解題教學(xué)需要捅破那層窗戶紙

摘要：如何讓學(xué)生在解題中思維更開(kāi)闊縝密，解題更高效，需要我們?cè)谄綍r(shí)的課堂教學(xué)中注重學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)各知識(shí)點(diǎn)和模型的聯(lián)系。本文以初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)為研究切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生理解性質(zhì)定理的聯(lián)系，以課本中的例題、課后練習(xí)題為例，對(duì)解題教學(xué)中提高學(xué)生發(fā)散學(xué)生思維、加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)之間整合進(jìn)行了詳細(xì)的研究和分析。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);窗戶紙;聯(lián)系;發(fā)散思維

數(shù)學(xué)問(wèn)題是基于數(shù)學(xué)概念、知識(shí)、方法和思想等方面的一種整合與創(chuàng)新。解題過(guò)程中學(xué)生需自覺(jué)的分析題目中的條件和特征，有效的捕捉題目中的重要信息，多角度、深層次、全方位地探索解題思路，在聯(lián)想、反思、比較、選擇中尋找解題策略。筆者結(jié)合初三教學(xué)過(guò)程中的具體實(shí)踐，以浙教版教科書(shū)為例談?wù)勗诟拍?、定理或推論、課本例題、課后練習(xí)題及幾何與函數(shù)中如何捅破那層窗戶紙，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，以達(dá)到融會(huì)貫通，方便解題的目的，談?wù)勛约旱男牡皿w會(huì)，聊以拋磚引玉，愿與廣大同仁探討。

一、捅破概念的那層窗戶紙

九年級(jí)上冊(cè)，我們學(xué)習(xí)《圓的基本性質(zhì)》中指出“在同一平面內(nèi)，線段OP繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一端點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的封閉曲線叫做圓”。勿容置疑，大部分學(xué)生對(duì)于這個(gè)概念是沒(méi)有問(wèn)題的，但是，當(dāng)點(diǎn)P不是旋轉(zhuǎn)一周，而是幾個(gè)跳動(dòng)的點(diǎn)的時(shí)候，就很少有同學(xué)能想到圓了。例題呈現(xiàn)：

如圖1所示，四邊形ABCD中，DC//AB，BC=1，AB=AC=AD=2，則BD的長(zhǎng)為（? ? ? ）

思維對(duì)比：此題如果用常規(guī)思維來(lái)解，過(guò)A作BD、BC的垂線短，構(gòu)造全等三角形來(lái)做，解法比較繁瑣。而如果能看到圓，補(bǔ)充圓，則該題就變成了一道口算題了。筆者在班級(jí)中粗略的看了一下，發(fā)現(xiàn)用圓來(lái)解決的同學(xué)占比三成左右。

反思：對(duì)于學(xué)生來(lái)講，看到圓去解圓，比較容易，但是要學(xué)生逆向思維圓的確有點(diǎn)困難。這應(yīng)該緣于自己在圓概念教學(xué)當(dāng)中的欠透。當(dāng)以條線段繞它固定端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，也是圓的一部分（扇形）;當(dāng)一條線段的一個(gè)端點(diǎn)繞另外一個(gè)固定端點(diǎn)跳動(dòng)的時(shí)候也得到圓的一部分（點(diǎn)圓）;當(dāng)平面內(nèi)幾個(gè)點(diǎn)到一個(gè)固定點(diǎn)的距離都相等的時(shí)候也得到圓的一部分，不管哪種情況得到的模型它們都應(yīng)該具有圓的性質(zhì)。如果能把圓概念的這層窗戶紙讓學(xué)生捅破，我相信遇到類似題目想到用圓來(lái)解決的人會(huì)越來(lái)越多。

二、捅破推論的那層窗戶紙

九年級(jí)上冊(cè)，我們學(xué)習(xí)《圓的基本性質(zhì)》得到圓周角定理的一個(gè)推論“半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角”。

如圖2就是“半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角”的課本圖示。讓學(xué)生去分析這個(gè)圖形可引導(dǎo)學(xué)生得到以下幾點(diǎn)心得：其一，這其實(shí)給了我們提供了一個(gè)用尺規(guī)作直角的方法;其二，如果連接CO，那么“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，就如此理所當(dāng)然;其三，如果點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)，使得∠B=30?，那么“30?角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半”、圓周角定理又完美的結(jié)合在一起;其四，如果延長(zhǎng)CO與圓相交，得到矩形，那么矩形的性質(zhì)和判定，在這個(gè)圖形中是如此的和諧！學(xué)生回顧或解惑以前學(xué)過(guò)的知識(shí)的同時(shí)，又進(jìn)一步切身感受數(shù)學(xué)定理的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯的嚴(yán)密性，更能拓展了自己的發(fā)散性思維，這層紙要捅破！

三、捅破例題的那層窗戶紙

九年級(jí)上冊(cè)，我們學(xué)習(xí)《圓的基本性質(zhì)》3.5《圓周角》這一節(jié)例題3，題目如下：

如圖，有一個(gè)弓形的暗礁區(qū)，弓形所在的圓的圓周角∠C=50?.問(wèn)船在航行時(shí)怎樣才能保證不進(jìn)入暗礁區(qū)？

當(dāng)船在燈塔線AB以上海域航行，會(huì)不會(huì)進(jìn)入暗礁區(qū)域，顯然以此弓形上的優(yōu)弧為界。那么，假如要使船在此優(yōu)弧上航行，要滿足什么條件呢？根據(jù)“在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等”，則必須保持∠S=50?。至此，由定線段（燈塔AB）和定角構(gòu)成的“定弦定角得定圓”的隱圓模型躍然而出。

近年來(lái)各地中考卷中隱圓問(wèn)題時(shí)有出現(xiàn)，有動(dòng)點(diǎn)并且涉及到軌跡問(wèn)題，學(xué)生處理起來(lái)比較困難。如能捅破這個(gè)例題“定弦定角得定圓”的窗戶紙，我相信對(duì)學(xué)生感知模型的意義、體驗(yàn)?zāi)Ｐ徒⒉⒆罱K解決此類問(wèn)題會(huì)有很大的幫助。

四、捅破課后習(xí)題的那層窗戶紙

4.1九年級(jí)上冊(cè)，我們學(xué)習(xí)《相似三角形》4.4《兩個(gè)三角形相似的判定》這一節(jié)課后習(xí)題，題目如下：

如圖4，在?ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于點(diǎn)D，試寫(xiě)出圖中的相似三角形。

不難發(fā)現(xiàn)，圖中Rt?ABC、Rt?ACD、Rt?CBD三個(gè)彼此相似，那么同學(xué)們是否可以寫(xiě)出這些三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的比例式呢？當(dāng)學(xué)生寫(xiě)出AC2=AD·AB;BC2=BD·AB;CD2=AD·BD時(shí)，突然得到三個(gè)比例中項(xiàng)的體驗(yàn)和欣喜，無(wú)疑會(huì)加深學(xué)生對(duì)此模型（射影定理）的印象！

4.2課本同一頁(yè)中的另一課后習(xí)題，題目如下：

已知：如圖5，在☉O中，弦AB與CD交于點(diǎn)P，

（1）求證：?ADP∽?CBP.

（2）判斷AP·BP=DP·CP是否成立，并給出證明.

證明和判斷都很簡(jiǎn)單，我們需要讓學(xué)生思考兩個(gè)問(wèn)題：其一，題中這些線段的特征;其二，這個(gè)結(jié)論是否具有普遍性，能否用自己的語(yǔ)言描述（相交弦定理）。

當(dāng)圖4的外接圓被補(bǔ)充，斜邊上的高被倍長(zhǎng)，如圖6，對(duì)于CD2=AD·BD，學(xué)生會(huì)有欣喜若狂的發(fā)現(xiàn)，原來(lái)我們同出一轍！兩個(gè)看似毫不相干的圖形，在特定的條件下竟然互為印證，這就是數(shù)學(xué)的美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)！

五、捅破幾何與函數(shù)的那層窗戶紙

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”。數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。例題呈現(xiàn)：

[2017寧波]如圖7，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)E在邊AB上，BE=4，國(guó)點(diǎn)E做EFBC，分別叫BD，CD于G，F(xiàn)兩點(diǎn)。若M，N分別是DG，CE的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為（? ? ）

該題在中數(shù)參2017年第10期《從信息萃取到多解生成》一文中浙江省象山港書(shū)院的周孝輝、王偉兩位同仁用構(gòu)造、面積等方法提供了6種幾何解法，可謂用心良苦，筆者甚是認(rèn)同。只是在我們平時(shí)的解題教學(xué)中，捅破幾何函數(shù)間的那層窗戶紙，不僅能為學(xué)生的思維拓開(kāi)一個(gè)新的方向，更能在限時(shí)作業(yè)中收到更好的效果。

“有形缺數(shù)，調(diào)用函數(shù);直角中立，或可建系”，數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)到高等數(shù)學(xué)解題中極其重要的解題方法。如果我們以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，這道題就可以口算得出結(jié)果。

六、結(jié)束語(yǔ)

課程標(biāo)準(zhǔn)中明確了解題要求，要使得學(xué)生能夠靈活準(zhǔn)確地掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，不斷拓展知識(shí)之間的聯(lián)系，使學(xué)生形成分析與求解問(wèn)題的思路和方法，要發(fā)展學(xué)生的思維能力。教師在課堂教學(xué)過(guò)程中應(yīng)更加注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的拓展和整合，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，這必然對(duì)加強(qiáng)學(xué)生的解題能力有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]周孝輝、王偉《從信息萃取到多解生成》中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017.10

作者簡(jiǎn)介：殷美喬（1978.12-）男，浙江紹興人，本科，浙江上虞曹娥街道中塘學(xué)校教師，職稱：中學(xué)一級(jí)，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。