基于ARIMA模型的西安市國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值預(yù)測(cè)分析

胡美

摘要：國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是衡量一個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)狀況的重要指標(biāo)，對(duì)促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和協(xié)助相關(guān)部門做出經(jīng)濟(jì)決策具有重要意義。本文以陜西省西安市為例，選取西安市1983年至2019年GDP指標(biāo)數(shù)據(jù)作為樣本，實(shí)證分析找到擬合 GDP 最優(yōu)模型ARIMA（1，1，1）模型，對(duì)西安市GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)估、檢驗(yàn)。結(jié)果表明模型的GDP預(yù)測(cè)值與實(shí)際值誤差在5%以內(nèi)。并運(yùn)用模型預(yù)測(cè)西安市未來5年GDP數(shù)據(jù)。本文對(duì)GDP的指標(biāo)分析具有一定現(xiàn)實(shí)意義，希望能為西安市的經(jīng)濟(jì)決策提供參考。

關(guān)鍵詞：時(shí)間序列 ?ARIMA模型 ?西安市GDP

一、引言

GDP是衡量一個(gè)國(guó)家、一個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況的重要指標(biāo)依據(jù)。它是在一定時(shí)期內(nèi)，一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的經(jīng)濟(jì)中所生產(chǎn)出的全部最終產(chǎn)品和勞務(wù)的價(jià)值，反映一國(guó)的國(guó)力與財(cái)富。西安市是國(guó)務(wù)院批復(fù)確定的中國(guó)西部地區(qū)重要的中心城市，是我國(guó)四大古都之一，也是聯(lián)合國(guó)科教文組織確定的“世界歷史名城”，具有悠久的古韻文化，但其經(jīng)濟(jì)總量不高。2019年公布GDP數(shù)據(jù)雖同比增長(zhǎng)7.0%，位居陜西省10市之首，但仍未破萬億元。為使西安市更加符合中心城市的要求，對(duì)其GDP數(shù)據(jù)的研究及相關(guān)經(jīng)濟(jì)政策的提出，對(duì)衡量當(dāng)?shù)氐貐^(qū)經(jīng)濟(jì)狀況具有一定意義。

二、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

目前，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)GDP的模型預(yù)測(cè)，大部分集中采用時(shí)間序列計(jì)量模型與灰色預(yù)測(cè)模型。時(shí)間序列計(jì)量模型適用于短期分析，灰色預(yù)測(cè)適用于通過少量的、不完整的信息，建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)。李守麗（2013）運(yùn)用ARIMA（1，2，3）模型對(duì)鄭州市2011年到2015年GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)，模型誤差較小。楊探（2018）運(yùn)用ARIMA（1，1，1）模型，使用1996-2012年的數(shù)據(jù)對(duì)我國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，模型擬合效果較好。王爽、汪海飛（2010）選取1978-2019年海南省GDP數(shù)據(jù)為研究樣本，采用ARIMA（1，1，2）模型對(duì)海南省國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值在平均誤差 5%內(nèi)對(duì)其做出短期預(yù)測(cè)。戴琳琳（2019）選取青島市1990年至2014年GDP指標(biāo)數(shù)據(jù)建立ARIMA（1，1，2）模型，對(duì)青島市 GDP 進(jìn)行預(yù)測(cè)檢驗(yàn)，模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際GDP 值誤差較小。對(duì)于西安市GDP預(yù)測(cè)模型研究較少，僅孫愛民（2020）選取西安市2010-2018年的GDP數(shù)據(jù)建立灰色GM（1，1）模型，對(duì) 2019-2023 年的 GDP 數(shù)據(jù)小誤差概率檢驗(yàn)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

三、ARIMA（p，d，q）模型

ARIMA模型全稱為自回歸求和移動(dòng)平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，簡(jiǎn)記ARIMA），是由博克思-詹金斯（Box-Jenkins）提出的一種用于進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)的模型。稱為box-jenkins模型或者博克思-詹金斯法。ARIMA（p，d，q）稱為差分自回歸移動(dòng)平均模型，AR是自回歸，p為預(yù)測(cè)模型中采用的時(shí)序數(shù)據(jù)本身的滯后數(shù)（lags），MA為移動(dòng)平均，q為預(yù)測(cè)模型中采用的預(yù)測(cè)誤差的滯后數(shù)（lags），d為時(shí)間序列成為平穩(wěn)序列所做的差分次數(shù)。常用自相關(guān)函數(shù)（ACF）與偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）判斷（p，q）。AR自回歸模型，MA移動(dòng)平均模型，ARMA模型都是特殊的ARIMA自回歸積分滑動(dòng)平均模型。

若序列{}通過d階差分轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，即是一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列，且可以擬合成一個(gè)平穩(wěn)可逆ARMA（p，q）模型，序列{}擬合成如下樣式：，稱為求和自回歸移動(dòng)平均模型ARIMA（p，d，q）

d階差分運(yùn)算表示為：

差分后的序列是原序列的若干序列值的加權(quán)和，可擬合成一個(gè)自回歸移動(dòng)平均模型。當(dāng)時(shí)，ARIMA（p，d，q）即為ARMA（p，q）模型

其中{}為白噪聲。給定{}與{}條件下，使用條件MLE估計(jì)ARMA（p，q），首先根據(jù)ACF（自相關(guān)系數(shù)）與偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）判斷是否存在或情況，若則判斷模型為MA（q）

若，則，產(chǎn)生的擾動(dòng)項(xiàng)與產(chǎn)生的擾動(dòng)項(xiàng)無交集，即ACF在時(shí)等于0，出現(xiàn)截尾。PACF函數(shù)拖尾，不包含自回歸部分。

如果，則判斷模型為AR（p）

PACF函數(shù)在時(shí)都等于0，出現(xiàn)截尾。ACF函數(shù)逐漸衰減，拖尾，不包含移動(dòng)平均部分。

若以上兩情況都不符合，ACF與PACF函數(shù)都拖尾?？紤]ARMA（p，q）模型。

四、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)的處理

本文選取西安市1983-2019年的 GDP 數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，所有數(shù)據(jù)均來源于《陜西統(tǒng)計(jì)年鑒》，如表 1 所示。在其目前現(xiàn)有數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，根據(jù) ARIMA 模型對(duì)西安市 GDP 進(jìn)行預(yù)測(cè)，樣本數(shù)據(jù)區(qū)間為1983-2019年，將樣本外2015—2019 年的實(shí)際數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，判斷模型的擬合效果誤差值，進(jìn)而再預(yù)測(cè) 2020—2024 年西安市 GDP 的發(fā)展情況。

1.平穩(wěn)性檢驗(yàn)。將1983—2019 年西安市GDP數(shù)據(jù)做折線圖，如圖1所示，隨著時(shí)間的推移，直觀看出西安市GDP呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)，初步判斷為非平穩(wěn)的時(shí)間序列。為了消除異方差以及指數(shù)趨勢(shì)，對(duì)其進(jìn)行對(duì)數(shù)化處理，記為 lnGDP。

圖 1 西安市 GDP 的時(shí)間趨勢(shì)圖

對(duì)lnGDP采用ADF單位根檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如下表

表2 lnGDP 的 ADF 檢驗(yàn)結(jié)果

t-Statistic Protb.*

ADF統(tǒng)計(jì)量 -1.371277 0.8496

檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn) 1%臨界值 -4.28458

5%臨界值 -3.562882

10%臨界值 -3.215267

注：臨界值為MacKinnon（1996）one-sided p-values。

由檢驗(yàn)結(jié)果得知ADF 統(tǒng)計(jì)量為-1.3713，該值明顯大于不同顯著性水平下的臨界值，對(duì)應(yīng)P值大于顯著性水平，說明此時(shí)間序列存在單位根，lnGDP序列是非平穩(wěn)的。建立模型必須是平穩(wěn)序列，對(duì) LNGDP 進(jìn)行一階差分，一階差分序列記為 DlNGDP，并進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。如表3所示，ADF 檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為 -3.6865，該值小于 5% 顯著性水平下的臨界值 -3.574，即單位根是不存在的，DlNGDP在 5% 顯著性水平下是平穩(wěn)的時(shí)間序列。由此可知，DlNGDP序列是一階單整過程，存在一個(gè)單位根。DlNGDP～I(xiàn)（1），可對(duì)平穩(wěn)的DlNGDP構(gòu)建ARIMA（p，q）模型。

2.ARIMA 模型的建立和求解。運(yùn)用博克思-詹金斯法，選擇合適的p，d和q值，對(duì)西安市l(wèi)nGDP 的一階差分變量做自相關(guān)分析，圖2給出西安市l(wèi)nGDP 的自相關(guān)（ ACF）系數(shù)和偏自相關(guān)（ PACF）系數(shù)圖。

從圖2根據(jù)表4判斷標(biāo)準(zhǔn)可以看出，自相關(guān)系數(shù)（ AC）與偏相關(guān)系數(shù) （ PAC ）都是拖尾的。但無法確定具體的p與q，大致確定p=1，q=1，但因?yàn)樾欧Σ粔?，本文?duì)其它模型AR（1），MA（1），AR（2），MA（2），ARIMA（1，1，2），ARIMA（1，1，1）進(jìn)行建模，根據(jù)AIC準(zhǔn)則、SC準(zhǔn)則、R2，DW值確定最佳適合精準(zhǔn)度最高的模型。結(jié)果如下表所示

根據(jù)表5可知，由DW自相關(guān)檢驗(yàn)可知MA模型存在一階正自相關(guān)，從其余模型根據(jù)AIC準(zhǔn)則，SC 準(zhǔn)則越小越好，判斷其最優(yōu)模型，發(fā)現(xiàn)ARIMA（1，1，1）模型優(yōu)于其他模型，p值為1，q值為1，擬合效果較好。圖3是其模型運(yùn)算結(jié)果。

可對(duì)lnGDP初步建立ARIMA（1，1，1）模型。利用 1983- 2019 年樣本數(shù)據(jù)建立 ARIMA 模型，結(jié)果見下表：取 p=1，q=1，建立 ARIMA（1，1，1）模型：

模型的R2= 0.99，D.W= 2.17

從表6看出模型的LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量0.7655水平上不拒絕原假設(shè)，即模型的殘差不存在序列相關(guān)，亦可從圖4中Q-Stat及其p值顯示認(rèn)為殘差序列屬于白噪聲序列，即模型顯著有效。

由表7可得在0.7水平上不拒絕原假設(shè)H0：無異方差存在，即所建模型無異方差。

根據(jù) ARIMA（1，1，1）模型對(duì) 2015—2019年西安市GDP 進(jìn)行預(yù)測(cè)，繪制預(yù)測(cè)值與實(shí)際值誤差比較，算出5年的平均誤差為3.1252%在5%以內(nèi)，誤差較小，預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度較好。

根據(jù)西安市1983-2019歷史數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)2020-2024 年GDP數(shù)據(jù)值分別為10208.46097億元、11442.64143億元、14304.41624億元、15953.99652億元，畫出擬合圖。

從預(yù)測(cè)中發(fā)現(xiàn)，西安市GDP隨著時(shí)間的推移呈現(xiàn)快速上升趨勢(shì)，有望于2020年突破萬億元大關(guān)，2024年突破1.5萬億元。呈現(xiàn)良好的發(fā)展趨勢(shì)，有助于西安市經(jīng)濟(jì)繁榮發(fā)展。

五、結(jié)束語

通過求和自回歸移動(dòng)平均模型建立的 ARIMA（1，1，1）模型較好地對(duì)西安市1983—2019年GDP非平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，預(yù)測(cè)出 2020 年到2024 年西安市GDP數(shù)據(jù)，計(jì)算其平均誤差百分比為 3.1252%，控制在5%范圍內(nèi)。為西安市政府制定一系列的經(jīng)濟(jì)政策提供一定的決策依據(jù)。從預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)中看出，西安市GDP數(shù)據(jù)有望在2020年突破萬億元大關(guān)。本文對(duì)GDP分析預(yù)測(cè)僅考慮其數(shù)值，但影響GDP數(shù)據(jù)的因素有很多，影響機(jī)制復(fù)雜，日后在考慮其它影響因素方面有待加強(qiáng)改進(jìn)。

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作者系西安工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)碩士研究生