基于子群方法的雙重非均勻性共振計(jì)算方法研究

李 頌，張 乾,*，張志儉，趙 強(qiáng)，梁 亮，梁越超，張晉超，婁 磊，李滿倉

(1.哈爾濱工程大學(xué) 核安全與仿真技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001；2.中國核動力研究設(shè)計(jì)院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610213)

隨著新型壓水堆燃料的發(fā)展，雙重非均勻性逐漸成為了堆芯計(jì)算的難點(diǎn)。傳統(tǒng)燃料只包含燃料棒與慢化劑之間的一重非均勻性，而全陶瓷微密封(FCM)燃料中的TRISO以顆粒形式彌散分布在碳化硅基體中[1]，組成了第二重非均勻性。由于彌散顆粒具有隨機(jī)排布的性質(zhì)，傳統(tǒng)共振方法無法進(jìn)行雙重非均勻性系統(tǒng)的共振計(jì)算。

為解決此問題，國際上主要提出了3種方法。第1種方法為丹可夫方法[2]，通過中子逃脫概率計(jì)算丹可夫因子來修正有效共振截面，主要用于高溫氣冷堆，不適用于FCM燃料球的多層結(jié)構(gòu)。第2種方法為缺陷因子方法[3-6]，通過顆粒與基體的等效均勻化，將問題簡化為傳統(tǒng)一重非均勻系統(tǒng)。該方法簡單高效，但無法給出顆粒內(nèi)部的精細(xì)通量與截面分布。第3種方法為Sanchez-Pomraning方法[7]，可直接求解雙重非均勻性系統(tǒng)特征線方法(MOC)輸運(yùn)方程，給子群共振計(jì)算提供了可行性。然而，子群方法難以處理雙重非均勻性系統(tǒng)中的共振干涉，傳統(tǒng)Bondarenko方法精度較低，干涉因子方法需建立復(fù)雜的雙重非均勻性積分表，偽核素方法則需求解大量超細(xì)群方程，計(jì)算效率較低。為精確計(jì)算雙重非均勻性系統(tǒng)的共振截面，本文提出耦合Sanchez-Pomraning方法的改進(jìn)的子群方法(ISSP)。

1 理論模型

1.1 基于Sanchez-Pomraning方法的MOC模型

傳統(tǒng)MOC無法直接對FCM燃料隨機(jī)分布的彌散顆粒進(jìn)行特征線掃描。為解決此問題，Sanchez-Pomraning方法提出了“更新方程”的概念。首先，通過迭代法計(jì)算基體和顆?；旌系牡刃Э偨孛?，如式(1)所示?；诘刃Э偨孛?，平源區(qū)的出射通量如式(2)所示， 其中φas為漸進(jìn)通量，計(jì)算公式如式(3)所示。平源區(qū)等效源項(xiàng)q=Σtφas。

(1)

(1-e-ΣtL)(φas-φin)

(2)

(3)

式(2)建立了傳統(tǒng)MOC與雙重非均勻性系統(tǒng)間的聯(lián)系。對不含彌散顆粒的平源區(qū)，φas計(jì)算方法與傳統(tǒng)MOC相同。在彌散燃料區(qū)域，基體通量φm可通過直接求解式(1)～(3)得到?；诨w通量，顆粒內(nèi)部各層通量則通過式(4)求得。

(4)

1.2 改進(jìn)的子群方法

與傳統(tǒng)子群方法[8]相比，改進(jìn)的子群方法采用精細(xì)能群結(jié)構(gòu)來規(guī)避共振干涉處理。子群參數(shù)包括子群截面σi及子群權(quán)重ωi，可通過中間共振近似及帕德近似方法計(jì)算得到[9]。有效共振截面σx與子群參數(shù)間的關(guān)系為：

(5)

其中：g為當(dāng)前能群；φi為子群通量，需求解子群固定源方程(式(6))得到。

(6)

其中：Ω和r分別為角度和位置變量；σt′,i=σt,i-(1-λ)σs,i，σt，i和σs，i分別為子群總截面和子群散射截面；Nr為共振核素r的核子密度；λn為核素n的中間共振因子；Σp，n為勢散射截面。式(6)右側(cè)為源項(xiàng)，左側(cè)第2項(xiàng)為移出項(xiàng)。

在雙重非均勻性條件下，子群移出項(xiàng)、源項(xiàng)與通量計(jì)算需要式(1)～(3)來進(jìn)行修正。為減少固定源方程求解次數(shù)，本文結(jié)合HELIOS[10]和nTRACER[11]程序?qū)ψ尤汗潭ㄔ捶匠痰膬?yōu)化，提出了等效單群固定源優(yōu)化方法[9]。將所有共振能群等效為1個共振群，子群固定源方程根據(jù)等效共振群的子群截面進(jìn)行計(jì)算，并通過插值得到實(shí)際子群通量。等效能群的子群截面計(jì)算方法由文獻(xiàn)[9]提供，本文選取取值范圍為10-24～10-20cm2的8個等效子群截面，可滿足不同類型問題計(jì)算。

為保證輸運(yùn)計(jì)算效率，本文采用中子慢化方程來獲得共振能群能譜。其移出項(xiàng)由細(xì)群總截面計(jì)算得到，源項(xiàng)來自上游能群的下散射。求出第1共振群的通量后，下游共振群的源項(xiàng)即可根據(jù)散射矩陣和上游能群通量逐群求得。第1共振群的散射源項(xiàng)來自于快群，其能譜由漸進(jìn)通量1/E近似提供。在雙重非均勻性條件下，慢化方程移出項(xiàng)、源項(xiàng)與通量計(jì)算同樣需要式(1)～(3)來修正，并通過式(7)歸并得到最終有效多群截面。

(7)

1.3 基于Sanchez-Pomraning方法的超細(xì)群方法

本文選取的超細(xì)群在共振能量段共有34 000群，中子與燃料核素碰撞后所能獲得的最大對數(shù)能降遠(yuǎn)大于超細(xì)群的勒寬，因此在每個超細(xì)群能量段內(nèi)中子最多只會碰撞1次。定義fk,n為中子飛越k個超細(xì)群后與核素n碰撞的概率，如式(8)所示，每個超細(xì)群的源項(xiàng)可由式(9)計(jì)算得到。

(8)

(9)

其中：N為核素總數(shù)；K為中子與核素n碰撞后能飛越的最大能群數(shù)；Δug為第g群勒寬；u0、u、u′為能量變量；Σn，s為散射截面；α=(A-1)2/(A+1)2，A為相對原子質(zhì)量。

由式(8)可得fk=e-Δuk-1fk-1，將此關(guān)系代入式(9)可得超細(xì)群源項(xiàng)，如式(10)所示。因此，在求出第1共振群的通量后，下游能群源項(xiàng)即可逐群求解固定源方程獲得。第1共振群的源項(xiàng)由漸進(jìn)通量近似求解，結(jié)合式(1)～(3)求得所有超細(xì)群通量后，再根據(jù)給定寬群能群結(jié)構(gòu)通過式(7)進(jìn)行并群計(jì)算。

(10)

2 數(shù)值驗(yàn)證

本文使用ENDF-Ⅶ版數(shù)據(jù)庫，采取HELIOS-1.11程序的47群能群結(jié)構(gòu)[10]，其共振能量范圍為1.855～9 118 eV。本文多群數(shù)據(jù)庫由開源程序NJOY-2016[13]制作得到，問題基準(zhǔn)解由開源蒙特卡羅程序OpenMC[14]提供。蒙特卡羅建模采用顯式隨機(jī)模型，粒子總數(shù)設(shè)置為100 000個，粒子代數(shù)為1 600代，前300代不計(jì)入統(tǒng)計(jì)。

2.1 FCM單柵元問題

1) 不同填充率

圖1 FCM燃料幾何結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Scheme of geometry structure of FCM fuel

單柵元FCM燃料幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示。本算例采用富集度為17.8%的碳化鈾燃料，各材料及幾何信息由文獻(xiàn)[15]提供，系統(tǒng)溫度為300 K。本文依次選取1%、5%、10%、20%、30%和40%的填充率進(jìn)行計(jì)算，有效增殖因數(shù)計(jì)算結(jié)果列于表1，并與基于Sanchez-Pomraning方法的超細(xì)群方法(UFGSP)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。

從表1可見，ISSP與UFGSP計(jì)算結(jié)果與基準(zhǔn)解一致，各填充率偏差均小于100 pcm，而ISSP的效率更高。同時，表1分別列出了ISSP子群固定源和慢化方程兩個模塊的計(jì)算時間以及共振和本征值計(jì)算的總時間。子群時間在各填充率下均低于總時間的4%，而慢化方程時間最高占比為28.2%，因此ISSP的并群效率仍有可提升空間。以填充率10%和40%為例，圖2示出不同填充率下238U和235U吸收截面的計(jì)算精度。

表1 不同填充率下keff的計(jì)算偏差Table 1 Calculating deviation of keff for different packing fractions

圖2 不同填充率下的238U(a)和235U(b)吸收截面的相對偏差Fig.2 Relative deviation of absorption cross-section of 238U (a) and 235U (b) under different packing fractions

ISSP對40%填充率的238U吸收截面的相對偏差均在1%以內(nèi)，對10%填充率的最大相對偏差上升至1.9%。由于偏差較大能群的截面遠(yuǎn)小于其他共振群，因此對最終結(jié)果影響很小。UFGSP同樣有上述偏差變化趨勢，且所有能群相對偏差小于1%。整體而言，ISSP和UFGSP均可較高精度地提供各填充率下的共振截面，而ISSP具有更高的計(jì)算效率。

2) 毒物問題

本文采用如圖3所示的兩種毒物顆粒，第1種是在TRISO燃料顆粒內(nèi)增加1層毒物材料(QUADRISO)，第2種是毒物以單獨(dú)毒物球(BISO)的形式與TRISO顆粒一起彌散在基體中。本文采用B4C和Gd2O3兩種毒物材料，其中單顆粒問題的QUADRISO填充率為30%，雙顆粒問題中的TRISO顆粒填充率為33.8%，BISO為10.8%。系統(tǒng)溫度為300 K，材料核子密度與幾何尺寸來自文獻(xiàn)[15-16]。

a——QUADRISO；b——BISO圖3 可燃毒物顆粒的幾何結(jié)構(gòu)Fig.3 Geometry structure of burnable poison

B4C毒物在QUADRISO和BISO兩種形式下的238U吸收截面的相對偏差如圖4所示，ISSP和UFGSP均具有較高的計(jì)算精度，所有能群的相對偏差均小于1%。QUADRISO的相對偏差偏大，主要是因?yàn)榕c燃料內(nèi)核毗鄰的毒物層導(dǎo)致顆粒內(nèi)部的通量波動更為劇烈。含Gd毒物中的155Gd和157Gd對反應(yīng)率影響較大，其吸收截面的相對偏差如圖5所示。

圖4 含B4C毒物燃料QUADRISO和BISO顆粒238U吸收截面的相對偏差Fig.4 Relative deviation of 238U absorption cross-section in QUADRISO and BISO with B4C poison

155Gd共振峰主要集中在10 eV以下能量段，該范圍能群內(nèi)ISSP和UFGSP對QUADRISO和BISO的最大截面相對偏差均低于2%。在29.02～47.81 eV及130.1～2 034.7 eV之間，155Gd的最大相對偏差增至3.3%左右，但由于此能量段截面很小，因此對全局反應(yīng)率的影響也較小。ISSP和UFGSP對157Gd的計(jì)算精度和155Gd類似，其最大相對偏差在2.6%左右。毒物問題的keff計(jì)算精度列于表2，其偏差均在150 pcm以內(nèi)?？傮w來看，ISSP和UFGSP均可對毒物材料進(jìn)行準(zhǔn)確的共振計(jì)算。

圖5 155Gd(a)和157Gd(b)吸收截面的相對偏差Fig.5 Relative deviation of absorption cross-section of 155Gd (a) and 157Gd (b)

表2 毒物問題keff的偏差Table 2 Deviation of keff for burnable poison problem

3) 燃耗問題

以填充率為30%的算例為初始條件計(jì)算FCM燃料的燃耗過程，其中每個燃耗步的核子密度由OpenMC提供，并由ISSP和UFGSP進(jìn)行共振和輸運(yùn)計(jì)算。有效增殖因數(shù)的偏差如圖6所示，ISSP和UFGSP在大多數(shù)燃耗步的偏差在100 pcm以內(nèi)。兩種方法在燃耗過程初始計(jì)算精度相近，隨燃耗深度的增加，共振核素大量累積導(dǎo)致干涉效應(yīng)復(fù)雜，計(jì)算的偏差會有所增大，在90 GW·d/tU之后偏差逐漸平穩(wěn)。從整體上看，ISSP和UFGSP均可較好地計(jì)算FCM燃料的燃耗過程。

圖6 燃耗過程中keff計(jì)算的偏差Fig.6 Deviation of keff during burn-up process

2.2 組件問題

1) 常規(guī)FCM燃料組件

本文選取了13×13二維燃料組件，其中包括160根FCM燃料棒和9根導(dǎo)向管，如圖7所示。其中，F(xiàn)CM燃料選自2.1節(jié)填充率為30%的算例，導(dǎo)向管材料與幾何組成參考文獻(xiàn)[15]，系統(tǒng)溫度為300 K。以圖7所標(biāo)燃料棒1和2為例，其238U與235U吸收截面的相對偏差如圖8所示。

圖7 13×13 FCM燃料組件幾何結(jié)構(gòu)Fig.7 Geometry structure of 13×13 FCM fuel lattice

由圖8可見，238U吸收截面的相對偏差在大部分能群小于1%，最大相對偏差分別為-1.54%和-1.42%。235U的計(jì)算精度較高，ISSP的最大相對偏差為1.10%，UFGSP在所有能群均小于1%。有效增殖因數(shù)和計(jì)算時間列于表3，ISSP和UFGSP計(jì)算的偏差分別為16 pcm和-1 pcm，二者均可對FCM燃料組件進(jìn)行精確計(jì)算，而ISSP的計(jì)算時間遠(yuǎn)小于UFGSP。

圖8 13×13組件燃料棒1、2的238U(a)和235U(b)吸收截面相對偏差Fig.8 Relative deviation of absorption cross-section of 238U (a) and 235U (b) in fuel pin 1 and 2 of 13×13 lattice

表3 FCM燃料組件問題keff的偏差Table 3 Deviation of keff for FCM fuel lattice

2) 含毒物FCM燃料組件

本文構(gòu)造了4×4含毒物FCM燃料組件，其中包括12根常規(guī)FCM燃料棒、2根導(dǎo)向管和2根毒物棒，如圖9所示。本算例毒物棒選自2.1節(jié)含Gd毒物的QUADRISO燃料，其余材料及幾何均與13×13算例相同，系統(tǒng)溫度為300 K。圖9所標(biāo)燃料棒1和2的238U以及燃料棒1中155Gd吸收截面的相對偏差如圖10所示。

相比于常規(guī)FCM燃料組件，ISSP和UFGSP對毒物組件238U吸收截面計(jì)算的相對偏差有所增加，其最大偏差為2.59%，對大多數(shù)能群仍保持1%左右，這是由于通量在毒物棒附近劇烈變化所導(dǎo)致。155Gd截面精度也具有相似的規(guī)律。該組件本征值計(jì)算結(jié)果列于表3，相比于常規(guī)組件，該組件有效增殖因數(shù)偏差有所增加，但仍在可接受范圍內(nèi)。同時ISSP具有更高的計(jì)算效率。

圖9 含Gd毒物4×4 FCM燃料組件幾何結(jié)構(gòu)Fig.9 Geometry structure of FCM 4×4 fuel lattice with Gd poison

圖10 4×4組件燃料棒1、2的238U(a)和棒1的155Gd(b)吸收截面相對偏差Fig.10 Relative deviation of absorption cross-section of 238Uin fuel pin 1 and 2 (a) and 155Gd in fuel pin 1 (b) of 4×4 lattice

3 結(jié)論

為解決雙重非均勻性系統(tǒng)的共振計(jì)算問題，提出了改進(jìn)的子群方法。該方法通過精細(xì)共振能譜來規(guī)避共振干涉處理，并采用等效單群固定源優(yōu)化來提高計(jì)算效率。通過調(diào)用基于Sanchez-Pomraning方法的MOC輸運(yùn)模塊分別計(jì)算子群固定源方程和慢化方程，得到FCM燃料顆粒和基體等材料的多群有效截面，最后再調(diào)用該輸運(yùn)模塊進(jìn)行本征值計(jì)算。數(shù)值結(jié)果表明，ISSP可充分考慮雙重非均勻性的影響，能精確并高效地計(jì)算FCM燃料多種工況下的共振截面。