基于高階距離場的橢球面內(nèi)插方法研究

劉云　馮俊　蕢露超

摘 要 由于傳統(tǒng)的內(nèi)插方法大多基于歐式平面，在地球投影至平面的過程中，往往會產(chǎn)生裂縫和變形。在較大范圍的地理空間內(nèi)，這些誤差會對內(nèi)插結(jié)果造成較大的影響。本文針對這一情況，基于反距離加權(quán)法設(shè)計插值算法設(shè)計了針對橢球面的插值算法，并與原有幾種插值算法進行了精度的比較。

關(guān)鍵詞 等值線;距離場;插值

1研究背景和意義

根據(jù)已觀測點的測值對未觀測點的測值進行估算的方法為插值。過去通過地面實時測量空間數(shù)據(jù)的方法已無法滿足對廣大區(qū)域范圍進行數(shù)據(jù)獲取的需求，而現(xiàn)階段大范圍數(shù)據(jù)采集方式如衛(wèi)星遙感雷達觀測等雖然可以對較大地理范圍進行實時觀測，但仍舊不可避免會因噪聲而影響觀測結(jié)果。插值正是解決這一問題較為有效的途徑。

目前為止，已經(jīng)出現(xiàn)了各種各樣的內(nèi)插算法，每種方法都有其各自的適用領(lǐng)域和優(yōu)缺點.但這些算法大多基于歐式平面，針對較小地域范圍內(nèi)進行插值時，其結(jié)果較為精確[1]。但針對經(jīng)緯度跨度較大時，由地圖投影導(dǎo)致的變形愈發(fā)明顯。在針對等值線數(shù)據(jù)時，等值線與待內(nèi)插點之間的距離計算則較為復(fù)雜，計算效率較低。

為解決以上兩個問題，需要設(shè)計一種適應(yīng)于研究區(qū)域為大范圍橢球面，數(shù)據(jù)類型為等值線的插值算法，較為高效率和準確地獲取待內(nèi)插點的插值。

2研究現(xiàn)狀

內(nèi)插算法發(fā)展至今，已出現(xiàn)多種多樣的內(nèi)插算法。根據(jù)數(shù)據(jù)源不同將內(nèi)插方法分為離散點插值、離散點等值線共同插值和等值線插值等。

離散點內(nèi)插方法主要包括根據(jù)采樣點的值賦予采樣區(qū)域內(nèi)所有點的值泰森多邊形法[2]樣點的距離為權(quán)重進行插值的反距離加權(quán)法、構(gòu)造采樣點的多階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的曲面函數(shù)進行內(nèi)插的樣條函數(shù)法[3-4]、以到采樣點的距離和數(shù)據(jù)點之間的整體排列作為權(quán)重，用半變異函數(shù)模型代表空間中隨距離變化的函數(shù)求出內(nèi)插值的克里金插值法[5-6]等算法。而等值線內(nèi)插法則主要包括將等值線轉(zhuǎn)化為等指點進行內(nèi)插的方法、和借助輔助線生成新等值線的輔助線法以及綜合了局部內(nèi)插和整體插值有點的ANUDEM法[7-9]。每一種算法都有其優(yōu)缺點，和適用范圍，因此針對以上算法存在的不足，國內(nèi)外很多學(xué)者都對其進行了改進，在保留其優(yōu)勢的同時，對其劣勢進行了補足。

3高階距離場內(nèi)插

3.1 算法原理

本文研究的數(shù)據(jù)類型為等值線數(shù)據(jù)。等值線，一般為線上所有值相等，且連續(xù)、閉合的曲線。根據(jù)這一特性，可以將等值線間的區(qū)域視作為一塊整體。相鄰等值線間的待內(nèi)插點，僅受這兩條等值線間的影響，其數(shù)值則與等值線到該點的距離有關(guān)。而反距離加權(quán)法則可以很好地反映待內(nèi)插點與數(shù)值點之間的距離對內(nèi)插結(jié)果的影響，因此本文設(shè)計算法基于反距離加權(quán)法。

反距離加權(quán)法得優(yōu)勢在于算法較為簡單、效率較高且易于實現(xiàn)，能較為直觀得反映距離對插值結(jié)果得影響，但由于其原本適用于離散點插值，容易受到周圍采樣點中極值的影響[10]，且在針對等值線內(nèi)插方面實現(xiàn)較為復(fù)雜且效率低下。而這僅是在針對歐式平面下得計算，在進行大地線距離計算時會更復(fù)雜。為解決這一問題，需要引入距離變換得方法提高等值線間距離計算的效率。

在地圖代數(shù)中，距離變換是計算并標識空間點（對參照體）距離的變換或過程。通過對矢量圖形進行柵格化處理，以到最近點的距離值作為灰度值獲得彩色位圖。

以往的距離變換所采用的尺度大多以歐式距離、棋盤距離等為主，而由于本文研究范圍較廣，直接采用投影到歐式平面上的距離會影響實驗結(jié)果精度，因此采用大地線距離作為尺度。同時本文采用高階距離變換，獲取任一點到最近的n個數(shù)據(jù)點的最短大地線距離。根據(jù)這一距離作為權(quán)重計算待內(nèi)插點的值。

4實驗步驟

本文數(shù)據(jù)為亞洲地區(qū)的真實溫度等值線數(shù)據(jù)，為東經(jīng)0-180度且北緯0～80度之間的地理范圍。數(shù)據(jù)量較為龐大且復(fù)雜，可以較好地反映設(shè)計算法的運行效率及精度。

依據(jù)等值線與等值線之間的間隔，基于區(qū)域大小和特征，選擇合適的分辨率對研究區(qū)域數(shù)據(jù)進行柵格化，獲取柵格影像。對該柵格影像，以大地線為尺度，進行測地變換，獲取研究區(qū)域內(nèi)1至k階距離場數(shù)據(jù)。

根據(jù)橢球面距離場數(shù)據(jù)獲取待內(nèi)插點至等值線的大地線距離和等值線所代表的值，以此作為權(quán)重，計算得到該點的插值。并通過特征點數(shù)據(jù)精度比較的方法，與現(xiàn)有的插值算法進行結(jié)果的精度比較，評價設(shè)計算法的精度。

5實驗結(jié)果

本文對研究區(qū)域內(nèi)的低中高緯三個區(qū)域內(nèi)隨機選取50個采樣點進行內(nèi)插結(jié)果的比對，以逼近誤差作為評判標準，數(shù)值量化比較各內(nèi)插算法的精度。

通過多種方法對比得到的表 5?1可以發(fā)現(xiàn)，TIN法所求得的逼近誤差最小值是所有誤差方法內(nèi)最小的，而本文方法的逼近誤差的最大值則為最小，由逼近誤差的平均值可以從一定程度上體現(xiàn)出ANUDEM和本文方法的誤差較小，結(jié)果較為精確。但僅從最小值、最大值和平均值很難完全反映出算法的誤差，因此將每個點的逼近誤差進行匯總，繪制成相應(yīng)的連線，通過圖標的形式更為直觀地反映誤差分布情況。

從圖 5?2中可以看出，克里金插值、TIN法和直接反距離加權(quán)法這三種方法的折線離中央位置更遠，且在某些點處的值相較于另外幾種方法更大。樣條法的折線變化情況則相對較為舒緩，但也出現(xiàn)部分偏離的情況。而ANUDEM和本文所用方法則相對平滑，雖然也存在部分誤差較大的地方，但更接近于真實數(shù)據(jù)，體現(xiàn)出本文設(shè)計算法精度較高的優(yōu)點。

6總結(jié)與展望

本文算法主要依據(jù)現(xiàn)有的反距離加權(quán)法進行改進，利用高階距離場來進行待內(nèi)插點與等值線間的位置關(guān)系來計算內(nèi)插值。其優(yōu)點在于針對等值線數(shù)據(jù)類型，在算法效率方面，利用高階距離場計算待內(nèi)插點到等值線的距離，其算法效率僅于分辨率有關(guān)，效率優(yōu)于同等情況下的矢量方法計算。在精度方面，由于采用大地線距離計算，相對于歐式距離，在針對大范圍的地理區(qū)域時，其精度結(jié)果相較于投影到歐式平面的反距離加權(quán)法更加接近于真實數(shù)據(jù)，其精度也較其他的歐式平面下的算法有優(yōu)勢。

但本實驗也暴露了設(shè)計算法的補足，首先由于本文設(shè)計算法僅與區(qū)域的分辨率有關(guān)，在針對同樣分辨率的同一區(qū)域下時，數(shù)據(jù)點數(shù)目較少的情況下，其算法效率可能并不比其余算法的效率要高。其次，根據(jù)研究區(qū)域的不同，采用合適的投影方法可以有效地降低投影導(dǎo)致的誤差[11]，在這一情況下，本文算法精度也可能不會優(yōu)于其他算法。

針對以上不足，在接下來的研究中，會對外推公式進行研究，對極值圈內(nèi)的結(jié)果進行外推，提高極值圈內(nèi)內(nèi)插結(jié)果的精度，同時也會針對更加復(fù)雜的數(shù)據(jù)，采用更高階的距離場進行內(nèi)插，提升在復(fù)雜情況下的內(nèi)插結(jié)果精度。

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