時(shí)間最值問題的思考

李林鐘

【摘要】本文主要把求時(shí)間最值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型兩定一動(dòng)求最值問題。即是“PA+k·PB”模型的最值問題。從具體考試題分析講解，分析題目?jī)?nèi)容、來源、背景。通過變式訓(xùn)練，從特殊到一般的變形，最后拓展提升總結(jié)模型。

【關(guān)鍵詞】時(shí)間最值;胡不歸;兩定一動(dòng)

中考數(shù)學(xué)壓軸題歷來是初中師生關(guān)注的焦點(diǎn)。它一般具有動(dòng)態(tài)性、開放性、探索性等特點(diǎn)，涉及代數(shù)幾何等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)。對(duì)考生而言，壓軸題是一根標(biāo)尺，可以比較衡量學(xué)生的綜合能力以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而中考模擬試題壓軸題，是給師生提供一個(gè)風(fēng)向標(biāo)，指導(dǎo)師生思考關(guān)注的方向。

時(shí)間最值問題可簡(jiǎn)化成數(shù)學(xué)模型“兩定一動(dòng)求最值”，即是“PA+k·PB”模型的最值問題。我們對(duì)參數(shù)k進(jìn)行討論，當(dāng) k 值為 1時(shí)就是“飲馬問題”模型，即可轉(zhuǎn)化為“PA+PB”之和最短問題，可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理。原理：兩點(diǎn)之間，線段最短。

當(dāng) k 值不為 1時(shí)，分類研究。

（1）點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)——“胡不歸”模型。如圖1。

（2）點(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng)——“阿氏圓”模型，如圖2。

我們今天從一道具體考試題目來分析。

一、審題分析

1.題目具體內(nèi)容：

已知拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)。

（1）求拋物線的解析式;

（2）如圖①，拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，且點(diǎn)P在x軸下方，線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（3）如圖②，直線y=x+交拋物線于A、E兩點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AE上一點(diǎn)，連接BD，有一動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BD以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D，再沿DE以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到E，問：是否存在點(diǎn)D，使點(diǎn)Q從點(diǎn)B到E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由。

2.題目來源：

2017年深圳福田二模數(shù)學(xué)試題第23題第（3）問;

3.選題背景分析

（1）本題運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)及體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：

A、時(shí)間=路程/速度;B、兩點(diǎn)之間，線段最短; C、點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短;D、數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想

（2）本題考察中考熱點(diǎn)問題

A、動(dòng)點(diǎn)問題;B、數(shù)形結(jié)合;C、最值問題;D、胡不歸問題

二、解題剖析

6.點(diǎn)F為直線EF上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為定點(diǎn)。點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，當(dāng)BF⊥EF時(shí)，BF最短;此時(shí)，BF與AE的交點(diǎn)D為所求。

7.具體解答過程

分析：

如下圖所示：過點(diǎn)E作EF∥x軸，作點(diǎn)DF∥y軸，則∠EFD=90o.

三、變式題解

1.我們可以把30°角轉(zhuǎn)化成45°角。相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q在DE上的速度變成個(gè)單位。

變式1、如圖，直線y=x+1交拋物線y=x2﹣2x﹣3于A、E兩點(diǎn)，點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)D為線段AE上一點(diǎn)，連接BD，有一動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D，再沿DE以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到E，問：是否存在點(diǎn)D，使點(diǎn)Q從點(diǎn)B到E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由。

變式2、如圖，直線交拋物線y=x2﹣2x﹣3于A、E兩點(diǎn)，點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)D為線段AE上一點(diǎn)，連接BD，有一動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BD以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D，再沿DE以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到E，問：是否存在點(diǎn)D，使點(diǎn)Q從點(diǎn)B到E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由。

四、拓展提升

古老的“胡不歸”問題，有一則歷史故事：說的是一個(gè)身在他鄉(xiāng)的小伙子，得知父親病危的消息后便日夜趕路回家。由于思念心切，他挑選了全是沙礫地帶的直線路徑，放棄了沿驛道走一段的想法。然而，當(dāng)他氣喘吁吁地來到父親的面前時(shí)，老人剛剛咽氣了。人們告訴他，在彌留之際，老人在不斷喃喃地叨念：“胡不歸？胡不歸？……”這就是風(fēng)靡千年的“胡不歸”問題。

我們?yōu)檫@則古老的傳說中的小伙子設(shè)想了一條路線。（見圖（1））B是出發(fā)地，E是目的地;AE是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是砂土地帶。為了急切回家，小伙子選擇了直線路程BE。

但是，他忽略了在驛道上行走要比在砂土地帶行走快的這一因素。如果他能選擇一條合適的路線（盡管這條路線長(zhǎng)一些，但是速度可以加快），是可以提前抵達(dá)家門的。

那么，這應(yīng)該是哪條路線呢？胡不歸問題可以用物理解法，也可以用數(shù)學(xué)解法。顯然，根據(jù)兩種路面的狀況和在其上行走的速度值，可以在AE上選定一點(diǎn)D，小伙子從B走到D，然后從D折往E，可望最早到達(dá)E。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，就是：

如圖（3），當(dāng)BF⊥EF時(shí)，BF與AE交點(diǎn)D為所求。