相容性單木生物量模型估計方法的比較*
——以青岡櫟為例

劉秀紅 姜春前 徐 睿 何 瀟 齊夢娟

(1. 中國林業(yè)科學研究院林業(yè)研究所 國家林業(yè)和草原局林木培育重點實驗室 北京 100091； 2. 中國林業(yè)科學研究院資源信息研究所 北京 100091)

在林木及森林生物量估算中，單木生物量模型是一種高精度高效的方法。其不僅可以準確評價林分現(xiàn)實生長，也可以預估未來林分生長，有助于定量研究林木生長過程，可為經(jīng)營措施的制定及實施提供依據(jù)(Patriciaetal.， 2008； 彭娓等， 2018； 王維楓等， 2008)。

目前，生物量模型估測法是計算生物量比較常用的方法，它是利用林分易測因子如胸徑、樹高、冠長、冠幅等來推算難以測定的林分生物量(彭小勇等， 2007； 黃賢松等， 2011)。此外，異速生長關(guān)系W=aXb(W為因變量，X為自變量，a、b為待估參數(shù))經(jīng)常被用于生物量模型擬合(韓文軒等， 2008； 張宇等， 2016； 楊憲龍等， 2016； 蘇瑞蘭， 2017； 劉坤等， 2017)。這類簡單的異速生長方程只需要基本的森林調(diào)查數(shù)據(jù)，就可以估算出生物量，預測精度較高(Bietal.， 2010； Castedodoradoetal.， 2012； Gonzálezetal.， 2013； Paréetal.， 2013)。在建立生物量模型時，如果各組分生物量模型是獨立擬合的，則會存在模型之間不相容的問題，即分項生物量預測值之和不等于總生物量的預測值。為解決此問題，許多研究者(Tangetal.， 2001； Parresoletal.， 2001； Bietal.， 2004； 曾偉生等， 2011； 曾偉生， 2012)提出了聯(lián)立方程組的方法，并使用不同的結(jié)構(gòu)形式建立相容性生物量模型(Tangetal.， 2001； Bietal.， 2004； Dongetal.， 2015)。為保證各分項生物量模型估計結(jié)果的相容性，目前國內(nèi)外有多種形式的相容性生物量模型(Merinoetal.， 2006； 曾偉生， 2011； 曾偉生等， 2011a; 2011b; 2011c； Lietal.， 2013； Dongetal.， 2015； 董利虎等， 2015a； 2015b； 2016； 彭娓等， 2016)，在模型構(gòu)建方法上，目前除了比例總量直接控制法，代數(shù)和控制法也被更多研究者使用，如劉薇祎等(2018)利用比例總量直接控制及代數(shù)和控制2種方案建立不同地域的馬尾松(Pinusmassoniana)相容性生物量模型； 馬克西等(2018)利用比例控制和代數(shù)和控制建立了新疆云杉(Piceaspp.)一體化立木生物量模型。符利勇等(2014)比較了常見的3種方法： 非線性似然無關(guān)回歸方法(Parresol， 2001； Bietal.， 2004)、比例平差法(唐守正等， 2000)和線性或非線性聯(lián)合估計方法(駱期邦等， 1999)，發(fā)現(xiàn)比例總量直接控制生物量模型的預測精度最高。

生物量模型的參數(shù)估計算法常使用最小二乘法(李?？?， 2012； 黃興召等,2017； 鄭冬梅等,2018)，而最小二乘法又分為普通最小二乘法(OLS)、二階最小二乘法(2SLS)和三階最小二乘法(3SLS)。OLS在單個方程參數(shù)的估計中應(yīng)用廣泛，但用OLS單獨去估計每個方程的參數(shù)而不考慮方程組中的其他方程時，勢必忽略方程組間的相關(guān)關(guān)系，用此算法估計的參數(shù)有偏，而且是非一致的(杜沔等， 2014； 周海川， 2017)。2SLS和3SLS均適用于恰好識別以及過度識別的結(jié)構(gòu)方程。由于聯(lián)立方程模型中每個隨機方程之間往往存在某種相關(guān)性，表現(xiàn)在不同方程的隨機誤差項之間，因此，如果采用2SLS估計方法分析將忽視這種相關(guān)性，造成信息損失。3SLS屬于系統(tǒng)估計方法，該方法考慮了模型系統(tǒng)中不同結(jié)構(gòu)方程隨機誤差項之間的相關(guān)性，可同時估計聯(lián)立方程中的所有參數(shù)，比2SLS逐個估計每個方程更為有效(李樹生， 2008； 周海川， 2017)。鑒于生物量模型構(gòu)建方法不同會影響模型參數(shù)及評價指標(劉薇祎等， 2018； 馬克西等， 2018)，且參數(shù)估計算法不同也會使模型參數(shù)及評價指標存在差異(Ritchieetal.， 2008)，目前還缺少有關(guān)方法的比較。

為此，本研究基于25株青岡櫟(Cyclobalanopsisglauca)的地上生物量實測數(shù)據(jù)，分別使用OLS、2SLS及3SLS作為模型參數(shù)估計算法，建立比例總量直接控制、代數(shù)和控制2種結(jié)構(gòu)形式的相容性生物量模型，共6種方案，做對比評價，以期選擇出最好的生物量模型構(gòu)建方法及參數(shù)估計算法，為生物量的模型計算和研究提供技術(shù)支撐。

1 研究區(qū)概況

采樣地點為湖南慈利縣二坊坪天心閣林場(111°07′—111°15′E，29°12′—29°16′N)，該區(qū)屬中亞熱帶季風濕潤氣候，土壤以黃紅壤為主，土壤有機質(zhì)層大約厚20 cm，土層較薄，巖石以變質(zhì)頁巖、砂頁巖為主。林場內(nèi)物種資源豐富，現(xiàn)有木本植物667種，屬87科215屬。

天心閣林場前身為村集體林地，由于林農(nóng)經(jīng)營管理較粗放，導致林分質(zhì)量不高，但在整個林區(qū)沒有開礦、毀林開墾和大型放牧等破壞森林活動。在1988年建林場后，通過封山育林的方式，使退化森林逐漸恢復成青岡櫟次生林，林分郁閉度高。

2 研究方法

2.1 樣地設(shè)置與調(diào)查 參照《生態(tài)系統(tǒng)固碳觀測與調(diào)查技術(shù)規(guī)范》， 2018年5—6月在天心閣林場選取立地條件基本一致的林分，在同一坡向、坡位，利用羅盤儀分別建立9個1 000的青岡櫟天然次生林樣地。對樣地內(nèi)胸徑≥5 cm的喬木每木檢尺和掛牌，記錄種名、胸徑和樹高，并計數(shù)每個樹種在不同樣地的個體數(shù)量。

2.2 解析木伐取與分析 按胸徑劃分為6、8、10、12、14、16和18 cm共7個徑階，每徑階選取2～5株標準木伐倒，共25株樣木。采用單株伐倒法取樣，分別稱量樹干、樹枝和樹葉的鮮質(zhì)量，由于研究樣地分布于黃石水庫，為避免破壞森林對水土保持的維護能力，未對樣地內(nèi)的樣木進行挖根。同時截取基部圓盤讀取年齡。

分別取樹干、樹枝、樹葉150 g鮮樣帶回實驗室，于85 ℃烘箱內(nèi)烘至恒質(zhì)量，稱干質(zhì)量，然后計算各組分干質(zhì)量(生物量)。

生物量建模樣本信息見表2。

表2 建模樣本統(tǒng)計信息Tab.2 Information statistics of modeling samples

2) 生物量模型的建立 (1)傳統(tǒng)獨立模型 各組分實際觀測數(shù)據(jù)直接擬合各項生物量的參數(shù)，即各組分之間生物量的估計都是獨立進行的。形式如下：

Wi=fi(xi)+εi, (i=1,…,4)，

即為：Wi=aDb+εi,(i=1,…,4)。

式中：Wi為單株各組分生物量，fi(xi)為各組分獨立回歸模型；xi為模型自變量；ε1～ε4為各項隨機誤差。

(2)比例總量直接控制模型 該模型可以直接計算出地上部分的生物量模型，再由地上部分直接平差分配給樹干、樹枝、樹葉。對各組分進行聯(lián)合建模，模型中參數(shù)通過聯(lián)立方程組法求解得到。形式如下：

W1=f1(x)+ε1；

式中：W1，W2，W3和W4分別為單株地上、樹干、樹枝和樹葉的生物量(kg)，f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)分別為地上、樹干、樹枝和樹葉的生物量模型；x為自變量。

化簡并代入aDb后，方程組為：

W1=a0Da1+ε1

式中：a0、a1、b0、b1、c0、c1為模型參數(shù)。

3)代數(shù)和控制模型 該模型是計算出樹干、樹枝、樹葉部分的模型后，3部分模型相加得到地上部分生物量模型，即各組分生物量與地上部分生物量聯(lián)立成方程組，各組分的回歸方程包含自身的自變量，而地上部分的生物量是所有自變量的函數(shù)之和，以此來保證各組分之和等于總量，模型形式如下：

W1=f2(x)+f3(x)+f4(x)+ε1；

W2=f2(x)+ε2；

W3=f3(x)+ε3；

W4=f4(x)+ε4。

代入aDb后模型形式如下：

W1=a2Db2+a3Db3+a4Db4+ε1；

W2=a2Db2+ε2；

W3=a3Db3+ε3；

W4=a4Db4+ε4。

式中：a2、b2、a3、b3、a4、b4為模型參數(shù)。

2.4 生物量模型估計算法 1)普通最小二乘法OLS 所建立的回歸模型使所有觀察值的殘差平方和達到最小的一種估計算法。

2)二階段最小二乘法2SLS 首先在OLS估計下產(chǎn)生一個工具變量，之后通過工具變量法得出一致估計的結(jié)構(gòu)參數(shù)。2SLS使用了模型中的一部分信息，忽視了模型結(jié)構(gòu)對其他方程參數(shù)值所施加的全部約束條件(李建明等， 2011)。

3)三階段最小二乘法3SLS 應(yīng)用2SLS的估計誤差構(gòu)造模型隨機擾動項協(xié)方差矩陣的統(tǒng)計量，從而對整個模型進行廣義最小二乘估計。3SLS是聯(lián)立方程模型的一種完全信息估計方法，利用所有可用的信息，同時估計模型中的所有方程。在一定條件下比兩階段最小二乘估計具有更好的漸近有效性(張仲禮等， 2008)。

2.6 生物量模型評價 采用6項指標評價生物量模型，分別為確定系數(shù)(R2)、估計值的標準誤(SEE)、總相對誤差(TRE)、平均系統(tǒng)誤差(ASE)、平均估計誤差(MPE)和平均百分標準誤差(MPSE)(曾偉生等,2011)：

普通最小二乘法(OLS)、二階最小二乘法(2SLS)以及三階最小二乘法(3SLS)估計算法均在R軟件systemfit包中實現(xiàn)，對上述2種相容性生物量模型進行非線性聯(lián)合估計，即nlsystemfit，加權(quán)回歸擬合參數(shù)，計算6項評價指標。

關(guān)于樣本數(shù)據(jù)是否需要劃分為建模數(shù)據(jù)和檢驗數(shù)據(jù)，仍是個有爭議的問題(Kozaketal.， 2003； 曾偉生等， 2011c)。Beak(1984)和Shao(1993)認為僅使用建模數(shù)據(jù)所計算出的評價指標來評價模型的預估能力無法使人信服； 曹磊等(2018)和曾偉生等(1999)也認為單獨采集一套檢驗樣本進行適用性檢驗的做法不可取，應(yīng)該利用全部樣本來建立模型。本研究為了充分利用樣本信息，不區(qū)分建模樣本和檢驗樣本，即將建模樣本全部作為檢驗樣本使用，用上述評價指標對模型進行評價。

3 結(jié)果與分析

3.1 青岡櫟獨立模型參數(shù)估計以及模型評價 地上以及各組分生物量獨立生物量模型的參數(shù)及評價指標見表2。除樹葉外，其余組分的確定系數(shù)都在0.92以上，以地上部分生物量模型的擬合效果最好，R2達0.97； 分項生物量模型中，樹干生物量模型擬合效果最好，R2達0.95； 樹枝生物量模型其次，R2達0.92； 樹葉生物量模型最差，但R2也達0.84以上。擬合精度表現(xiàn)為地上>樹干>樹枝>樹葉。

3.2 比例總量直接控制相容性模型 基于不同參數(shù)估計算法所得比例總量直接控制相容性模型的參數(shù)見表3。使用OLS作為估計算法時，與獨立生物量模型地上組分計算的參數(shù)較為一致，而與2SLS和3SLS估計算法計算的模型參數(shù)有差別。另外，除b0和b1外，使用2SLS和3SLS估計算法所得的生物量模型參數(shù)基本一致，兩者與OLS估計算法所得的估計參數(shù)差別較大。

表2 獨立模型擬合結(jié)果以及評價指標Tab.2 Fitting results and evaluation indexes of independent model

表3 比例總量直接控制模型擬合結(jié)果Tab.3 Fitting results of controlling directly by proportion functions

基于不同參數(shù)估計算法所得比例總量直接控制相容性模型的評價指標見表4—6，在3種不同參數(shù)估計算法下，各組分評價指標略有差異。對于干、枝、葉以及地上組分來說，OLS估計算法下TRE明顯偏小一些，甚至接近于0，除此之外，OLS、2SLS和3SLS估計算法下的其他評價指標相差不大。在同一參數(shù)估計算法下，擬合精度都表現(xiàn)為地上>樹干>樹枝>樹葉，這與獨立模型評價下的模型精度相一致。綜合而言，對于比例總量直接控制相容性模型，OLS參數(shù)估計算法略優(yōu)于2SLS和3SLS。

3.3 代數(shù)和控制相容性模型 基于不同參數(shù)估計算法所得代數(shù)和控制相容性生物量模型的參數(shù)見表7。使用2SLS和3SLS估計方法所得的生物量模型參數(shù)基本一致，兩者與OLS估計算法所得的估計參數(shù)差別較大。在OLS估計算法下，a2、b2與獨立模型樹干組分的預估參數(shù)更接近，a3、b3、a4、b4與獨立模型樹枝、樹葉組分的預估參數(shù)差別也不大，獨立模型估計參數(shù)與2SLS、3SLS估計算法下的估計參數(shù)差別較大。

基于不同參數(shù)估計算法所得的代數(shù)和控制相容性模型的評價指標見表4—6。2SLS和3SLS估計算法下的評價指標基本一致。對于樹干、樹葉和地上組分來說，使用OLS作為估計算法，其R2偏大且ASE、MPE、MPSE、SEE和TRE偏小，明顯優(yōu)于2SLS和3SLS估計算法。對于樹枝來說，使用OLS估計算法所得的R2更大一些，且ASE、MPE、SEE和TRE偏小，只有MPSE略大于2SLS和3SLS，預估效果也要優(yōu)于2SLS和3SLS估計算法。綜合而言，對于代數(shù)和控制相容性模型，使用OLS估計算法要優(yōu)于2SLS和3SLS。

3.4 最優(yōu)模型構(gòu)建方法的選擇 表4—6分別為比例總量直接控制法、代數(shù)和控制法在不同估計算法下的評價指標。以估計算法OLS為例，無論是樹干、樹枝、樹葉還是地上組分，除比例總量直接控制下的總相對誤差TRE較小外，2種估計方法下的其余評價指標十分接近，沒有明顯的差異?？梢?，OLS估計算法下，2種模型構(gòu)建方法擬合效果相差不大。同理，在2SLS與3SLS算法下，比例總量直接控制的確定系數(shù)R2略大，ASE略小，但其TRE也要偏大，另外3項評價指標沒有明顯差異。綜合來說，2種模型構(gòu)建方法擬合效果也相差不大。

表4 OLS估計算法下的評價指標Tab.4 Evaluation indexes of OLS

表5 2SLS估計算法下的評價指標Tab.5 Evaluation indexes of 2SLS

表6 3SLS估計算法下的評價指標Tab.6 Evaluation indexes of 3SLS

表7 代數(shù)和控制擬合結(jié)果Tab.7 Fitting results of controlling by the sum of equations

4 討論

本研究以青岡櫟為對象，分別以O(shè)LS、2SLS和3SLS為參數(shù)估計算法，使用比例總量直接控制和代數(shù)和控制2種結(jié)構(gòu)形式的相容性生物量模型，建立了地上、樹干、樹枝和樹葉4個組分的相容性生物量方程。比例總量直接控制和代數(shù)和控制相容性模型皆是非線性聯(lián)合(唐守正等， 2000)估計的結(jié)果，是在保持各組分之間兼容的前提下(曹磊等， 2018； 駱期邦等， 1999)估計參數(shù)。對地上生物量模型而言，比例總量直接控制生物量模型的參數(shù)與獨立生物量模型基本一致； 對各組分生物量模型而言，代數(shù)和控制生物量模型的參數(shù)與獨立生物量模型基本一致。這些結(jié)果與以往研究一致(邢海濤等， 2017； 陳振雄等， 2018)。

在不同參數(shù)估計算法下，參數(shù)估計以及評價指標有較大差異(李樹生， 2008)。本研究表明，無論是比例總量直接控制生物量模型還是代數(shù)和控制生物量模型，在2SLS和3SLS估計算法下的參數(shù)與評價指標差異性較小甚至接近一致，而與OLS的估計算法所得的參數(shù)與評價指標有較大差異。這是因為OLS僅僅對模型中的每一個解釋變量與工具變量做回歸，未利用單方程外的信息(杜沔等， 2014； 周海川， 2017)，而2SLS分2個階段進行，首先解釋變量對工具變量進行回歸，得到解釋變量的擬合值，之后得到的解釋變量擬合值對被解釋變量進行回歸，即為2SLS的回歸結(jié)果，2SLS只使用了模型的一部分信息(范德成， 2000； 趙娜等， 2018)。3SLS使用了模型的全部信息(劉盛， 2007； Hasenaueretal.， 1998)，是以2階段估計誤差構(gòu)造擾動項方差的統(tǒng)計量，進行廣義最小二乘估計，是2SLS的邏輯推廣。本研究使用的2種生物量模型自變量少，且僅有4個方程聯(lián)立，使用2SLS和3SLS估計算法時，比例總量直接控制和代數(shù)和控制估計的結(jié)果較為一致； 2SLS和3SLS每個結(jié)構(gòu)方程往往是過度識別的，這就要求大樣本容量，但是在單木生物量模型研究中，并沒有理論意義上的“大樣本”，對小樣本估計特性進行比較更有實際意義。從理論上講，在小樣本情況下，各種估計算法的估計量都是有偏的。在生物量模型研究中，OLS作為參數(shù)估計算法已經(jīng)獲得了很好的估計效果，過多考慮模型信息反而會降低模型精度。同時3種參數(shù)估計算法在給予合理初始值時，擬合難度表現(xiàn)為3SLS>2SLS>OLS，因此OLS作為參數(shù)估計算法是最優(yōu)選擇。

比例總量直接控制生物量模型以及代數(shù)和控制生物量模型都滿足了林分總生物量等于各分項生物量之和這一邏輯關(guān)系(劉薇祎等， 2018； 馬克西等， 2018)，且均符合地上總生物量預估效果最好、樹干和樹枝生物量次之、樹葉生物量預估效果最差的結(jié)論。在同一參數(shù)估計算法下，2種模型構(gòu)建方法對各組分生物量的擬合效果基本相當。比例總量直接控制方法首先計算出的是整體生物量，在全株或者地上生物量計算中更為方便快捷，即總量模型簡單； 而代數(shù)和控制生物量模型首先計算樹干、樹枝、樹葉等組分生物量，然后相加得到地上或者全株生物量。在林業(yè)實踐中，多以獲得全株或地上生物量為目標(董玉峰等， 2015)，因此選擇比例總量直接控制生物量模型更有實踐意義。

5 結(jié)論

在OLS、2SLS和3SLS這3種參數(shù)估計算法中，生物量模型的估計參數(shù)及評價指標有明顯差異，綜合考慮模型精度、小樣本特性及數(shù)據(jù)擬合難度，認為OLS是生物量模型最優(yōu)的參數(shù)估計算法。比例總量直接控制和代數(shù)和控制這2種結(jié)構(gòu)的生物量模型均可很好地解決獨立生物量模型中不相容的問題，兩者的擬合精度都較高，但比例總量直接控制相容性模型在獲取整株生物量時計算簡便。在林業(yè)生產(chǎn)中，建議使用OLS參數(shù)估計算法下的比例總量直接控制生物量模型來計算各組分生物量。