坐標(biāo)變換下磁懸浮軸承位置檢測誤差的形成機(jī)理與修正

程 鑫，吳 惠，董家偉，王寧經(jīng)

(1.武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070；2.湖北省磁懸浮軸承工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430070)

磁懸浮軸承依靠可控電磁力將轉(zhuǎn)子懸浮在設(shè)定位置，具有無機(jī)械接觸、無摩擦、無磨損等優(yōu)點(diǎn)，是機(jī)床主軸、磁懸浮多電發(fā)動機(jī)等關(guān)鍵裝備中高性能轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的理想支承方式[1-3]。隨著對裝備可靠性要求的不斷提高，磁懸浮軸承的可靠性問題成為了目前磁懸浮軸承技術(shù)的研究重點(diǎn)。

獲取磁懸浮軸承的位移信息對提高磁懸浮軸承系統(tǒng)的穩(wěn)定性至關(guān)重要。磁懸浮軸承系統(tǒng)多采用電渦流傳感器，該類型的傳感器利用電磁感應(yīng)定律，將位移信號轉(zhuǎn)換為感應(yīng)電流的形式[4]，從而檢測出軸承的位移信號。但這類傳感器實(shí)際工作時(shí)，受裝配布局與采樣電路的影響，會產(chǎn)生檢測誤差，直接影響了磁懸浮軸承系統(tǒng)的控制精度和可靠性。

位移傳感器的安裝角偏差及測量原點(diǎn)的偏移將直接影響位移測量精度，因此在系統(tǒng)工作前，需要對造成測量誤差的因素進(jìn)行標(biāo)定，修正檢測誤差。但是由電路噪聲等因素所造成傳感器測量誤差大多隨機(jī)，無法標(biāo)定。而現(xiàn)實(shí)中測量模型多為Gauss-Markov模型[5-6]，如果系統(tǒng)矩陣呈現(xiàn)病態(tài)，即使只有很小的測量誤差也會對結(jié)果產(chǎn)生重大影響，必須通過一系列方法降低其病態(tài)特性。文獻(xiàn)[7]分析了大地測量系統(tǒng)中存在的不適定問題，并引入正則化解法。文獻(xiàn)[8]針對傳統(tǒng)測繪數(shù)據(jù)處理中矩陣求逆影響精度的問題提出了一種改進(jìn)的主元加權(quán)迭代法來處理病態(tài)矩陣。文獻(xiàn)[9]利用奇異值分解，給出了截取參數(shù)和修正奇異值的方法，減弱矩陣的病態(tài)特性。文獻(xiàn)[10]分析了大地測量系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理中的病態(tài)問題，提出了基于虛擬觀測的總體最小二乘問題的嶺估計(jì)法。

筆者構(gòu)建了磁懸浮軸承位移檢測系統(tǒng)的Gauss-Markov模型，剖析了其誤差形成機(jī)理，羅列出可能影響精度的參數(shù)，并加以標(biāo)定。在標(biāo)定過程中遇到的病態(tài)問題，引入嶺估計(jì)法與譜分解迭代法，降低了系統(tǒng)的病態(tài)特性。最后基于MATLAB建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行仿真，驗(yàn)證該方法是否能夠達(dá)到修正誤差的目的。

1 誤差形成機(jī)理

1.1 理論檢測模型

磁懸浮軸承位置檢測如圖1所示，通過磁極P1，P2，P3，P4的共同作用，使得軸承在特定的范圍內(nèi)運(yùn)轉(zhuǎn)，并通過位移傳感器S1，S2測量軸承的實(shí)際位移，在二維平面中，兩個(gè)線性無關(guān)的向量即可表示該平面內(nèi)的所有向量。因此，兩個(gè)垂直的位移傳感器便可測量出軸承的位移向量。在其中OXY構(gòu)成軸承實(shí)際位移坐標(biāo)系RA，OX′Y′構(gòu)成位移傳感器的檢測坐標(biāo)系RB，X′軸相對X軸偏轉(zhuǎn)-45°，Y′軸相對X軸偏轉(zhuǎn)45°。

圖1 磁懸浮軸承位置檢測模型

定義RA中的向量Pa=(x,y)T表示軸承在水平方向與豎直方向的位移；向量Pb=(h,v)T表示位移傳感器在檢測坐標(biāo)系RB中檢測的位移向量；兩個(gè)坐標(biāo)系角度偏轉(zhuǎn)矩陣T。根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，Pa與Pb的對應(yīng)關(guān)系：

(1)

向量L=(u1,u2)T分別表示2個(gè)位移傳感器的測量值，Ks表示傳感器增益，則存在等式：

(2)

結(jié)合式(1)和式(2)，可推導(dǎo)出：

(3)

理論上，僅需解該線性方程組即可得出軸承的位移向量。

1.2 誤差形式

系統(tǒng)的誤差形式主要有兩種表現(xiàn)形式，機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差與測量誤差。

(1)機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差。實(shí)際磁懸浮軸承與位移傳感器工作時(shí)，模型與圖1存在出入。在位移傳感器安裝時(shí)，由于工件尺寸偏差與安裝偏差等因素的存在，導(dǎo)致理想安裝角度與實(shí)際安裝角度不同，測量坐標(biāo)系RB的X′軸與Y′軸與軸承位移坐標(biāo)系RA的X軸的偏轉(zhuǎn)角分別產(chǎn)生了α與β的偏差。在軸承制造時(shí)存在精度誤差，加之定子與轉(zhuǎn)子產(chǎn)生碰撞后產(chǎn)生形變，形狀發(fā)生變化，軸承的質(zhì)心發(fā)生偏移，導(dǎo)致軸承位移坐標(biāo)系RA與測量坐標(biāo)系RB的原點(diǎn)不重合。因此磁懸浮軸承位置檢測的實(shí)際模型如圖2所示。

圖2 磁懸浮軸承位置檢測的實(shí)際模型

此時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)系的角度偏轉(zhuǎn)矩陣為：

(4)

其中

(5)

根據(jù)矩陣相對變化的公式可知，定義兩個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣P，兩個(gè)坐標(biāo)系的變換具備以下表達(dá)式：

(6)

其中(δ1,δ2)分別表示軸承位移坐標(biāo)系RA的原點(diǎn)O在測量坐標(biāo)系RB中的坐標(biāo)。

結(jié)合式(2)和式(3)，可推導(dǎo)出：

(7)

(2)測量誤差。傳感器組測量值向量L=(u1,u2)T返回的是電壓信號，電路中存在噪聲，傳感器采樣時(shí)受采樣精度影響，導(dǎo)致實(shí)際測量向量L表達(dá)式為：

L=LO+Δ

(8)

式中：LO為理論輸出；Δ∈R2×1為測量值的系統(tǒng)誤差。

2 誤差修正

2.1 修正流程

測量誤差與機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差不同，工件一旦安裝完成，機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差就相對固定，而測量誤差來源于電路與傳感器，具有隨機(jī)性，無法具體描述。對于機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差，存在未知數(shù)p1，p2，p3，p4，δ1,δ2?？梢酝ㄟ^測量已知實(shí)際位移的特殊點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)定。當(dāng)磁極P2通電，定子會被吸至最上方，獲得豎直方向的最大位移，此時(shí)可得到一組數(shù)據(jù)。同理，調(diào)整不同磁極的通電可以獲得多組數(shù)據(jù)。

定義第i個(gè)測試點(diǎn)Pi(xi,yi)T測試的傳感器數(shù)據(jù)Li=(ui1,ui2)T，將式(7)變換形式得：

(9)

因此，要標(biāo)定6個(gè)未知數(shù)，至少需要3的測試點(diǎn)。

定義：

(10)

則對于6個(gè)未知參量的標(biāo)定，轉(zhuǎn)換為求解線性方程組Ap=q。

2.2 病態(tài)問題

病態(tài)問題是指在求解線性方程組時(shí)，由于矩陣構(gòu)造不合理，當(dāng)某些數(shù)據(jù)發(fā)生輕微影響時(shí)，導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生巨大變化，對應(yīng)的矩陣成為病態(tài)矩陣。矩陣的病態(tài)特性取決于矩陣的條件數(shù)，條件數(shù)越大，病態(tài)特性越強(qiáng)。由于測量誤差的存在，實(shí)際的數(shù)學(xué)模型為：

Ap=qo+Δ

(11)

式中：Δ為測量誤差，E(Δ)=0,D(Δ)=P。當(dāng)A矩陣為病態(tài)矩陣時(shí)，若采用傳統(tǒng)的最小二乘法求解，由于Δ的存在而會導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)較大偏差。為了提高精度，必須降低由于Δ而造成的影響。常見的方法有嶺估計(jì)法與譜分解法[7,11]。

(1)嶺估計(jì)法。嶺估計(jì)法是一種用于線性數(shù)據(jù)分析的有偏估計(jì)回歸方法，實(shí)質(zhì)上是一種改良的最小二乘估計(jì)法。其表達(dá)式為：

(12)

由于嶺參數(shù)的引入，嶺估計(jì)法一定程度上改變了原等式的等量關(guān)系，僅僅只能作為估計(jì)結(jié)果。估計(jì)結(jié)果與嶺參數(shù)k相關(guān)，不同的嶺參數(shù)會導(dǎo)致不同的偏差。對于嶺參數(shù)的選擇存在很多種方法，這里應(yīng)用GCV(generalized cross validation)法[12]。

應(yīng)用GCV法選擇嶺參數(shù)，構(gòu)建k的GCV函數(shù)為：

(13)

式中：H(k)=A(APTA-kI)-1ATP；n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)；I為單位矩陣；tr(*)為矩陣的跡；‖*‖為矩陣的范數(shù)。式(13)的最小值k便是GCV法所確定的嶺參數(shù)。

(2)譜分解迭代法。譜分解迭代法是將最小二乘法的兩邊同時(shí)加上p得到

(14)

將式(14)運(yùn)用迭代的方式求解，其迭代公式為：

(15)

文獻(xiàn)[13]證明了當(dāng)i→∞時(shí)，等式收斂于方程的解。通過迭代的方式即可求解原線性方程，與嶺估計(jì)方法相對比，譜分解迭代法避免了嶺參數(shù)的選擇，也沒有改變原等式的等量關(guān)系，具備無偏性。

3 仿真分析

基于MATLAB建立仿真系統(tǒng)來模擬位移測量系統(tǒng)，在未修正誤差及進(jìn)行修正誤差時(shí)測量到的軸承位移的誤差情況如圖3所示。實(shí)際測量模型為式(7)，其中傳感器增益Ks=1 000 mV/mm，軸承的位移半徑為8 mm兩個(gè)傳感器與理論方向的偏差分別為α=3°與β=-2°。位移坐標(biāo)系RA的原點(diǎn)O與測量坐標(biāo)系RB的原點(diǎn)O′的位置偏差δ1=1 mm,δ2=0.5 mm，則根據(jù)式(9)得出，p=(0.743-0.669 8,0.669,0.682,1,-0.5)T，測量誤差期望為0 mV，誤差范圍為[-2,2]mV均勻分布的信號，故噪聲信號方差為1.33，P=1.33I。仿真時(shí)間為5 s，采樣頻率為10 Hz。

圖3 測量系統(tǒng)模型

3.1 未知參量的標(biāo)定

對于未知參量p，選用3個(gè)測量點(diǎn)，分別取軸承最上方的最大位移(0,8)，最右方的最大位移點(diǎn)(0,8)以及45°方向的最大位移點(diǎn)(5.66,5.66)。以式(9)的方式確立方程，此時(shí)，采用最小二乘法求解方程，方程矩陣的條件數(shù)Cond(ATA)=1 556。條件數(shù)偏大，矩陣方程成病態(tài)。

以最小二乘法求解方程計(jì)算得到p=(0.753,-0.66,0.679,0.689,0.912,-0.576)。

(1)嶺估計(jì)法。先行確定嶺參數(shù)k，利用式(13)計(jì)算合適的嶺參數(shù)，計(jì)算得k=100。代入式(11),計(jì)算得到p=(0.742,-0.670,0.669,0.682,1.008,-0.498)T。

(2)譜分解迭代法。利用最小二乘法確定迭代的初值，取迭代次數(shù)i=100；代入式(14)，得p=(0.744,-0.669,0.667,0.680,0.997,-0.481)T。

由計(jì)算結(jié)果可知，經(jīng)過修正后的結(jié)果比直接使用最小二乘法的結(jié)果的偏差小了很多。

3.2 測量偏差分析

對于測量偏差，選擇幾個(gè)位移點(diǎn)，并計(jì)算測量偏差[e1,e2]。具體流程如下：

(1)選擇某個(gè)點(diǎn)(x,y)，根據(jù)實(shí)際測量模型，用式(7)推導(dǎo)出傳感器的測量值(u1,u2)；

(2)根據(jù)傳感器的測量值(u1,u2)，分別以理論測量模型與修正過的測量模型反向求出軸承的位移；

(3)將測量出的位移與實(shí)際位移相比較，求出測量偏差[e1,e2]，比較修正結(jié)果是否能夠達(dá)到減少誤差的目的；

(4)反復(fù)采樣，直到仿真時(shí)間結(jié)束。

選定第一個(gè)位移點(diǎn)(5,0)，此時(shí)水平位移量與豎直位移量的偏差如圖4和圖5所示。

圖4 水平位移量偏差

圖5 豎直位移量偏差

軸承運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)會受到外部擾動，其位移特性經(jīng)常為周期變換的簡諧運(yùn)動。因此第二個(gè)位移點(diǎn)不再是定點(diǎn)，而是一個(gè)周期性變換的位移點(diǎn)。其水平位移是幅值為5 mm，周期為1 s的正弦信號，即x=5sin(2πt)，豎直位移為3 mm，此時(shí)水平位移量與豎直位移量的偏差如圖6和圖7所示。

圖6 水平位移量偏差

圖7 豎直位移量偏差

由圖4～圖7可知，在未經(jīng)過誤差修正時(shí)，由于各種傳感器的偏轉(zhuǎn)角與原點(diǎn)偏差的存在，位移測量偏差都比較大。經(jīng)過誤差修正后，位移偏差明顯降低。在標(biāo)定未知參量時(shí)，嶺估計(jì)法雖然選用合適的嶺參數(shù)，但還是改變了原等式的等量關(guān)系。相比嶺估計(jì)法，譜分解迭代法所標(biāo)定的結(jié)果更接近實(shí)際值。盡管如此，兩種方法都降低了位移測量偏差，達(dá)到了降低誤差的目的。

4 結(jié)論

筆者構(gòu)造了磁懸浮軸承位移測量模型，分析了其誤差成因并標(biāo)定了影響測量誤差的參數(shù)，對于方程矩陣的病態(tài)問題，運(yùn)用合理的數(shù)學(xué)方法來提高運(yùn)算結(jié)果的精度，并運(yùn)用MATLAB進(jìn)行仿真。根據(jù)仿真結(jié)果可知，筆者提出的磁懸浮軸承的位移測量誤差的修正方法具有一定的可行性。