫擴(kuò)展路徑時(shí)程分析

地震加載過程中，縫面水壓均勻分布、初始裂縫長(zhǎng)度為5 m 且壩基與壩體彈模比為1 時(shí)的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子Keq見表2。圖3 為各時(shí)刻壩踵裂縫形態(tài)及壩體-壩基體系x 方向最大主應(yīng)力σxx。

表2 等效應(yīng)力強(qiáng)度因子KeqTab.2 Calculation table of equivalent stress intensity factor Keq

分析表2 及圖3 可得：14.0 s 至15.7 s 期間Keq值大于KIC（=5 MPa·m1/2），持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)。14.0 s 至14.8 s，Keq持續(xù)增大，14.0 s 時(shí)裂縫開始逐漸擴(kuò)展，x 方向裂縫尖端處的拉應(yīng)力隨時(shí)間增加而增加，14.8 s 時(shí)裂縫加速擴(kuò)展，x 方向的拉應(yīng)力數(shù)值增加到最大值1.5 MPa，拉應(yīng)力作用范圍達(dá)到最大；14.8 s 至15.7 s，Keq逐漸減小，15.8 s 時(shí)Keq小于KIC，15.7 s 裂縫擴(kuò)展長(zhǎng)度與17.0 s 時(shí)的基本一致，此時(shí)裂縫尖端仍有較小的拉應(yīng)力，在17.0 s 時(shí)裂縫尖端為壓應(yīng)力，應(yīng)力逐漸趨近穩(wěn)定，符合文獻(xiàn)[13]中對(duì)裂尖應(yīng)力狀態(tài)的描述。裂縫擴(kuò)展過程中，在動(dòng)水壓力和自重作用下初始裂縫不斷向壩基擴(kuò)展，裂縫尖端產(chǎn)生了明顯的拉應(yīng)力集中現(xiàn)象。

圖3 x 方向最大主應(yīng)力云圖(單位：Pa)Fig.3 Maximum principal stress of x (unit: Pa)

3.2 不同彈模比對(duì)裂縫擴(kuò)展路徑的影響分析

圖4 給出了不同工況下的裂縫擴(kuò)展路徑。從圖4 可見，不同初始裂縫長(zhǎng)度下，裂縫擴(kuò)展長(zhǎng)度均隨壩基與壩體彈模比的增大而減小，裂縫擴(kuò)展路徑與壩基面間的夾角逐漸減小，當(dāng)壩基與壩體彈模比足夠大時(shí)，裂縫不再發(fā)生擴(kuò)展。從圖4(d)可見，裂縫擴(kuò)展路徑隨著初始裂縫長(zhǎng)度的增加逐漸接近壩基面，初始裂縫長(zhǎng)度為8 m 時(shí)裂縫擴(kuò)展路徑為先向壩基擴(kuò)展再向壩體擴(kuò)展，且初始裂縫的長(zhǎng)度增加，裂縫擴(kuò)展長(zhǎng)度也隨之增加。從圖4(e)可見，隨著縫面水壓力分布系數(shù)n 的增加，縫面水壓力減小，裂縫擴(kuò)展長(zhǎng)度減小，擴(kuò)展路徑向壩基擴(kuò)展。

4 結(jié) 語

基于XFEM，建立了考慮縫面水壓力和地震作用下的重力壩壩踵裂縫斷裂數(shù)學(xué)模型。通過計(jì)算分析壩基基巖與混凝土壩體的彈模比、縫面水壓力分布形式及初始裂縫長(zhǎng)度等工況下的壩踵裂縫擴(kuò)展路徑，得出以下結(jié)論：

（1）裂縫的擴(kuò)展長(zhǎng)度隨壩基與壩體彈模比的增大而減小，當(dāng)壩基與壩體的彈模比足夠大時(shí)，裂縫不會(huì)發(fā)生擴(kuò)展；裂縫擴(kuò)展路徑與壩基面的夾角隨壩基與壩體彈模比的增大逐漸接近壩基面。兩者的共同作用減小了壩體發(fā)生深層滑動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)。因此重力壩工程進(jìn)行地基選擇時(shí)，選擇壩基彈性模量較大、基巖條件較好的地區(qū)可以有效防止重力壩發(fā)生滑動(dòng)破壞。

（2）裂縫擴(kuò)展長(zhǎng)度隨著初始裂縫長(zhǎng)度的增加而增加；裂縫擴(kuò)展路徑隨著初始裂縫長(zhǎng)度的增加向壩基面延伸；當(dāng)初始裂縫增加到一定長(zhǎng)度時(shí)，裂縫先向壩基方向擴(kuò)展然后轉(zhuǎn)向壩體方向。兩者的共同作用會(huì)使裂縫過長(zhǎng)，導(dǎo)致重力壩壩體與壩基脫離，發(fā)生滑動(dòng)破壞。

（3）隨著縫面水壓力系數(shù)n 的增大，裂縫擴(kuò)展長(zhǎng)度雖有所減小，但減小的幅度較小，而裂縫擴(kuò)展路徑與壩基面之間的夾角增大，削弱巖基穩(wěn)定性，容易造成深層滑動(dòng)破壞。由文獻(xiàn)[13]可知，裂面水壓力分布規(guī)律是影響縫面水壓力對(duì)裂縫斷裂特性的主要因素，因此考慮縫面水壓分布的影響，可以有效提高數(shù)值模擬的精度。