正定二次型及其性質(zhì)的探討

摘? 要：本文主要探討了正定二次型的理論及其性質(zhì)，為讀者能夠較正確深入，清晰的理解和掌握正定二次型的理論及其性質(zhì)，以及如何判別二次型的正定性，提供一些思路，方法和參考。如有不當(dāng)之處，望讀者給予批評(píng)指正。

關(guān)鍵詞：正定二次型;正定矩陣;標(biāo)準(zhǔn)型

二次型的理論及其性質(zhì)是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一，而正定二次型是是實(shí)二次型中一類(lèi)特殊的二次型，占有十分重要的地位.其一是正定二次型在許多實(shí)際應(yīng)用和理論研究中，有著較大的實(shí)用價(jià)值，比如，它不僅在幾何，而且在數(shù)學(xué)的其它分支學(xué)科以及物理和工程技術(shù)也常常用到，其二是正定矩陣是依附正定二次型給出的，因而對(duì)正定矩陣的性質(zhì)的考察，有助于更好地理解正定二次型，本文主要是在二次型的基礎(chǔ)上研究了正定二次型與正定矩陣的一些性質(zhì)及相關(guān)證明.以便和讀者共勉。

1.實(shí)二次型的定義

由于正定二次型有著其廣泛的應(yīng)用，如在研究極值問(wèn)題方面、解決多項(xiàng)式的根和在物理方面的應(yīng)用等等，但對(duì)于一般的二次型，判斷其正定性除了根據(jù)正定二次型的性質(zhì)外，一般有三個(gè)途徑，其一是將二次型通過(guò)可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)型，然后考察其系數(shù)是否全為正數(shù);其二是求二次型矩陣的特征值，看是否全為正數(shù);其三是考察二次型矩陣的順序主子式是否全部大于零？但是，無(wú)論將二次型通過(guò)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，還是求二次型矩陣A的特征值均非易事！所以通常都是采用第三種途徑，即直接利用二次型的矩陣A判別A的各階順序主子式是否全部大于零？來(lái)判斷二次型是否正定。

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作者簡(jiǎn)介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優(yōu)化方法研究。