淺談?wù)w視角下分?jǐn)?shù)概念教學(xué)

周曉婷

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。分?jǐn)?shù)概念內(nèi)涵豐富，抽象性高，是小學(xué)階段極其重要的概念。因此，人教版教材分兩個(gè)階段：三年級(jí)認(rèn)識(shí)“一個(gè)物體”的幾分之幾，五年級(jí)認(rèn)識(shí)“一些物體”的幾分之幾。從教材來(lái)看，實(shí)現(xiàn)了概念的逐層遞進(jìn)、螺旋上升，但在教學(xué)中，常常囿于教材內(nèi)容與課時(shí)目標(biāo)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)性教學(xué)，容易導(dǎo)致分?jǐn)?shù)概念理解的短視與偏差。筆者認(rèn)為，只有從整體視角下去解讀教材，分解概念認(rèn)識(shí)的階段，才能讓學(xué)生更全面、更深入地掌握概念的本質(zhì)。

整體解讀教材，統(tǒng)籌規(guī)劃教學(xué)

把握結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確定位 現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材是按數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)，螺旋上升編排的。知識(shí)的多次再現(xiàn)，相互溝通內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)有更深刻的理解。因此，教師在教學(xué)新知前，要有瞻前顧后的意識(shí)，明確新知在整個(gè)知識(shí)體系中的位置與作用，教學(xué)時(shí)才能做到有的放矢。

人教版教材小學(xué)階段的分?jǐn)?shù)概念分為兩個(gè)認(rèn)識(shí)階段。第一個(gè)認(rèn)識(shí)階段安排在三年級(jí)，進(jìn)行分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，是一個(gè)物體與部分的關(guān)系。也就是把一個(gè)物體看作單位“1”，把一個(gè)物體平均分成幾份，其中一份是這個(gè)物體的幾分之一，一個(gè)物體也就是一個(gè)具體意義上的單位“1”的概念。這一階段的教學(xué)定位，必須讓學(xué)生在實(shí)際操作活動(dòng)的過(guò)程中，了解分?jǐn)?shù)形成的過(guò)程，理解分?jǐn)?shù)表示的是一個(gè)物體與部分的關(guān)系，從而初步理解分?jǐn)?shù)的概念。第二個(gè)認(rèn)識(shí)階段安排在五年級(jí)，進(jìn)行分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)，是一個(gè)整體與部分的關(guān)系。也就是把多個(gè)物體看作一個(gè)抽象整體，把這個(gè)抽象整體平均分成幾份，其中一份是這個(gè)抽象整體的幾分之一，一個(gè)整體就是一個(gè)抽象意義上的單位“1”的概念。這一階段的教學(xué)定位，在分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，理解多個(gè)物體組成的整體與部分之間的關(guān)系也能用分?jǐn)?shù)表示，豐富單位“1”的內(nèi)涵，全面地理解分?jǐn)?shù)的意義。

區(qū)別對(duì)待，有效實(shí)施 分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)是從初步認(rèn)識(shí)到再認(rèn)識(shí)的合理安排和循環(huán)遞進(jìn)，由于一個(gè)物體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)與一個(gè)整體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)具有結(jié)構(gòu)類同的關(guān)系存在，應(yīng)以一個(gè)物體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)為教學(xué)結(jié)構(gòu)階段，以一個(gè)整體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)為運(yùn)用結(jié)構(gòu)階段。

一個(gè)物體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)教學(xué)結(jié)構(gòu)階段，教師可從1/2這個(gè)分?jǐn)?shù)著手，提供給學(xué)生一些豐富材料（包括現(xiàn)實(shí)材料和幾何圖形材料）表示分?jǐn)?shù)。教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)表示情況進(jìn)行不同標(biāo)準(zhǔn)的分類，深刻地理解二分之一的意義。接著讓學(xué)生認(rèn)識(shí)幾分之一、幾分之幾，最后總結(jié)一個(gè)物體的分?jǐn)?shù)意義。讓學(xué)生經(jīng)歷“辨析比較，理解二分之一——拓展分?jǐn)?shù)，抽取本質(zhì)——?dú)w納概括，總結(jié)概念”的分?jǐn)?shù)概念形成過(guò)程。在最后的練習(xí)階段，加入“以幾當(dāng)一或以一當(dāng)幾”的材料，加深意義理解，把握概念本質(zhì)。

一個(gè)整體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)運(yùn)用階段，可以讓學(xué)生運(yùn)用這樣的過(guò)程結(jié)構(gòu)主動(dòng)建構(gòu)一個(gè)整體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)。教師可以讓學(xué)生在多個(gè)物體的材料中表示分?jǐn)?shù)，利用學(xué)生對(duì)一個(gè)物體分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，展示多樣化的分法，體驗(yàn)在一個(gè)整體中表示分?jǐn)?shù)，然后與一個(gè)整體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)進(jìn)行比較，找出異同點(diǎn)，理解分?jǐn)?shù)意義。過(guò)程中，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生材料處理和辨析比較的能力，還可以培養(yǎng)學(xué)生形成發(fā)現(xiàn)相同材料中隱藏著各自不同特點(diǎn)的數(shù)學(xué)眼光，更可以培養(yǎng)學(xué)生透過(guò)表面現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)屬性的抽象能力，從而理解分?jǐn)?shù)意義。

找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)，適時(shí)前伸后延

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有累積性，后一階段的學(xué)習(xí)是建立在學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的，是對(duì)前一階段知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的的深化與發(fā)展。教學(xué)時(shí)要根據(jù)知識(shí)的前后聯(lián)系，縱橫發(fā)展來(lái)找準(zhǔn)知識(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)，為使學(xué)生的后續(xù)有較大的發(fā)展。

著力連接點(diǎn) 真正建立分?jǐn)?shù)概念，需要學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)物體的幾分之一時(shí)，從“幾分之一個(gè)”抽象到“它的幾分之一”，初步體會(huì)分?jǐn)?shù)表示關(guān)系的內(nèi)涵。學(xué)習(xí)多個(gè)物體組成的一個(gè)整體的幾分之一時(shí)，需要激活這些經(jīng)驗(yàn)以同化新知。教學(xué)中應(yīng)找準(zhǔn)兩個(gè)階段學(xué)習(xí)中同化知識(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)，即突出“幾份中的一份”這一本質(zhì)關(guān)系，逐步舍棄“物體的個(gè)數(shù)”這一非本質(zhì)屬性，分?jǐn)?shù)表示的是平均分的份數(shù)與取的份數(shù)，也就是整體與部分的關(guān)系。

在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的第一階段，通過(guò)變式練習(xí)進(jìn)行后延，讓學(xué)生逐步舍棄“以一當(dāng)一”的想法，真正從單個(gè)整體平均分的份數(shù)和取的份數(shù)體會(huì)分?jǐn)?shù)是表示關(guān)系的，為多個(gè)物體表示分?jǐn)?shù)奠定基礎(chǔ)。如題組：涂色分別表示兩個(gè)長(zhǎng)方形的3/7（一個(gè)長(zhǎng)方形平均分成了14份、一個(gè)長(zhǎng)方形平均分成7份），讓學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)是和平均分的份數(shù)和取的份數(shù)有關(guān)，和每份的個(gè)數(shù)是無(wú)關(guān)的。

在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的第二階段，充分利用學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)已有的知識(shí)基礎(chǔ)自主建構(gòu)學(xué)習(xí)。知識(shí)的前伸，使單位“1”自然從一個(gè)物體過(guò)渡到一個(gè)整體，突破教學(xué)難點(diǎn)。先用不同平均分的方法表示出不同的分?jǐn)?shù)。然后把16個(gè)小正方形動(dòng)態(tài)散開(kāi)，并把它們看成一個(gè)整體（畫(huà)上一個(gè)集合圈），再請(qǐng)學(xué)生平均分一分，表示出一個(gè)分?jǐn)?shù)。（如下圖1），最后把前后兩張圖所表示出的分?jǐn)?shù)進(jìn)行異同比較，概括出分?jǐn)?shù)的概念。

與此同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)教材中呈現(xiàn)的平均分素材，總是從左往右或從上往下進(jìn)行平均分，這樣編排往往給學(xué)生帶來(lái)了負(fù)面的認(rèn)知影響，對(duì)概念認(rèn)識(shí)產(chǎn)生認(rèn)知偏差。接著出現(xiàn)下圖2，許多學(xué)生都認(rèn)為這不可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。他們認(rèn)為沒(méi)有平均分怎么能用分?jǐn)?shù)表示呢？通過(guò)電腦演示，將右側(cè)三個(gè)小正方體旋轉(zhuǎn)平放在最上面，學(xué)生看到此圖后立刻明白，可以用分?jǐn)?shù)表示。經(jīng)過(guò)這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，剔除了一些對(duì)概念認(rèn)知的無(wú)關(guān)干擾，凸顯了平均分的本質(zhì)。通過(guò)科學(xué)且全面的素材，并用多樣化的方式呈現(xiàn)出來(lái)，才能使得概念的意象更豐盈，學(xué)生更為深刻地把握概念本質(zhì)。

關(guān)注教學(xué)過(guò)程，注重概念解讀

概念是通過(guò)分析和綜合、求同和求異、抽象和概括等一系列的思維活動(dòng)形成的。有時(shí)學(xué)生在接受數(shù)學(xué)概念時(shí)，由于操作形式化、提問(wèn)膚淺化、素材單一化，造成學(xué)生只是鸚鵡學(xué)舌地說(shuō)某個(gè)分?jǐn)?shù)的意義，而并非是基于自己的理解。教學(xué)中應(yīng)注意以下三個(gè)方面：

改變操作順序，經(jīng)歷概念形成 通過(guò)不同材料表示出1/2的操作，再抽象出二分之一的意義。這樣操作的本質(zhì)是為抽象的分?jǐn)?shù)尋找一個(gè)具體的表象，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)思維順序是反的，我們必須讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過(guò)程。因此在第一階段教學(xué)中，抓住1/2這個(gè)分?jǐn)?shù)重點(diǎn)認(rèn)識(shí)，可以先讓學(xué)生把各種材料分成2份，表示1份，然后把材料按是否平均分分類，從平均分這類中概括共性，接著說(shuō)說(shuō)1/2的意義，最后從生活中找1/2的原型，進(jìn)一步理解1/2的意義。

改變提問(wèn)方式，幫助概念建立 在思維的轉(zhuǎn)折處和關(guān)鍵處設(shè)問(wèn)，能夠引導(dǎo)學(xué)生研究、討論，積極思維，才能使學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵，抓住本質(zhì)特征。在第二階段教學(xué)中，要讓學(xué)生更多地說(shuō)自己抽象出分?jǐn)?shù)的過(guò)程，減少關(guān)注結(jié)果的提問(wèn)。如：“你是如何表示這幅圖的1/4的？”這樣的提問(wèn)方式和教材上的練習(xí)材料是同質(zhì)的，關(guān)注的都是結(jié)果。教師可以這樣問(wèn)：“為什么不同的圖都可以用1/4來(lái)表示？”“要知道這個(gè)圖表示幾分之幾，需要哪幾個(gè)條件？”總之提問(wèn)的方式應(yīng)更多關(guān)注意義的本身和學(xué)生的思維過(guò)程，而不是答案。

改變素材呈現(xiàn)，促進(jìn)概念理解 數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程包括概念的應(yīng)用，這就需要學(xué)生在初步理解概念的基礎(chǔ)上，利用多樣化的素材，運(yùn)用習(xí)得的知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題，使概念得以鞏固和內(nèi)化，從而更深對(duì)概念的理解。

第一階段分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)教學(xué)中，不僅要把分?jǐn)?shù)與幾何圖形建立聯(lián)系，更要注意與生活聯(lián)系，拓展學(xué)生的視野和思維，使學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵有充分的認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)。如1瓶果汁平均分給5個(gè)小朋友的關(guān)系，1個(gè)吊扇與3片葉片的關(guān)系，1扇窗子與其中4塊玻璃的關(guān)系等等。

第二階段分?jǐn)?shù)意義教學(xué)中，不能僅僅停留具體情境下對(duì)分?jǐn)?shù)意義的詮釋，更應(yīng)為學(xué)生后續(xù)有關(guān)分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)作好鋪墊。如借助小棒進(jìn)行如下活動(dòng)。

活動(dòng)1：看小棒（四行三列）寫(xiě)分?jǐn)?shù)。引導(dǎo)思考“你看出分?jǐn)?shù)來(lái)了嗎”，讓學(xué)生寫(xiě)出相等的不同分?jǐn)?shù)，討論“你是怎樣想的”“這些分?jǐn)?shù)都是正確的，它們的意義一樣不一樣”，進(jìn)一步加深分?jǐn)?shù)的理解；

活動(dòng)2：按老師的要求分別拿出12根小棒的1/3、1/（）、（）/6，通過(guò)“分母沒(méi)有出來(lái)的時(shí)候，能拿嗎？”“分母是6，我們可以做什么？”等問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)一步理解分母、分子所表示含義，促進(jìn)對(duì)意義的理解；

活動(dòng)3：拿另一捆小棒的1/4，由于學(xué)生手中的小棒根數(shù)是不同，拿出的根數(shù)也不同，請(qǐng)學(xué)生尋找原因。讓學(xué)生理解“一個(gè)整體”的變化，不同的數(shù)量可以用同一個(gè)分?jǐn)?shù)表示，進(jìn)一步深化分?jǐn)?shù)表示了整體與部分的關(guān)系，與每份的數(shù)量無(wú)關(guān)。

數(shù)學(xué)特級(jí)教師俞正強(qiáng)說(shuō)：“當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)生困難時(shí)，回到源頭去。一定是在某個(gè)時(shí)候，我們?cè)?jīng)省略了一段陽(yáng)光?！?這段被省略的“陽(yáng)光”，應(yīng)該就是知識(shí)的“序”與學(xué)生認(rèn)知的“序”之間的連接點(diǎn)。作為教師用長(zhǎng)程的整體視角去解讀概念認(rèn)知的結(jié)構(gòu)，建立教學(xué)整體性觀念，打通節(jié)點(diǎn)性課堂教學(xué)與整體性知識(shí)脈絡(luò)聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)概念內(nèi)涵的深入化，概念外延的有向放大化。

（作者單位：浙江省杭州市半山實(shí)驗(yàn)小學(xué)）