基于Contourlet變換閾值選取的算法研究

王偉兵 楊錚 霍迎科 李仁華

摘? ?要：針對CT圖像在生成或傳輸時容易受到噪聲影響這一難題，提出了基于Contourlet變換結(jié)合PCA閾值的去噪方法。 首先，對噪聲圖像進(jìn)行Contourlet變換。然后，對DFB方向?yàn)V波后得到的Contourlet系數(shù)進(jìn)行PCA閾值及硬閾值函數(shù)去噪。最后，對去噪后的Contourlet系數(shù)進(jìn)行Contourlet逆變換，得到去噪圖像。通過對圖像添加噪聲并與Contourlet結(jié)合六種不同閾值去噪方法進(jìn)行對比，采用PSNR評估去噪優(yōu)劣。結(jié)果表明：貝葉斯閾值方法PSNR值最高PSNR=94.88 dB，然后是PCA閾值PSNR=83.02 dB，最后依次是配套改進(jìn)閾值PSNR=73.97 dB、3σ閾值PSNR=73.27 dB、統(tǒng)一閾值PSNR=72.33 dB、通用閾值PSNR=71.50 dB。PCA閾值去噪結(jié)果整體平滑性較好，視覺效果較好;貝葉斯閾值去噪結(jié)果整體平滑性較差，視覺效果不佳。通過將Contourlet 變換框架取代傳統(tǒng)小波變換框架并結(jié)合PCA 閾值應(yīng)用在圖像去噪中，不僅信噪比有所提高，而且圖像視覺效果也明顯改善。

關(guān)鍵詞：CT圖像;去噪;Contourlet;Wavelet;PCA;閾值

中圖分類號：TP391? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Research on Threshold Selection Based on Contourlet Transform

WANG Wei-bing，YANG Zheng?，HUO Ying-ke，LI Ren-hua

（Automation Department Handan Iron and Steel，Handan，Hebei 056000，China）

Abstract：In view of the influence of noise on the generation of CT images. A de-noising method based on Contourlet and PCA for images is proposed. Firstly，Contourlet transform is applied to noisy images. Then，the Contourlet coefficients obtained after filtering in DFB direction are threshed to denoise by PCA. Finally，PCA inverse，Contourlet inverse transformation of the Contourlet coefficients after denoising is performed to get the denoised image. By adding noise to images and comparing with Wavelet combined with Contourlet wavelet six de-noising methods are compared and PSNR is used to evaluate the advantages and disadvantages of de-noising. The results show that Bayes threshold method obtains the highest? PSNR = 94.88 dB，Then，the PCA threshold? PSNR = 83.02 dB，F(xiàn)inally，the matching improved threshold PSNR = 73.97 dB，3σ PSNR = 73.27 dB，Donoho& Johnstone? threshold PSNR = 72.33 dB，and universal threshold PSNR = 71.50 dB. PCA threshold denoising results have higher smoothness and better visual effect;Bayes threshold denoising results have worse smoothness and poor visual effect. By replacing the traditional wavelet transform frame with the Contourlet transform frame and applying it to image denoising with PCA threshold，not only the signal-to-noise ratio is improved，but also the image visual effect is improved obviously.

Key words：CT images;de-noising;Contourlet;Wavelet;PCA;threshold

計(jì)算機(jī)斷層掃描（CT，computed tomography）成像是當(dāng)下廣泛應(yīng)用的影像技術(shù)，在臨床診斷和研究中顯得極為重要[1]。CT技術(shù)具有多功能、多參數(shù)、多平面成像、高空間分辨力、高密度分辨力等優(yōu)點(diǎn)[2]。但是在CT掃描獲取圖像過程中受到外界噪聲干擾，從而造成圖像局部區(qū)域模糊的現(xiàn)象，這對醫(yī)療人員在對CT圖像的分析時帶來不便，分析不當(dāng)會對患者造成危害。因此，對CT圖像進(jìn)行去除噪聲研究具有重要的臨床指導(dǎo)意義。噪聲會把CT圖像中的局部信息覆蓋，而覆蓋部分信息很有可能隱藏著重要信息。圖像去噪目的就是要從被噪聲污染的含噪圖像中提取出原始圖像。傳統(tǒng)小波變換去噪方法，在對醫(yī)學(xué)圖像去噪效果上取得不錯的效果，但是，因小波方向性不足，對于更高要求的來保留圖像細(xì)節(jié)部分來講，小波變換去噪方法不能滿足，為了解決小波變換去噪算法的不足之處，提出了基于Contourlet變換的閾值去噪研究[3]。

為了能夠使Contourlet變換能得到更好地去噪效果并且可以準(zhǔn)確捕獲圖像中占比例大的邊緣信息。該研究在Contourlet變換的閾值選取部分做了替換研究，把文獻(xiàn)[11]《基于Contourlet變換在圖像去噪中的應(yīng)用》的第47頁中Donoho & Johnstone提出的統(tǒng)一閾值被替換為PCA閾值（Principal Component Analysis，PCA），PCA可以理解為一種統(tǒng)計(jì)分析方法，將原來多維指標(biāo)信息重新組合成一組相互獨(dú)立的低維指標(biāo)信息，這些低維指標(biāo)信息可以盡可能地反映原來多維指標(biāo)信息，從數(shù)學(xué)角度上來看，PCA技術(shù)其實(shí)是一種數(shù)據(jù)降維處理。

通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明該方法可達(dá)到較好的信噪分離[4]。充分利用Contourlet變換良好的稀疏特性和PCA在高維數(shù)據(jù)處理中的高效性及一定的噪聲消除能力，不僅能夠更好地消除噪聲，而且能夠較好地恢復(fù)原始圖像信息。

1? ?分析方法

1.1? ?Contourlet變換

Contourlet變換是首先使用拉普拉斯金字塔LP（Laplacian Pyramid，LP）對圖像進(jìn)行多尺度分解，LP分解是用來捕捉點(diǎn)奇異，然后使用方向?yàn)V波器DFB（Directional Filter Bank，DFB）組將同一方向上的奇異點(diǎn)合并成一個系數(shù)。Contourlet變換結(jié)果是用類似線段的基的結(jié)構(gòu)來描述原始圖像[5-6]。Contourlet 變換是一種“合適”的 2 維圖像稀疏表達(dá)方法，Contourlet 變換不但具有小波變換的多分辨率時頻分析特征，還具有比小波變換更豐富的方向分量，能更稀疏地表示原始圖像。

圖1給出了小波變換和 Contourlet 變換的逼近曲線，可以看出 Contourlet 基的支撐區(qū)間具有隨尺度而長寬比變化的“長方形”結(jié)構(gòu)，而小波變換是“正方形”結(jié)構(gòu)，因此，Contourlet 變換具有良好的各向異性，可以沿著圖像輪廓邊緣使用最少的系數(shù)來逼近奇異曲線，實(shí)現(xiàn)用“稀疏”表示原始圖像[7-8]。

Contourlet 變換的基本思想是先用一個類似小波的多尺度分解捕捉邊緣奇異點(diǎn)，再根據(jù)方向信息將位置相近的奇異點(diǎn)匯集成輪廓段。即先選用拉普拉斯塔式濾波器結(jié)構(gòu) LP 對圖像逐步濾波得到圖像的多分辨率分解。然后，對 LP 分解得到的每一級高頻分量再使用二維方向?yàn)V波器組DFB進(jìn)行方向性分析，這樣，在任意尺度上可分解得到2n次方數(shù)目的方向子帶[9-10]。

圖 2 給出了 Contourlet 變換對圖像進(jìn)行分解的過程。可見Contourlet 變換可以進(jìn)行多分辨率、多方向性的變換，它允許在每個尺度上有不同數(shù)目的方向子帶。由于 Contourlet 變換良好的圖像稀疏性表示和非線性逼近性能，使得其在圖像的分析和處理中得到了成功的應(yīng)用。

1.2? ?統(tǒng)一閾值法

Donoho & Johnstone提出的統(tǒng)一閾值是在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)高斯噪聲情況下，針對彼此間相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布，在維數(shù)趨于無窮時得出的結(jié)論，即大于該閾值的系數(shù)是噪聲的概率趨于零。但當(dāng)MN較大時，也會變得很大，所以在這種情況下，統(tǒng)一閾值對圖像信號系數(shù)有“過扼殺”的傾向。它僅考慮了噪聲的特性，并沒有考慮圖像信號本身。因此，該閾值是最佳閾值的上限值，而不是最佳閾值。統(tǒng)一閾值[11]：

式中：σ是噪聲標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值，MN是腦部CT圖像的尺寸。

1.3? ?PCA閾值法

由于噪聲頻譜主要集中在高頻部分，經(jīng)過Contourlet變換分解后噪聲主要在高頻細(xì)節(jié)系數(shù)中，將各高頻子帶做了分塊處理（每個子塊為K × N的區(qū)域）。在每個Contourlet域子塊內(nèi)，將每行小波系數(shù)看作N維行向量Xi，則有K個行向量組成K × N矩陣X[12]：

協(xié)方差矩陣Cx的N個特征值按照遞減順序排列λ1 ≥ λa ≥ … ≥ λN，其對應(yīng)特征向量u1、u2、…、uN構(gòu)成特征空間的一組基。其中前d（<

按（4）式完成對K個行向量的重建，得到原X的重建矩陣[X][^]。其絕對值的均值可以作為對該子塊內(nèi)由噪聲引起系數(shù)幅值的估計(jì)[λ][^]，即[λ][^]為閾值處理，代替了傳統(tǒng)統(tǒng)一閾值[14]：

1.4? ?Contourlet的PCA閾值法去噪

該研究思想來源借鑒于基于小波變換的閾值去噪算法，基于Contourlet變換的閾值去噪算法首先假設(shè)Contourlet系數(shù)間的相互獨(dú)立性，然后參照小波變換的閾值去噪算法的流程對系數(shù)進(jìn)行處理（圖3），最后調(diào)試并生成去噪算法。由于Contourlet變換較小波變換而言，Contourlet變換去相關(guān)能力要強(qiáng)，在Contourlet域里，噪聲與圖像的Contourlet系數(shù)將更容易分離。因此，在Contourlet變換的基礎(chǔ)上采用基于閾值的去噪算法，也將能取得比較理想的去噪效果。

Contourlet 變換將多尺度分析和方向分析分開進(jìn)行。首先用拉普拉斯金字塔變換LP進(jìn)行多尺度分析捕捉奇異點(diǎn)。然后用方向性濾波器組DFB將分布在同一方向上奇異點(diǎn)合成為一個系數(shù)，捕捉高頻分量。最后用PCA閾值及硬閾值函數(shù)處理高頻分量系數(shù)并完成DFB重構(gòu)和LP重構(gòu)。

基于Contourlet的PCA閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪流程圖和具體步驟如下：

（1）對噪聲圖進(jìn)行Contourlet變換。對噪聲圖進(jìn)行拉普拉斯金字塔分解（LP），得到圖的低頻與高頻部分。對圖高頻部分進(jìn)行方形濾波器組（DFB）方向?yàn)V波，得到Contourlet系數(shù)。

（2） 對Contourlet系數(shù)進(jìn)行PCA閾值、閾值函數(shù)（硬閾值函數(shù)）對Contourlet系數(shù)與進(jìn)行去噪處理，得到去噪后Contourlet系數(shù)。

（3）對去噪后的Contourlet系數(shù)進(jìn)行Contourlet逆變換。對逆變換后的Contourlet系數(shù)進(jìn)行DFB重構(gòu)，合成去噪圖的高頻部分。

（4） 對原噪圖的低頻部分與去噪圖的高頻部分進(jìn)行LP重構(gòu)，合成去噪圖。

1.5? ?去噪評價指標(biāo)

實(shí)驗(yàn)采用峰值信噪比（PSNR）作為評價圖像優(yōu)劣指標(biāo)，PSNR是計(jì)算原始圖像與去噪圖像之間的相似度。該研究采用PSNR的表達(dá)式如下[15]：

其中：I0、I分別為原始圖像、去噪圖像各點(diǎn)灰度值，L、W表示圖像長、寬。PSNR越大，去噪圖像與原始圖像之間的相似度就會越高，則說明去噪圖像失真越小，視覺效果越好。

2? ?實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本次實(shí)驗(yàn)對象為醫(yī)學(xué)腦部CT（512 × 512）圖像，如圖4所示。圖5是對圖4添加噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ = 0.05的噪聲的圖像。

方向?yàn)V波器（DFB）：“pkva”，拉普拉斯金字塔濾波器（LP）：“9 - 7”雙正交小波，分解結(jié)構(gòu)參數(shù)：[0，0，4，4，5]。閾值：圖6的PCA閾值和圖7的統(tǒng)一閾值，閾值函數(shù)：硬閾值函數(shù)。圖6是對圖7在閾值設(shè)定上做了進(jìn)一步改進(jìn)研究，將統(tǒng)一閾值替換為PCA閾值。圖6的降噪效果PSNR = 83.02 dB。圖7的降噪效果PSNR = 72.33 dB。從圖6和圖7的結(jié)果中可以看出，該研究提出的基于Contourlet的PCA閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)去噪算法在降低噪聲的同時，有效的保留了CT圖像的紋理和細(xì)節(jié)特征，而基于Contourlet的統(tǒng)一閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪算法仍舊殘留了較多的噪聲信息。

閾值設(shè)定是圖像去噪過程中非常關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。如果閾值選取過大，則圖像部分有用信號會被視為噪聲濾除出去;如果閾值選取過小，則噪聲部分無用信號會被視為圖像信號系數(shù)被保留下來。傳統(tǒng)閾值除了統(tǒng)一閾值外，還包括3σ閾值[16]、貝葉斯閾值[17-18]、最大最小閾值、SURE Shrink閾值[19]、GCV閾值[20]、通用閾值、Neigh Shrink閾值[21]、M.N.Do & Martin Vetterli閾值[22]（文獻(xiàn)[22]《基于閾值的 Contourlet 變換圖像去噪算法》的第32頁一文中Donoho & Johnstone提出的專門為 Contourlet 變換所配套的一種改進(jìn)閾值）。在這里給出基于 Contourlet的配套改進(jìn)閾值、3σ閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪算法。目的是進(jìn)一步驗(yàn)證基于 Contourlet 的PCA閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪算法的有效性。

其中，3σ閾值計(jì)算方法為：[λ][^] = 3σ。3σ閾值設(shè)立的原理為“準(zhǔn)則”，及零均值高斯分布隨機(jī)變量落在[-3σ，3σ]之外的概率非常小，因此絕對值大于3σ閾值的變換系數(shù)一般被認(rèn)為是圖像信號系數(shù)，而小于3σ的變換系數(shù)是噪聲系數(shù)的可能性非常大。配套改進(jìn)閾值計(jì)算方法為：首先確定基本閾值和噪聲在contourlet域的標(biāo)準(zhǔn)差σ。然后計(jì)算改進(jìn)閾值[λ][^] = [λ][^] × σ。最后調(diào)整底層精細(xì)尺度系數(shù)閾值[λ][^] = [λ][^] × 4/3。

圖8為基于Contourlet的3σ閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪效果圖。圖9為基于Contourlet的配套改進(jìn)閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪效果圖。

圖8的降噪效果PSNR = 73.27 dB。圖9的降噪效果PSNR = 73.97 dB。從圖6 ～ 圖9的結(jié)果中可以看出，基于Contourlet的PCA閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)去噪算法去噪效果相對于基于Contourlet的配套改進(jìn)閾值、統(tǒng)一閾值、 3σ閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪算法較好。

在這里給出在研究閾值選取過程中遇到基于Contourlet的貝葉斯閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)去噪算法的去噪效果比基于 Contourlet 的PCA閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)去噪算法好。圖10為基于 Contourlet 的貝葉斯閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪效果圖。圖10的降噪效果PSNR = 94.88。

假設(shè)變換系數(shù)服從廣義高斯分布，那么它的Bayes Shrink閾值計(jì)算方法為：[λ][^] = σ2/σβ。其中，σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，σβ為原圖像的標(biāo)準(zhǔn)差[23]。Bayes Shrink閾值是由Chang & Vetterli根據(jù)圖像變換系數(shù)分布的特點(diǎn)，提出了一種基于Bayes準(zhǔn)則的圖像去噪方法[24]。

圖11為基于Contourlet的通用閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪效果圖。圖11的降噪效果PSNR = 71.50 dB。通用閾值是不帶有噪聲估計(jì)，通用閾值計(jì)算方法為[λ][^] = 。

表1給出了結(jié)果與討論中為該研究的不同閾值選取去噪方法的CT圖像去噪效果對比。六種閾值去噪算法的去噪效果優(yōu)劣順序可排列為：貝葉斯閾值 > PCA閾值 > 配套改進(jìn)閾值 >3σ閾值 > 統(tǒng)一閾值> 通用閾值。此外，隨著噪聲強(qiáng)度（σ）的增加，六種閾值去噪方法的去噪效果（PSNR）均存在減小的趨勢，造成該現(xiàn)象的原因是噪聲密度變大，含噪圖像與原始圖像之間的差異變大，增加了圖像去噪的難度[25]。

3? ?討? ?論

六種閾值去噪方法的圖像去噪效果對比。從去噪效果上看，基于Contourlet的貝葉斯閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪方法的去噪效果最好，其次是基于Contourlet的PCA閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪方法。再者是基于Contourlet的配套改進(jìn)閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪方法。然后是基于Contourlet的統(tǒng)一閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪方法。最后是基于Contourlet的通用閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪方法。理論上PSNR值越大，則表示失真越少，視覺效果越好，圖像畫質(zhì)越好。閾值選取不同，則去噪效果不同。

將圖10與圖6進(jìn)行對比分析可以看出，雖然基于Contourlet的PCA閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪方法的去噪效果不如基于Contourlet的貝葉斯閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪方法。但是基于Contourlet的PCA閾值結(jié)合硬閾值函數(shù)的去噪方法的結(jié)果具有整體平滑性（光斑較少不模糊），其本質(zhì)原因與閾值本身有關(guān)，閾值形式不同，則去噪原理不同。也極有可能某些閾值只是對一種或者幾種特定的圖像信號去噪效果較好。

該研究選擇的是硬閾值函數(shù)結(jié)合PCA閾值進(jìn)行降噪，也可以從其他閾值函數(shù)角度考慮。比如軟閾值函數(shù)、半軟閾值函數(shù)、改進(jìn)閾值函數(shù)，改進(jìn)閾值函數(shù)設(shè)計(jì)可以根據(jù)函數(shù)漸進(jìn)性、無偏差性連續(xù)性、三個性質(zhì)[26-27]。滿足上述三個性質(zhì)僅是理論，需要驗(yàn)證改進(jìn)后的小波閾值函數(shù)的去噪效果是否優(yōu)于傳統(tǒng)閾值函數(shù)。其實(shí)，改進(jìn)閾值函數(shù)是針對傳統(tǒng)小波軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)以及半軟閾值函數(shù)的不足而提出的一種函數(shù)，該改進(jìn)閾值函數(shù)需要克服硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性和軟閾值函數(shù)的偏差性缺點(diǎn)以及半軟閾值不連續(xù)性和偏差性。不同閾值函數(shù)在信號上去噪效果不同，這和函數(shù)本身有著必然的聯(lián)系。基于Contourlet的閾值去噪方法在閾值函數(shù)選取上擁有很大的可提升空間。

4? ?結(jié)? ?論

Contourlet變換是一種新的多尺度幾何分析方法，不但有著小波變換的多分辨和時頻局部化的特性，而且還具有多方向特性及各項(xiàng)異性特性。Contourlet變換實(shí)現(xiàn)了對圖像信號的稀疏表示，對分段光滑函數(shù)能夠達(dá)到最優(yōu)逼近，因此Contourlet變換能夠更加有效地表示圖像。對Contourlet變換的構(gòu)造方法及實(shí)現(xiàn)的基本步驟進(jìn)行了描述，取得良好的降噪效果。

目前，圖像去噪方法基本上都是基于小波去噪方法，而小波去噪方法大多數(shù)是基于對噪聲方差估計(jì)，噪聲方差估計(jì)的精確性難以把握。因此利用基于 PCA 統(tǒng)計(jì)學(xué)特征提取方法，通過對 Contourlet 域由噪聲引起的系數(shù)的能量分布進(jìn)行特征提取，直接對由噪聲引起的 Contourlet 系數(shù)的幅值估計(jì)，進(jìn)行去噪處理。通過將PCA 閾值應(yīng)用在圖像去噪中，不僅信噪比有所提高，而且圖像視覺效果也明顯改善。

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