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    數(shù)學實驗教學要重視理論分析

    2023-06-20 05:41:04李榮
    江蘇教育 2023年9期
    關鍵詞:數(shù)學實驗

    【摘 要】數(shù)學實驗是學生學習數(shù)學的常用方式。片面追求結果的數(shù)學實驗往往會對數(shù)學結論形成過程中的科學性有所忽視,如教學蘇教版四上《怎樣滾得遠》一課,不少教師在實驗后會給出“45°時滾得最遠”這一結論。在數(shù)學實驗教學中,教師不能局限于教學經(jīng)驗的簡單積累,而要重視理論分析,從數(shù)學的角度理解數(shù)學實驗,引領學生逐步學會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界。

    【關鍵詞】數(shù)學實驗;怎樣滾得遠;數(shù)學精神;推理探究;抽象推理

    【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009(2023)18-0048-04

    【作者簡介】李榮,江蘇省江陰市璜塘實驗小學(江蘇江陰,214400)教師,一級教師。

    數(shù)學實驗是學生學習數(shù)學的常用方式。用于開展實驗的工具、環(huán)境以及操作過程中出現(xiàn)的誤差等都會對實驗結果產(chǎn)生影響,因而通過實驗獲得的結論在沒有理論依據(jù)的情況下只能作為猜想存在。蘇教版四上《怎樣滾得遠》一課的教學,旨在引導學生觀察生活現(xiàn)象,用數(shù)學實驗的方式探索“斜面與地面成什么角度時,物體滾得遠一些”這一數(shù)學問題。通過課堂觀察和文獻研究,筆者發(fā)現(xiàn),不少教師在教學過程中都會著力于“滾得最遠”角度的探索,似乎不給學生一個明確的答案,本課中所有的實驗探究都會變得沒有意義。于是,“物體從同一斜坡的相同高度(簡稱‘同等條件)滾落,斜坡與地面的夾角為45°時滾得最遠”這一結論便成了一種共識。然而,斜坡與地面的夾角為45°時,物體真的滾得最遠嗎?針對這個問題,筆者展開了如下思考與探究。

    一、究竟是不是“45度時滾得最遠”?

    1.學理:理論性思辨

    如果“45°時滾得最遠”的結論合理存在,那么根據(jù)物體滾動距離繪制的折線圖圖像將會是一條拋物線。這種可能只需簡單分析就可擊破:若斜坡材質較粗糙,坡度很小的時候,如1°、2°時,物體很可能不會從斜坡上滾落;而坡度為89°、88°時,物體必定會滾落并產(chǎn)生滾動距離。上述分析說明:根據(jù)物體滾動距離繪制的折線圖圖像不是一條拋物線,也就意味著滾動距離所成的圖像左右兩邊是不對稱的。坡度為45°時,物體可能會滾得最遠,但也有可能此時物體滾出的距離并不是極值。

    2.建模:科學性分析

    為了進一步論證究竟是不是“45°時滾得最遠”,一位高中物理教師運用物理建模的方式(如圖1所示,假設坡面光滑,物體重量為0,只從力學的角度進行分析)研究得出:在理想狀態(tài)下,tanθ=[22],即θ≈35.3°時,物體滾得最遠。

    3.實證:客觀性探究

    理論與事實可能會存在一定偏差,為了尊重事實,我校數(shù)學研究團隊進行了多輪次的對比實驗:同材質同坡度進行同物體滾落實驗;不同材質同坡度進行同物體滾落實驗;同材質不同坡度進行不同物體滾落實驗……發(fā)現(xiàn):影響物體滾動距離的因素有很多;實驗會產(chǎn)生誤差,坡度為44°時物體滾動的距離很難與45°時作出準確的比較……其他學校的教師也對“怎樣滾得遠”做過實驗研究,得到的結果各不相同。例如,有教師實驗得出:當斜坡與底面呈40°角時物體滾得最遠。也有教師得出:當斜坡與底面夾角在40°~45°之間時,滾動距離最遠。

    綜上所述,“斜坡與地面的夾角為45°時物體滾得最遠”這一結論缺少理論依據(jù),也沒有足夠的事實支撐。

    二、“幾度時滾得最遠”的應然追尋

    1.求真:從“結果本位”到“學生本位”

    仔細研讀教材,可以發(fā)現(xiàn),《怎樣滾得遠》一課的教學目標是:使學生經(jīng)歷探索斜面與地面成怎樣的角度時物體滾得比較遠的活動過程,進一步體會在實驗中收集數(shù)據(jù),并對數(shù)據(jù)進行比較和分析,培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力,以及綜合運用所學知識解決問題的能力;使學生通過實踐活動,獲得一些數(shù)學活動經(jīng)驗,感悟數(shù)學與生活的廣泛聯(lián)系,體驗數(shù)學的應用價值;讓學生感受做實驗是研究事物的一種方法,培養(yǎng)實事求是的科學態(tài)度。重點是讓學生經(jīng)歷實驗活動過程,參與在實驗過程中所進行的角的測量、數(shù)據(jù)統(tǒng)計、平均數(shù)的計算等數(shù)學活動,而不是找到最終的結論。

    2.革故:從“結論至上”到“實驗至上”

    在《怎樣滾得遠》一課的教學中,教師應力避“結論至上”的追求,回歸數(shù)學實驗的本來價值,著力于讓學生感受到引入實驗的必要性,教給學生實驗的方法。如,怎樣測量與調整斜坡與地面的夾角、怎樣把物體放在斜坡的頂部使其自動滾落、怎樣測量物體的滾動距離、為什么要多次重復實驗后用算出的平均數(shù)來表示實驗的結果等。在學生小組合作進行實驗的過程中,要指導學生合理分工,明確職責,使每一位學生都有機會參與活動全過程;要對學生的活動進行必要的指導,及時發(fā)現(xiàn)并糾正學生出現(xiàn)的不規(guī)范操作;要注意引導學生在回顧反思中內化解決問題的策略與方法,增強數(shù)據(jù)分析觀念、實踐能力和創(chuàng)新意識。

    3.化人:從“定勢思維”到“數(shù)學精神”

    數(shù)學精神是數(shù)學教育的應然追求,數(shù)學教育應追求數(shù)學精神。受到思維定勢影響,一些教師試圖努力尋找能使物體滾得最遠的角度,不少學生也期望得到一個確切的結果。但是,教學活動尤其是實驗活動是復雜的,實驗對象、實驗內容、實驗環(huán)境等都是多變的,不可能被完全納入任一固定的模式,因而需要教師辯證地理解理論分析與教學實踐之間的關系。影響實驗結果的因素有很多,實驗只能說給出了一個相對準確的范圍。教師也許可以引導學生得出如下結論:“在目前環(huán)境下,在已有的實驗角度中,斜坡與地面的夾角為45°時滾得比較遠?!?/p>

    三、實驗結果與數(shù)學結論的關系處理

    通過對《怎樣滾得遠》中的實驗結果與數(shù)學結論進行反思,筆者認為,在用實驗的方式探索學習的過程中,實踐+歸納的科學態(tài)度、實踐+演繹的理性思考都有助于實驗結果更好地向數(shù)學結論演化。

    1.實踐+歸納:開放式推理探究

    小學數(shù)學教材中很多數(shù)學方法、結論、規(guī)律等都可以通過不完全歸納獲得。筆者在教學本課時,學生按要求完成30°、45°、60°三個坡度的滾物實驗后,通過分析得到的數(shù)據(jù),一致得出“同等條件下,這三個角度中,斜坡與地面的夾角為45°時滾得最遠”的結論。與此同時,學生憑借以往的學習經(jīng)驗,心中自然會產(chǎn)生“這個結論是否具有普適性”的猜測。多數(shù)學生認為還需要進一步實驗驗證,少數(shù)學生則認為無需進一步驗證。于是,筆者引導學生展開如下探究。

    師:是不是所有角度中都是45°時滾得最遠呢?

    生1:是的。

    生2:不一定。

    師:為什么說不一定?

    生2:因為我們只對三個角度進行了實驗,這三個角度無法代表所有的情況。

    生3:我也覺得不一定,還需要繼續(xù)實驗來證明。

    師:說得真好!同學們都是具有科學精神的孩子!我們是完成了一些實驗,也獲得了結論,但這個結論只代表有限范圍內的情況,這個結論可不一定具有一般性。按照大家的意思,我們得繼續(xù)實驗驗證,你們接下來準備對哪些角度進行實驗呢?

    生1:我覺得還得對20°、70°這些比30°更小或比60°更大的角度進行實驗,看看夾角為45°這個中間值時物體是不是真的滾得最遠。

    生2:我覺得要對35°、40°、50°、55°這些角度進行實驗。45°在這些角度的中間,與它們離得更近,更有利于對比。

    師:大家說得都很有道理!你們是想證明,角度從0°→45°時,滾動距離是一個逐漸增加的過程;45°→90°時,滾動距離是一個逐漸減少的過程。是這樣的意思嗎?

    生:是的。

    師:老師覺得,我們最應該證明的是44°和46°時滾動的距離都比45°時小,其余角度的驗證則更多是“錦上添花”。你們認為呢?

    生:是的,我們哪怕證實了40°、50°時沒有45°時滾得遠,也沒法證明45°滾得最遠。萬一44°時滾得最遠呢?

    要證明同等條件下45°時滾得最遠,44°和46°是必須實驗驗證的兩個角度,再配以其他一些角度的佐證,才能從極限思想的角度將其歸納為數(shù)學結論。事實證明,44°和46°這兩個角度是沒法從實驗的角度佐證45°是滾得最遠的。教師提供足夠豐富且具有代表性的樣本,能在不斷豐富學生學習體驗的同時,讓他們感受到獲得結論的過程的科學性。

    2.實踐+演繹:內聚型抽象推理

    每一個數(shù)學結論的產(chǎn)生都離不開數(shù)學公理的演繹。正因如此,才有一代代數(shù)學家前赴后繼地去試圖揭開“哥德巴赫猜想”的神秘面紗,因為哥德巴赫的發(fā)現(xiàn)在被證明之前只能稱為“猜想”。教師必須明白這一點,這是實驗結果轉化為數(shù)學結論的必經(jīng)之路。

    在實驗過程中,教師不斷提醒學生要注意實驗的規(guī)范性和科學性,不要受猜測的影響,不要為了證明而證明。

    師:同學們,你們的實驗有結果了嗎?

    生:44°和46°太難做了!

    師:什么意思?

    生1:坡度為44°時滾出的距離有時比45°時滾得近,有時比45°時滾得遠,哪怕算它們的平均數(shù),好像也蠻難下結論的。

    生2:46°也是這樣。

    師:孩子們,通過這一輪實驗,你們有什么想說的嗎?

    生1:我想說,45°時物體滾得遠是與30°、60°等角度比較得來的結果,但不能說明45°時是滾得最遠的。

    生2:我覺得,因為操作過程中會產(chǎn)生誤差,的確很難比較。但我還是認為45°時是滾得最遠的。

    師:孩子們,科學家通過構建模型的方法,對這個問題進行了研究……(學生對科學家的研究結果表示無法理解)

    師:科學家的研究結果是在理想狀態(tài)下獲得的,與我們的實際操作有一定偏差。但科學家的研究結果也告訴我們,坡度為多少時物體滾得最遠受到各方面因素的影響,我們千萬不能草率、武斷地說“45°時是滾得最遠的”。在“怎樣滾得遠”的實驗研究過程中,大家思考能力、實踐能力的提高遠比獲得一個確定的結論更有意義。在實際生活中,設計斜坡不能只考慮“滾得遠”,還要考慮其他因素,如安全、美觀、材料的多少等。

    學生運用不完全歸納法進行合情推理獲得結論的經(jīng)驗比較豐富,他們會根據(jù)需求去設計接下來的實驗。然而,這次實驗要驗證的猜測與以前都不同,以前的猜測往往都是單向變化,此次要驗證的是雙向變化的極值問題,極值在什么角度出現(xiàn)都是一個難以確認的問題,選擇具有代表性的角度開展實驗非常重要。只有讓學生真正認識到“45°時滾得最遠”這個猜測本身就存在問題,才能使“45°時滾得最遠”的結論不再成為他們的“信仰”,從而讓他們意識到本課學習的真正意義。

    數(shù)學家高斯說過:“許多定理都是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的,證明只是補行的手續(xù)。”這句話既強調歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理的有效手段,也說明證明的必要性。從《怎樣滾得遠》一課教學所產(chǎn)生的影響來看,片面追求結果的數(shù)學實驗往往會對數(shù)學結論形成過程中的科學性有所忽視??傊跀?shù)學實驗教學中,教師要重視理論分析,引導學生從數(shù)學的角度理解數(shù)學實驗,從而促進他們逐步學會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界。

    【參考文獻】

    [1]吳少東.數(shù)學實驗:從操作走向理解——以《怎樣滾得遠》一課為例[J].教育研究與評論:小學教育教學,2018(7):77-78.

    [2]張緬.數(shù)學素養(yǎng)在實驗中自然生長——“怎樣滾得遠”教學思考與實踐[J].小學數(shù)學教師,2020(6):21-25.

    [3]戴美蘭.在操作中豐富體驗——“怎樣滾得遠”二度教學探索[J].考試周刊,2015(2):70.

    [4]冒金彬.“怎樣滾得遠”的實踐與思考[J].教育研究與評論:小學教育教學,2010(12):85.

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