揀分條件，循路而行

姚擎宇

【摘 要】在解決數(shù)學(xué)問題時，由于題設(shè)條件的多樣性、隱蔽性和復(fù)雜性，往往使得許多同學(xué)百思不解，經(jīng)常找不到順利解答的切入點，亦或是缺乏思維的連貫性，在練習(xí)或考試中寸步難行。本文通過對一道中考復(fù)習(xí)題的解答分析，談?wù)勱P(guān)于一類解析幾何問題，在處理過程中形成的經(jīng)驗性運(yùn)用。

【關(guān)鍵詞】長度;坐標(biāo);解析式;幾何模型;切入點

一、原題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)（0，4），點坐標(biāo)（-3，0），在直線y=x+6上找一點 P，使得△ABP構(gòu)成直角三角形。求出所有滿足要求的點P的坐標(biāo)。

二、整體分析

本題源自中考專題復(fù)習(xí)，是典型的解析幾何問題，關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查。解決問題經(jīng)歷觀察、運(yùn)算、建模等數(shù)學(xué)活動，可以抽象出一次函數(shù)、直角三角形、外接圓等基本幾何圖形，較好的考查了學(xué)生的構(gòu)圖能力。在問題解決中能引導(dǎo)學(xué)生在基本的圖形中獲取信息，融合函數(shù)、方程、相似三角形等知識，經(jīng)歷計算、推理等探究過程，從而考查了學(xué)生的幾何邏輯推理能力和代數(shù)建模能力。

作為初中數(shù)學(xué)代數(shù)部分中不可或缺的組成部分，解析幾何問題占了相當(dāng)一部分比重。而學(xué)生之所以面對這類問題，常常感到無從下手，其根本原因在于不能對題設(shè)的條件進(jìn)行合理歸類分揀，了解它們在解題過程中不可替代的作用。

從本質(zhì)上說，解析幾何問題的條件設(shè)置必然包括四個基本要素，分別為：長度、坐標(biāo)、解析式、幾何模型。其中，長度和坐標(biāo)之間可以相互轉(zhuǎn)化;坐標(biāo)和解析式之間具有迭代關(guān)系;幾何模型又需要依靠長度關(guān)系去體現(xiàn)?？梢园l(fā)現(xiàn)，這四個基本要素互相依托，共同維持了整個問題的內(nèi)在聯(lián)系。

到此為止，我們已經(jīng)把整個問題的各種情況、各種解答方法逐一整理了一遍。不難發(fā)現(xiàn)，對于解析幾何問題，首先需要清楚地了解它們的公有條件，亦即四個基本要素：長度、坐標(biāo)、解析式+幾何模型。一般說來，我們往往有以下兩種思路：（如圖二）

方法一：用幾何模型設(shè)長度→用長度寫關(guān)鍵點坐標(biāo)→將坐標(biāo)代入解析式。

方法二：用解析式設(shè)點坐標(biāo)→用坐標(biāo)寫模型內(nèi)長度→用長度套幾何模型。

從兩種思考方向的互相比較上來說，方法一在解題思路的形成、方程的建立與解答上總是優(yōu)于方法二;而方法二對于問題討論的多種可能解的不重不漏性優(yōu)于方法一。

在具體解答的過程中，需要找準(zhǔn)合適的切入點，才能找到合適的解題捷徑。大多數(shù)情況下，兩種思考方向都能順利打通從條件到結(jié)論之間的重重阻隔，但由于題設(shè)的更改、數(shù)據(jù)的限定等等因素，有時候也可能只有一種思路是可行的。這就需要我們反復(fù)思考、對比論證、發(fā)現(xiàn)問題、有的放矢，才能真正達(dá)到融會貫通，成竹在胸。

三、結(jié)束語

對于數(shù)學(xué)學(xué)科的解題教學(xué)，萬不可滿足于淺嘗輒止，多思才能多解。只有知識廣而深、技巧強(qiáng)而新、方法多而活，在遇到具體問題時才能做到隨機(jī)應(yīng)變、快速求解。同時，保持對題目解答的回顧思考、對比發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律、形成經(jīng)驗，感受了解數(shù)學(xué)解題萬變不離其宗的本質(zhì)內(nèi)涵，必將對個人的成長大有裨益。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京師范大學(xué)出版集團(tuán)，2011

[2]郭思樂，喻偉.數(shù)學(xué)思維教育論[M].上海教育出版社，2007

（浙江省湖州市弁南中學(xué)）