柔性關(guān)節(jié)空間漂浮機械臂奇異攝動自抗擾控制仿真研究①

劉福才 劉 林 郭根旺

(燕山大學(xué)工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室 秦皇島 066004)

0 引 言

現(xiàn)今許多國家都投身于空間站的建設(shè)及太空研究中。由于太空環(huán)境相對惡劣，所以空間機械臂成為了人們所中意的太空工作助手。同時，機械臂使用的安全性和工作精度也受到更多關(guān)注[1]。惡劣環(huán)境和機械臂本身材料構(gòu)造等是影響機械臂工作安全性的主要因素。關(guān)節(jié)間隙、關(guān)節(jié)柔性等因素也在很大程度上影響機械臂的工作精度。其中，關(guān)節(jié)柔性會產(chǎn)生滯后、振動、非線性耦合等問題[2]。

本文主要對柔性關(guān)節(jié)空間機械臂軌跡跟蹤控制問題做仿真研究及運動行為分析。建立了地面重力及空間微重力2種工況下的模型，為軌跡跟蹤控制設(shè)計基于奇異攝動的自抗擾控制器，并做出穩(wěn)定性分析及仿真分析，仿真結(jié)果與基于奇異攝動的自適應(yīng)PD控制器控制效果進行比較。

1 國內(nèi)外相關(guān)研究

國內(nèi)外很多學(xué)者對柔性關(guān)節(jié)機械臂進行了控制研究。Good等人[3]通過實驗發(fā)現(xiàn)關(guān)節(jié)柔性會影響機械臂的工作精度。Benosman等人[4]主要是對平面多連桿柔性臂進行消除振動的關(guān)節(jié)軌跡控制。針對慢關(guān)節(jié)運動和快關(guān)節(jié)運動以因果控制為基礎(chǔ)使用2種方案進行控制，并以二連桿為例，進行數(shù)值模擬和實驗結(jié)果驗證。王旭輝等人[5]提出一種欠驅(qū)動柔性關(guān)節(jié)機器人趨同控制算法，從原理上驗證了控制器的可行性。榮吉利等人[6]針對關(guān)節(jié)柔性帶來的振動問題，提出了一種LQR和PD控制相結(jié)合的控制器，進行了仿真研究和實驗研究。陳志勇等人[7]針對空間服役階段的柔性關(guān)節(jié)機械臂提出了基于奇異攝動的增廣魯棒自適應(yīng)PD控制器，并進行了仿真研究，該控制器較為繁瑣。宋崇生等人[8]為柔性關(guān)節(jié)機械臂提出了一種帶有觀測器的滑?？刂破?，并利用2個仿真研究驗證了控制器的有效性。劉福才等人[9]為柔性關(guān)節(jié)機械臂設(shè)計了基于奇異攝動的自抗擾控制器，但存在模型補償會比較依賴于模型的問題。劉福才等人[10]為柔性關(guān)節(jié)空間機械臂設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，對漂浮機進行空間地面2種工況下的軌跡跟蹤控制研究，該控制是針對任務(wù)空間進行的，也就是對末端空間直接進行控制，但一般正常的機構(gòu)驅(qū)動都是在關(guān)節(jié)處安裝電機進行驅(qū)動，所以關(guān)節(jié)空間的控制研究更有效。

目前大多數(shù)研究都是對空間服役狀態(tài)下的空間機械臂進行研究和控制的，沒有同時考慮地面裝調(diào)和空間在軌應(yīng)用2個階段的情況。也有一些是針對地面調(diào)試和空間基座固定狀態(tài)下的控制研究。但是在空間服役時，機械臂系統(tǒng)都是處于漂浮狀態(tài)的。所以，對地面調(diào)試和空間漂浮狀態(tài)下的柔性關(guān)節(jié)機械臂運動行為的研究是很有意義的。

本文針對柔性關(guān)節(jié)空間機械臂末端軌跡跟蹤問題進行研究，分別建立了地面重力情況和空間微重力情況下的柔性關(guān)節(jié)機械臂模型，為柔性關(guān)節(jié)機械臂設(shè)計了基于奇異攝動的自抗擾控制器，并且給出穩(wěn)定性分析及仿真研究。仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計的自抗擾控制器可實現(xiàn)地面空間2階段的軌跡跟蹤控制，并與奇異攝動自適應(yīng)PD控制方法仿真結(jié)果進行了比較，結(jié)果表明自抗擾控制器可以更高精度實現(xiàn)軌跡跟蹤控制，且可以有效抑制關(guān)節(jié)柔性帶來的抖動問題。

2 系統(tǒng)模型建立

根據(jù)Spong[11]提出的由扭轉(zhuǎn)彈簧作為電機和機械臂關(guān)節(jié)之間連接機制的簡化模型，并假設(shè)該扭轉(zhuǎn)彈簧是線性的，具有常值彈性系數(shù)。柔性關(guān)節(jié)機械臂及柔性關(guān)節(jié)局部示意圖如圖1和圖2所示。

圖1 柔性關(guān)節(jié)機械臂

圖2 柔性關(guān)節(jié)簡化模型

圖2中，q為關(guān)節(jié)的角位置矢量，qm為電機轉(zhuǎn)子的角位移矢量，根據(jù)Spong理論得到的微重力環(huán)境下柔性關(guān)節(jié)機械臂欠驅(qū)動形式的模型如下：

(1)

地面裝調(diào)時，裝置會受到重力影響，所以在建立動力學(xué)模型時應(yīng)該將裝置的重力勢能考慮在內(nèi)。地面裝調(diào)階段的模型如下：

(2)

式中，G(q)∈Rn為重力載荷向量矩陣，可寫成如下形式：

G(q)=φ(q)g

(3)

3 控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

利用奇異攝動法進行系統(tǒng)降階，將系統(tǒng)分為快慢2個子系統(tǒng)，再分別進行控制[12,13]。

τm=τs+τf

(4)

式中，τf表示快子系統(tǒng)控制力矩，在突變情況下進行控制；τs表示慢子系統(tǒng)控制力矩，對穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)進行控制。

由式(1)和式(2)，得：

(5)

設(shè)計快子系統(tǒng)的控制器：

(6)

對慢子系統(tǒng)設(shè)計控制器如下。

從式(1)和式(2)可以看出機械臂的動力學(xué)模型具有強非線性及強耦合性，且模型精度有限，自抗擾控制器不依賴于系統(tǒng)準(zhǔn)確模型，并可以進行狀態(tài)估計和擾動補償，且算法簡單易實現(xiàn)，可實現(xiàn)高精度控制，對于穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的控制研究和除去關(guān)節(jié)柔性帶來影響的剛性機械臂的研究相同，所以對以下幾種情況進行研究時，均是考慮的穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)時的控制。下面分4種情況對系統(tǒng)進行控制研究[14]。

情形1地面無擾動

由式(2)得：

(7)

第i個關(guān)節(jié)表示為

(8)

將該關(guān)節(jié)本身力矩的未知項(bii-b)τi和其他關(guān)節(jié)動作對本節(jié)的影響作為擾動量,本關(guān)節(jié)總擾動為

(9)

則有:

(10)

情形2地面有擾動

式(2)寫成：

(11)

其中，ω∈Rn為擾動量。

由式(11)可知:

(12)

同樣，將本關(guān)節(jié)力矩未知項和其他關(guān)節(jié)力矩產(chǎn)生的影響作為擾動，總擾動為

(13)

情形3空間無擾動

由式(1)得:

(14)

由于空間為重力環(huán)境時，基座不受控，所以根據(jù)空間模型特點，得：

(15)

可寫為

(16)

情形4空間有擾動

式(1)可寫為

(17)

其中，ω∈Rn+3為擾動量。

則：

(18)

則：

(19)

各種情況總擾動可表示為

(20)

ESO狀態(tài)方程如下形式：

(21)

式中，ω為外部擾動，u(t)為控制量，b為放大系數(shù)?？刂瓶驁D如圖3所示。

圖3 空間機械臂自抗擾控制原理圖

微分跟蹤器(tracking differentiator，TD)避免了角度的劇烈變化表達式如下：

(22)

(23)

其中，x1=qd1-qd，x2=qd2。

ESO模塊表達式如下:

(24)

其中，誤差校正系數(shù)β01>0，β02>0，β03>0，fal使用如下形式函數(shù)[15]:

(25)

其中，α∈(0, 1)，δ>0。

控制律表達式如下:

(26)

其中，r、h0為可變參數(shù)。

(27)

將式(27)代入到式(20)得：

(28)

(29)

通過調(diào)節(jié)各環(huán)節(jié)參數(shù)實現(xiàn)良好的控制效果。

4 穩(wěn)定性分析

定理1針對系統(tǒng)式(1)和系統(tǒng)式(2)，無擾動情況下，利用狀態(tài)反饋可實現(xiàn)漸近鎮(zhèn)定。

證令α(t)=f(q,q,t)為開環(huán)控制過程中的實時表現(xiàn)量，則式(18)可轉(zhuǎn)化為

(30)

由式(27)得：

τ=τ0-α(t)/b

(31)

將式(31)代入式(30)得：

(32)

當(dāng)τ0取為如下形式時：

(33)

式中，γ1>0,γ2>0，則

(34)

取李亞普諾夫函數(shù)為

(35)

(36)

式(26)所示的控制律τ0=-fhan(ε1,ε2,r,h0)，同樣可以保證閉環(huán)情況下的漸進鎮(zhèn)定。

下面對ESO進行穩(wěn)定性分析。

定理2對于系統(tǒng)式(1)和式(2)，無擾動情況下，只要ESO中參數(shù)選取合理，則可保證ESO的穩(wěn)定性。

(37)

此狀況下ESO為如下形式：

(38)

由式(37)和式(38)作差得：

(39)

取李雅普諾夫函數(shù)為

(40)

由式(40)求導(dǎo)得：

+(βα(t)e1-2χα(t)e2)

+(βα(t)e1-2χα(t)e2)

(41)

式(41)可寫為

+(βα(t)e1-2χα(t)e2)

(42)

定理3針對系統(tǒng)式(1)和式(2)擾動存在且有界的情況下，參數(shù)選擇合適可以實現(xiàn)ESO 對狀態(tài)的實時觀測。

(43)

誤差系統(tǒng)為

(44)

(45)

其中，fal(e1,α,δ)是關(guān)于e1的單調(diào)函數(shù)且fal(e1,α,δ)=0，一般先將α和δ根據(jù)經(jīng)驗給定為固定常數(shù)，故其反函數(shù)存在且fal-1(0)=0，因此，當(dāng)系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)時，估計誤差為

(46)

5 仿真研究

對本文提出的地面空間2種工況下的模型進行了仿真研究，選擇以(1，1)為起點邊長為5 m逆時針運動的正方形軌跡，正方形與圓或直線等形狀的軌跡相比，其控制要求更高，并且便于觀察在正方形4個角軌跡突變處的跟蹤情況。表1為仿真時機械臂桿的參數(shù)取值。

表1 平面二連桿柔性關(guān)節(jié)空間機械臂仿真參數(shù)

采用基于奇異攝動的自抗擾控制器對地面二自由度機械臂及空間自由漂浮機械臂進行控制仿真結(jié)果如圖4和圖5所示，自適應(yīng)PD控制仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。

由圖4(a)可以看出地面調(diào)試階段設(shè)計的自抗擾控制器可以較好地實現(xiàn)軌跡跟蹤控制。由圖4(b)可以看出x方向y方向誤差基本在0附近變化，只是在轉(zhuǎn)角處，誤差偏大一點。

由圖4(c)和圖4(d)可以看出，ESO對關(guān)節(jié)角度狀態(tài)的估計精度很高，估計值曲線與實際值曲線基本重合，估計精度很高。

(a)端軌跡跟蹤圖

從圖4(e)和圖4(f)可以看出，角速度實際值和角速度估計值曲線基本吻合，所以，ESO實現(xiàn)的估計精度較高。綜上，可以看出ESO的有效性。

由圖5(a)可知，空間階段控制器也可以較好進行軌跡跟蹤控制。由圖5(b)可以看出x方向y方向誤差基本在0附近變化，其誤差值越來越小，在轉(zhuǎn)角處，誤差偏大一點。

(a)末端軌跡跟蹤圖

由圖5(c)和圖5(d)可知，ESO對狀態(tài)的估計精度很高，由圖5(e)和圖5(f)可知，關(guān)節(jié)1角速度實際值和估計值曲線基本吻合，估計精度較高，但從圖5(g)可知，關(guān)節(jié)2的角速度估計值和實際值變化趨勢相同，但估計情況并不好，引起這一問題的主要原因是參數(shù)選取不當(dāng)，有待改善和調(diào)整。

由圖4(g)和圖5(h)可知關(guān)節(jié)力矩在轉(zhuǎn)角處會出現(xiàn)明顯突變，以應(yīng)對轉(zhuǎn)彎情況。同時在空間階段，力矩有明顯的抖動，這是由于ESO對關(guān)節(jié)2角速度估計不準(zhǔn)確且關(guān)節(jié)2時機角速度變化明顯不平滑導(dǎo)致的。

采用基于奇異攝動自適應(yīng)PD控制器對被控對象進行控制得到的仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。設(shè)計的控制率如下：

圖6 地面階段奇異攝動自適應(yīng)PD控制仿真圖

圖7 空間階段奇異攝動自適應(yīng)PD控制仿真圖

(18)

由圖6和圖7可知，基于奇異攝動自適應(yīng)PD控制器控制精度低，不能很好地抑制抖動。對比圖4、圖5和圖6、圖7可知，自抗擾控制有效地抑制了柔性關(guān)節(jié)帶來的抖動，且能實現(xiàn)較高精度的軌跡跟蹤。

6 結(jié) 論

本文針對地面調(diào)試和空間漂浮兩階段柔性關(guān)節(jié)空間機械臂末端軌跡跟蹤問題，設(shè)計了基于奇異攝動的自抗擾控制器。利用李亞普諾夫方法證明了控制系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性，并進行了仿真研究。仿真結(jié)果表明，控制器實現(xiàn)了對機械臂的高精度跟蹤控制，且有效抑制了關(guān)節(jié)柔性帶來的抖動，分析了重力變化對系統(tǒng)控制帶來的影響。