季節(jié)變化和溫度對上海市猩紅熱傳播的影響探究

張玉潔， 潘麗虹， 朱城志， 林支桂

(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，揚(yáng)州 225002)

猩紅熱(Scarlet fever),別名“燦喉痧”，是由A組β型溶血性鏈球菌(Group A Streptococcus,GAS)感染引起的急性呼吸道傳染病，其典型癥狀為發(fā)熱、皮疹和楊梅舌[1-2]。該病的傳染源為患者和帶菌者，主要經(jīng)空氣飛沫傳播，也可經(jīng)被傳染的生活用品、食物、破損皮膚或產(chǎn)道等傳播。人群普遍易感，5～15歲小兒易發(fā)病[3]。

據(jù)記載，該傳染病的暴發(fā)曾對人類自身的健康和社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展造成過一定的威脅[4-5]。作為一種極易傳播的傳染病，近年來在我國多地呈現(xiàn)出了一種逐年上升的趨勢,如鄂爾多斯市[6],銀川[7]、合肥[8]、北京[9]等。本文基于猩紅熱的傳播機(jī)理建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)據(jù)估計系統(tǒng)的參數(shù)，對疫情的發(fā)展趨勢進(jìn)行研究，分析影響疫情發(fā)展的各種因素，為制定控制方案提供定量的決策依據(jù)。具體方法是利用上海市2012至2018年猩紅熱感染數(shù)據(jù)，重點(diǎn)考慮季節(jié)變化和氣候因素建立SIS模型，研究溫度、環(huán)境等對猩紅熱傳播的影響。

1 數(shù)據(jù)搜集及整理

本文主要研究季節(jié)變化和氣候因素對上海市猩紅熱傳播的影響因素，我們首先從上海市衛(wèi)生健康委員會官網(wǎng)(http://wsjkw.sh.gov.cn/)中獲取到2012至2018年猩紅熱感染的數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)為這7年來上海市每月猩紅熱感染的新增病例數(shù)如圖1所示。

圖1 上海市2012～2018年每月猩紅熱感染的新增病例數(shù)

圖1中顯示，上海市猩紅熱每年的整體發(fā)病情況基本相似，具有明顯的季節(jié)性變化，一年中存在兩個發(fā)病高峰，第一個高峰大致在春夏之交(4月～6月份)，第二個高峰大致在秋冬之交(11月～次年1月)。因上海屬亞熱帶季風(fēng)性氣候，四季分明、日照充足、雨量充沛，所以該地的季節(jié)性變化可以體現(xiàn)在氣候環(huán)境的溫度、降水量、日照長度等因素上。鑒于此，本文將著重研究當(dāng)?shù)販囟葘π杉t熱傳播的影響。

我們從全國歷史天氣官網(wǎng)(http://www.tianqihoubao.com/lishi/)中獲取了上海市2012至2018年月平均溫度數(shù)據(jù)，如圖2所示。

圖2 上海市2012～2018年月平均氣溫統(tǒng)計圖

以上述數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，下面將利用數(shù)學(xué)模型分析猩紅熱傳播的特征。

2 數(shù)據(jù)處理及模型分析

2.1 SIS傳染病模型

首先考慮SIS模型[10]：

(1)

結(jié)合本文所研究內(nèi)容，該模型中所涉及的變量分別表示為：t*為染病時間/天、S*為當(dāng)天易感者人數(shù)、I*為當(dāng)天感染者人數(shù)、β為感染比例系數(shù)(傳染系數(shù))、βS*I*為每天新增病例數(shù)、γ為移除率系數(shù)(恢復(fù)率)、N為被調(diào)查的總?cè)丝跀?shù)。

相關(guān)資料顯示，21世紀(jì)以來，上海市常住人口基本趨于穩(wěn)定，于是取N為24240000人；該病療程為6～9天，因此將恢復(fù)率γ取1/7。

現(xiàn)在取t為月份，I可為當(dāng)月的感染人數(shù)，S為當(dāng)月的易感人數(shù)，則(1)式離散為如下方程：

I(t+1)=I(t)+βS(t)I(t)-γI(t)，

(2)

根據(jù)每月的新增病例數(shù)βSI及γ(=1/7)，可計算出每個月感染者的人數(shù)I(t)，從而得到I的實(shí)際值，如圖3所示。

圖3 計算得到的2012～2018年每月I(t)的實(shí)際值

利用每月新增病例數(shù)和感染者的人數(shù)I(t)可以求出β值，它是隨著t時刻的變化而變化，如圖4所示。

圖4表明β值關(guān)于時間的曲線是上下波動的，且都在每年的5～6月和11～12月取到峰值，在每年的1～2月和7～8月取到谷值，具有較為明顯的周期性變化規(guī)律，波動的周期大致為6個月。據(jù)有關(guān)資料可知[1]，猩紅熱的傳染系數(shù)的確存在周期性變化的規(guī)律。因此我們將依托傳染系數(shù)研究影響猩紅熱傳播的因素。

圖4 計算得到的2012—2018年β的實(shí)際值

2.2 傳染系數(shù)的周期性變化擬合

首先考慮單周期變化。將2012—2018年β的值進(jìn)行頻譜分析，得到如圖5所示結(jié)果。

圖5 單周期的頻譜分析圖

該頻譜分析圖顯示其變化周期為5.9286個月，我們?nèi)∑浣浦?個月(即半年)為一個周期，進(jìn)行單周期變化的研究。結(jié)合非線性擬合的方法擬合出如下表達(dá)式：

7.60898*10-9，

(3)

如圖6所示。

圖6 初步擬合的單周期的傳染系數(shù)圖

該圖中的擬合曲線，整體趨勢與實(shí)際值一致，周期為半年。但擬合曲線的振幅受實(shí)際值中的個別點(diǎn)(已標(biāo)注為實(shí)心點(diǎn))影響較大，引起了較大誤差。這些誤差可能是這幾個時刻由于大型活動導(dǎo)致的人員流動增加所致，如果不考慮這幾個特殊點(diǎn)并進(jìn)行二次改進(jìn)，結(jié)果如圖7所示。

圖7 改進(jìn)擬合的單周期的傳染系數(shù)圖

圖7中擬合曲線的表達(dá)式為：

(4)

較圖6，除去上述特殊點(diǎn)之后，擬合曲線的振幅有所下降，使得擬合度更高。

再考慮疊加的周期變化。觀察圖7發(fā)現(xiàn)，峰值也存在著周期性變化，將所有的峰值進(jìn)行頻譜分析，得到如圖8所示結(jié)果。

圖8表明6個峰值為一個周期，由于一年內(nèi)有兩個峰值，所以6個峰值對應(yīng)的時長為3年，即周期為3年。因此我們考慮擬合一個疊加周期的表達(dá)式，利用非線性擬合的方法擬合出該表達(dá)式為：

圖8 峰值的頻譜分析圖

(5)

擬合曲線如圖9所示。

對比圖7與圖9，疊加周期的擬合將上述特殊時刻的實(shí)際值納入考慮范圍，第一周期為半年，第二周期為3年，其擬合度更高。下面將在此基礎(chǔ)上引入溫度及環(huán)境的影響做出進(jìn)一步的改進(jìn)。

2.3 溫度對傳染系數(shù)的影響

由圖2已知，猩紅熱在一年中感染存在雙高峰，分別為5月份和12月份。考慮到溫度的影響，我們對表達(dá)式(5)進(jìn)行修改：

(6)

其中a、b為參數(shù)，T為t時刻的溫度。根據(jù)圖2平均溫度的變化，可用非線性擬合方法擬合出一個溫度的表達(dá)式為：

(7)

對上述表達(dá)式(6)進(jìn)行擬合得：

(8)

其擬合曲線如圖10所示。

圖10中的擬合曲線，幾個谷值相較于圖9中的谷值更接近于實(shí)際值，可以發(fā)現(xiàn)，溫度對傳染系數(shù)存在明顯的影響。

圖9 擬合的雙周期的傳染系數(shù)圖

圖10 溫度影響下的雙周期的傳染系數(shù)擬合圖

2.4 每月感染人數(shù)I(t)的理論值與實(shí)際值的比較

基于上述對傳染系數(shù)β的研究，我們將擬合出來的β的表達(dá)式(7)代入模型(1)得到每月感染人數(shù)的理論值，其理論值與實(shí)際值的比較如圖11所示。

圖11 I(t)的理論值與真實(shí)值的對比圖

由圖11，我們可以看出每月感染人數(shù)的理論值與實(shí)際值重合度較高，且通過殘差分析得出其擬合的相關(guān)系數(shù)為0.9280，再次說明上述方法的擬合度較高，從而證實(shí)本文研究的合理性，即季節(jié)變化與溫度對猩紅熱的傳播有影響，且猩紅熱的傳染系數(shù)具有雙周期的變化規(guī)律。

3 結(jié)語

目前已經(jīng)有很多方法和模型用來分析猩紅熱疫情流行病學(xué)特征，如以泊松分布作為概率模型的時空掃描法[3],描述性分析法[2],自回歸移動平均混合模型[7]等。本文我們利用SIS傳染病模型計算出上海市猩紅熱傳染系數(shù)的實(shí)際值，著重考察傳染系數(shù)的變化，根據(jù)圖形特點(diǎn)，首先給出一個單周期的表達(dá)式，然后擬合出一個較為合適的疊加周期表達(dá)式，最后引入溫度因素，對疊加周期表達(dá)式進(jìn)行了修改，利用數(shù)學(xué)軟件初步得到了傳染系數(shù)的周期性變化，最終將傳染系數(shù)的擬合表達(dá)式進(jìn)行回代，對比感染人數(shù)的理論值與真實(shí)值，從而說明了季節(jié)和溫度對猩紅熱傳播的影響，具體表現(xiàn)為在每年春夏之交(4～6月)、秋冬之交(11～次年1月)猩紅熱的感染人數(shù)有明顯的增加。借此提醒廣大人群尤其5～15歲小兒，在春夏之交以及秋冬之交特別關(guān)注氣溫變化，做到防寒保暖，降低感染猩紅熱的可能性。

當(dāng)然作為傳染病，政府的干預(yù)、媒體的報道、人口的流動等因素均會對猩紅熱疫情產(chǎn)生重要的影響，本文著重從季節(jié)變化和氣候因素中的溫度兩個方面進(jìn)行了研究，其結(jié)果仍存在一定的局限性，我們將在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善模型，為政府精準(zhǔn)做出防疫措施，媒體適時宣傳引導(dǎo)群眾提供數(shù)據(jù)支持。