非平穩(wěn)需求面向訂單裝配系統(tǒng)庫(kù)存穩(wěn)定性研究

金 鑫,王正肖,葉建芳,潘曉弘

(1.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310027；2.浙江大學(xué) 華南工業(yè)技術(shù)研究院，廣東 廣州 510700)

0 引言

面向訂單裝配(Assemble to Order, ATO)是一種按照訂單組織生產(chǎn)的生產(chǎn)模式。自上世紀(jì)80年代以來，對(duì)ATO生產(chǎn)系統(tǒng)的庫(kù)存控制問題的研究有很多，其中庫(kù)存補(bǔ)貨策略(inventory replenishment policy)和庫(kù)存分配策略(inventory allocation policy)是兩個(gè)比較重要的研究問題。庫(kù)存控制模型包括單周期模型、離散多周期模型和連續(xù)時(shí)間模型3種類型[1-2]。

本文研究的庫(kù)存模型屬于連續(xù)時(shí)間模型。在3種模型中，連續(xù)時(shí)間模型是最符合現(xiàn)實(shí)情形的，也是求解最困難的。對(duì)連續(xù)時(shí)間模型下ATO系統(tǒng)的庫(kù)存控制問題有兩種研究思路：①直接求解其最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略和最優(yōu)庫(kù)存分配策略；②在給定的庫(kù)存補(bǔ)貨策略和庫(kù)存分配策略組合下，求解最優(yōu)參數(shù)和系統(tǒng)性能。

與本文研究相關(guān)的文獻(xiàn)很多，這里僅簡(jiǎn)單介紹一些重要文獻(xiàn)。Chen等[3]的研究表明Rosling[4]的結(jié)論可以從離散多周期系統(tǒng)推廣到連續(xù)時(shí)間的情況下，即一個(gè)確定補(bǔ)貨提前期的組裝系統(tǒng)，在一些關(guān)于初始庫(kù)存的較弱的假設(shè)下，可以等價(jià)于一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)。根據(jù)Clark等[5]的經(jīng)典研究結(jié)論,串聯(lián)系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨策略是層級(jí)基準(zhǔn)庫(kù)存策略(echelon base-stock policy)。Ha[6]研究了一個(gè)具有多種需求類型和失銷的單產(chǎn)品M/M/1隊(duì)列。在最優(yōu)策略下，每一種產(chǎn)品類型都有一個(gè)定量配給的閾值，當(dāng)零部件現(xiàn)有庫(kù)存小于等于該閾值時(shí)，系統(tǒng)將拒絕該類型的產(chǎn)品需求。De Vericourt等[7]在產(chǎn)品缺貨的情況下研究了類似的問題，其最優(yōu)策略也具有類似的形式。Lu[8]結(jié)合樣本路徑分析(sample-path analysis)和線性規(guī)劃，給出了W型ATO系統(tǒng)產(chǎn)品成本對(duì)稱時(shí)的最優(yōu)策略形式以及產(chǎn)品成本不對(duì)稱時(shí)的漸進(jìn)最優(yōu)策略形式。Pang[9]研究了分配系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存控制問題，利用L-convexity的概念,給出了最優(yōu)庫(kù)存策略結(jié)構(gòu)的刻畫。Nadar[10]研究了無限時(shí)段的具有產(chǎn)品失銷(lost sales)的一般ATO系統(tǒng)，作者通過大量的仿真表明格相關(guān)(lattice是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，學(xué)界通常翻譯成“格”)的基準(zhǔn)庫(kù)存(lattice-dependent base-stock)策略和格相關(guān)的定量配給(lattice-dependent rationing)策略有可能是一般ATO系統(tǒng)的最優(yōu)庫(kù)存策略組合。Martin[11]將零部件補(bǔ)貨提前期相同的ATO系統(tǒng)的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)兩階段隨機(jī)規(guī)劃問題，第一個(gè)階段使用基準(zhǔn)庫(kù)存策略，第二個(gè)階段使用線性規(guī)劃來確定庫(kù)存分配，他們證明這樣的策略組合是漸進(jìn)最優(yōu)的。但斌等[12]研究了采用準(zhǔn)時(shí)制生產(chǎn)和(r，nQ)策略的混合補(bǔ)貨策略的ATO系統(tǒng)，表明了企業(yè)對(duì)何種類型的零部件采用準(zhǔn)時(shí)制生產(chǎn)補(bǔ)貨方式能夠降低供應(yīng)鏈庫(kù)存成本。

Song[13]對(duì)ATO庫(kù)存問題研究給出了3個(gè)關(guān)鍵性的結(jié)果：①提供了ATO系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間模型研究的基本框架；②證明了產(chǎn)品需求的時(shí)段滿足率可以轉(zhuǎn)化為即時(shí)滿足率；③表明了即時(shí)滿足率可以通過一系列的卷積迭代計(jì)算求得。Song[14]研究了相同模型下的產(chǎn)品缺貨問題，由于產(chǎn)品缺貨的精確計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，該文獻(xiàn)只給出了其上下界的表達(dá)式。Lu[15]用概率母函數(shù)法確定了在訂庫(kù)存聯(lián)合分布、產(chǎn)品滿足率以及缺貨分布等許多重要指標(biāo)的解析表達(dá)式。Lu[16]將上述方法推廣到了產(chǎn)品需求服從更新過程、采取(r，nQ)策略的ATO系統(tǒng)中，同時(shí)還研究了產(chǎn)品需求和補(bǔ)貨提前期的波動(dòng)性變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。Zhao等[17]研究了基準(zhǔn)庫(kù)存策略和先到先得(First Come First Served, FCFS)策略下，產(chǎn)品需求為獨(dú)立的齊次泊松過程、零部件補(bǔ)貨提前期為序貫隨機(jī)變量時(shí)，組裝系統(tǒng)的產(chǎn)品滿足率的精確表達(dá)式和一般ATO系統(tǒng)的一些重要性質(zhì)。

Hoe等[18]研究了產(chǎn)品需求服從齊次泊松過程、零部件補(bǔ)貨提前期是確定值的一般ATO系統(tǒng)的訂單滿足率的近似表達(dá)式。當(dāng)零部件生產(chǎn)設(shè)備的能力有約束時(shí)，Song等[19]給出了基準(zhǔn)庫(kù)存策略和FCFS策略下，產(chǎn)品需求為泊松過程、單個(gè)生產(chǎn)設(shè)備且生產(chǎn)時(shí)間服從指數(shù)分布時(shí)，一般ATO系統(tǒng)的產(chǎn)品需求滿足率的精確表達(dá)式。Cheung等[20]考慮了產(chǎn)品需求是多變量泊松過程時(shí)的情況，利用Jensen不等式給出了產(chǎn)品缺貨期望的一個(gè)近似表達(dá)式。

在現(xiàn)實(shí)中，由于某些外生變量的影響，產(chǎn)品需求的到來強(qiáng)度可能是時(shí)間的函數(shù)(在最常見的情況下，產(chǎn)品需求存在“淡季”和“旺季”)。比如，假設(shè)某實(shí)施ATO生產(chǎn)模式的企業(yè)的各產(chǎn)品需求呈現(xiàn)周期性波動(dòng)，且：①不同產(chǎn)品的需求波動(dòng)性大小不同；②不同產(chǎn)品的需求波動(dòng)周期性不同，有些產(chǎn)品的波動(dòng)周期是一個(gè)月，有些產(chǎn)品的波動(dòng)周期是一個(gè)季度等；③不同產(chǎn)品的需求波動(dòng)之間相關(guān)性不同，有些產(chǎn)品間的需求波動(dòng)是“正相關(guān)”的，有些產(chǎn)品的需求波動(dòng)是“負(fù)相關(guān)”的。而通用零部件的存在，使得上述波動(dòng)性在零部件層面產(chǎn)生了疊加，進(jìn)一步增加了庫(kù)存控制的復(fù)雜性。顯然，此時(shí)ATO系統(tǒng)的零部件庫(kù)存控制策略的最優(yōu)參數(shù)值與(復(fù)合)齊次泊松過程情況下會(huì)有很大不同。因此，需要研究產(chǎn)品的需求到來強(qiáng)度存在波動(dòng)時(shí)ATO系統(tǒng)的各種重要性能指標(biāo)的求解，以及需求到來強(qiáng)度的波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。本文通過將產(chǎn)品需求到來過程建模為帶時(shí)倚強(qiáng)度的泊松過程，對(duì)上述問題給出了部分解答。

1 模型的基本概念及基礎(chǔ)假設(shè)

(1)裝配物料清單結(jié)構(gòu)

(2)各項(xiàng)成本

在任何時(shí)刻，零部件i導(dǎo)致的庫(kù)存持有成本與其現(xiàn)有庫(kù)存(stock on hand)成正比，產(chǎn)品j導(dǎo)致的缺貨成本與其缺貨成正比。零部件i的單個(gè)現(xiàn)有庫(kù)存的單位時(shí)間庫(kù)存持有成本為hi，產(chǎn)品j的單個(gè)缺貨的單位時(shí)間缺貨成本為bj。

(3)庫(kù)存控制策略

ATO系統(tǒng)中的庫(kù)存控制策略包括庫(kù)存補(bǔ)貨策略和庫(kù)存分配策略。

在本文的證明部分中，采用基準(zhǔn)庫(kù)存策略(base stock policy)來管理零部件的庫(kù)存補(bǔ)貨，其中零部件i相應(yīng)的控制參數(shù)為si。當(dāng)零部件i的庫(kù)存位置(IP)小于si時(shí)，立即觸發(fā)一個(gè)對(duì)其的補(bǔ)貨，使得其庫(kù)存位置重新回到si。

庫(kù)存分配策略為“先到先得”(First Come First Served, FCFS)策略，即:①當(dāng)一個(gè)產(chǎn)品的需求到來時(shí)，若此時(shí)相應(yīng)零部件的庫(kù)存水平(IL)大于等于該產(chǎn)品對(duì)其所需個(gè)數(shù)，則該需求被立即滿足，否則就進(jìn)入缺貨隊(duì)列中等待；②當(dāng)零部件的補(bǔ)貨到來時(shí)，產(chǎn)品的缺貨按照其相應(yīng)需求到來的時(shí)間先后順序進(jìn)行滿足；③當(dāng)一個(gè)產(chǎn)品的需求到來時(shí)，若其相應(yīng)的零部件需求只有部分得到滿足，則將這部分的零部件庫(kù)存“綁定”給該產(chǎn)品的需求。此后，其他產(chǎn)品需求將不能使用這些零部件庫(kù)存。

(4)系統(tǒng)狀態(tài)變量

H(t|s)為在給定結(jié)構(gòu)以及庫(kù)存控制參數(shù)下的ATO系統(tǒng)在時(shí)刻t的現(xiàn)有庫(kù)存的分布，H(t|s)=[H1(t|s),H2(t|s),…,Hm(t|s)]T；

B(t|s)為在給定結(jié)構(gòu)以及庫(kù)存控制參數(shù)下的ATO系統(tǒng)在時(shí)刻t的產(chǎn)品缺貨的分布，B(t|s)=[B1(t|s),B2(t|s),…,Bn(t|s)]T；

O(t|s)為在給定結(jié)構(gòu)以及庫(kù)存控制參數(shù)下的ATO系統(tǒng)在時(shí)刻t的在訂庫(kù)存的分布，O(t|s)=[O1(t|s),O2(t|s),…,Om(t|s)]T；

IL(t|s)為在給定結(jié)構(gòu)以及庫(kù)存控制參數(shù)下的ATO系統(tǒng)在時(shí)刻t的庫(kù)存水平的分布，IL(t|s)=[IL1(t|s),IL2(t|s),…,ILm(t|s)]T；

IP(t|s)為在給定結(jié)構(gòu)以及庫(kù)存控制參數(shù)下的ATO系統(tǒng)在時(shí)刻t的庫(kù)存位置的分布，IP(t|s)=[IP1(t|s),IP2(t|s),…,IPm(t|s)]T；

c(t|s)為在給定結(jié)構(gòu)以及庫(kù)存控制參數(shù)下的ATO系統(tǒng)在時(shí)刻t的單位時(shí)間系統(tǒng)庫(kù)存總成本。

(5)零部件的補(bǔ)貨提前期和產(chǎn)品需求到來過程

由于產(chǎn)品需求的到來過程是帶時(shí)倚強(qiáng)度的泊松過程，只具有獨(dú)立增量性而一般不具有平穩(wěn)增量性，從而導(dǎo)致相應(yīng)的ATO系統(tǒng)不一定會(huì)有平穩(wěn)狀態(tài)。因此，對(duì)于任意一個(gè)和時(shí)間有關(guān)的系統(tǒng)狀態(tài)，轉(zhuǎn)而研究它的平均分布，如平均在訂庫(kù)存分布、平均缺貨分布、平均時(shí)段滿足率分布等。

2 ATO系統(tǒng)的關(guān)鍵性能指標(biāo)與初步結(jié)論

ATO系統(tǒng)的關(guān)鍵性能指標(biāo)包括時(shí)段滿足率、等待時(shí)間、缺貨隊(duì)列長(zhǎng)度和總庫(kù)存成本。

根據(jù)系統(tǒng)總庫(kù)存成本的定義，在時(shí)刻t有：

c(t|s)=hH(t|s)+bB(t|s)；

(1)

根據(jù)各系統(tǒng)狀態(tài)變量的定義，在時(shí)刻t有：

IP(t|s)=IL(t|s)+O(t|s)

=H(t|s)-AB(t|s)+O(t|s)；

(2)

根據(jù)基準(zhǔn)庫(kù)存策略的定義，在時(shí)刻t有：

IP(t|s)≡s。

(3)

聯(lián)合式(1)～式(3)，可以得到：

c(t|s)=hs+(hA+b)B(t|s)-hO(t|s)。

(4)

對(duì)式(4)的兩端在無限時(shí)間段內(nèi)求平均，可以得到ATO系統(tǒng)的平均總庫(kù)存成本期望的表達(dá)式：

(5)

進(jìn)一步分析之前，易看出各性能指標(biāo)滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：

(1)根據(jù)Endou[22]中關(guān)于Fubini’s定理成立的前提條件易知，當(dāng)上述表達(dá)式中出現(xiàn)多個(gè)積分時(shí)，積分順序可以交換。

(2)當(dāng)其他條件相同時(shí)，對(duì)于不同初始狀態(tài)的ATO系統(tǒng)，它們對(duì)應(yīng)的平均性能指標(biāo)將隨時(shí)間t依概率收斂到同一分布。因此，ATO系統(tǒng)的平均總庫(kù)存成本期望與初始狀態(tài)無關(guān)。

3 ATO系統(tǒng)的在訂庫(kù)存分布及產(chǎn)品缺貨分布

由平均單位時(shí)間總庫(kù)存成本的表達(dá)式可知，求解它的關(guān)鍵在于獲得任一時(shí)刻t的在訂庫(kù)存分布及產(chǎn)品缺貨分布。下面先獲得ATO系統(tǒng)在訂庫(kù)存分布的表達(dá)式。

3.1 ATO系統(tǒng)的在訂庫(kù)存分布

對(duì)于任何一種產(chǎn)品，其需求導(dǎo)致的在訂庫(kù)存在時(shí)刻t的分布求解過程與單產(chǎn)品—單零部件的情況類似。不失一般性，任選一種產(chǎn)品j。設(shè)產(chǎn)品j在[0,t]內(nèi)一共來了d個(gè)需求，即Dj[0,t]=d。根據(jù)單產(chǎn)品—單零部件的類似求解過程，可以得到，當(dāng)Dj[0,t]=d時(shí)，

(6)

因此，在時(shí)刻t產(chǎn)品j導(dǎo)致的在訂庫(kù)存分布的概率母函數(shù)為：

u)+Gi(t-u))-1)du)。

(7)

進(jìn)一步，可以得出系統(tǒng)在時(shí)刻t的在訂庫(kù)存分布的概率母函數(shù)為：

Gi(t-u))-1)du)。

(8)

時(shí)刻t零部件i的在訂庫(kù)存的期望為：

(9)

零部件i的平均在訂庫(kù)存的期望為：

(10)

3.2 產(chǎn)品平均缺貨分布及其期望

在一般ATO中，無法由在訂庫(kù)存的分布信息直接求出各產(chǎn)品的缺貨分布。通常的做法是先求出每個(gè)產(chǎn)品的時(shí)段滿足率，進(jìn)而求出其期望等待時(shí)間，最后利用Little’s Law[21]求出每個(gè)產(chǎn)品的缺貨期望。詳細(xì)求解過程如下。

不失一般性，任選一類產(chǎn)品j，設(shè)在時(shí)刻t到來了一個(gè)產(chǎn)品j的需求，下面首先求出該需求的時(shí)段滿足率。

因?yàn)槭褂肍CFS策略進(jìn)行庫(kù)存分配，所以產(chǎn)品j的需求的時(shí)段滿足率為P{Wj(t|s)≤ω}=P{si-Oi(t+ω|s)+Di(t,t+ω]≥0,i∈Kj}。顯然，Oi(t+ω|s)包含Yi,1(t+ω|s)、Yi,2(t+ω|s)和Yi,3(t+ω|s)三部分，它們分別表示時(shí)刻t之前到來的需求所觸發(fā)的補(bǔ)貨、時(shí)刻t到來的產(chǎn)品j的需求所觸發(fā)的補(bǔ)貨、(t,t+ω]之間到來的需求所觸發(fā)的補(bǔ)貨在時(shí)刻t+ω時(shí)還有多少仍然在訂。因此，時(shí)段滿足率可以表示為：

P{Wj(t|s)≤ω}=P{Oi(t+ω|s)-

Di(t,t+ω]≤si,i∈Kj}

=P{Yi,1(t+ω|s)+Yi,2(t+ω|s)-

(Di(t,t+ω]-Yi,3(t+ω|s))≤si,i∈Kj}。

(11)

根據(jù)上式，可求出在隨機(jī)變量D[0,t)和D(t,t+ω]發(fā)生的條件下，隨機(jī)變量O(t+ω|s)-D(t,t+ω]發(fā)生的條件概率所對(duì)應(yīng)的概率母函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)泊松分布的概率母函數(shù)的性質(zhì)可以求出φO(t+ω|s)-D(t,t+ω](z1,z2,…,zm)，詳細(xì)推導(dǎo)過程可見Lu[15]。φO(t+ω|s)-D(t,t+ω](z1,z2,…,zm)的表達(dá)式為：

(12)

4 需求強(qiáng)度的周期性波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)平均總庫(kù)存成本期望的影響

本章研究需求強(qiáng)度的周期性波動(dòng)對(duì)于以平均總庫(kù)存成本期望為代表的ATO系統(tǒng)性能的影響。由于求解過程較為復(fù)雜，在進(jìn)行研究時(shí)，均以幾個(gè)典型的庫(kù)存系統(tǒng)為例。

考慮任意兩個(gè)產(chǎn)品的BOM之間的關(guān)系。對(duì)于產(chǎn)品j1和產(chǎn)品j2，提出以下兩個(gè)參數(shù)：①結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性參數(shù)，其定義為η(j1,j2)=|{i|i∈Kj1∩Kj2,i=1,2,…,m}|；②結(jié)構(gòu)互補(bǔ)性參數(shù)，其定義為γ(j1,j2)=|{j|Kj∩Kj1≠?,Kj∩Kj2≠?,Kj∩Kj1∩Kj2=?,j=1,2,…,n}|。直觀上看，結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性參數(shù)表示兩個(gè)產(chǎn)品之間通用零部件的個(gè)數(shù)，而結(jié)構(gòu)互補(bǔ)性參數(shù)則表示分別與兩個(gè)產(chǎn)品都具有通用零部件(但3個(gè)產(chǎn)品不同時(shí)具有通用零部件)的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)。當(dāng)兩個(gè)產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性(互補(bǔ)性)參數(shù)不為0時(shí)，稱它們的結(jié)構(gòu)之間具有競(jìng)爭(zhēng)性(互補(bǔ)性)。

分別用兩個(gè)例子來表明存在結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性和存在結(jié)構(gòu)互補(bǔ)性的情況下，需求強(qiáng)度波動(dòng)性變化的聯(lián)合模式對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

(1)結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性

考慮一個(gè)兩產(chǎn)品的分配系統(tǒng)，顯然產(chǎn)品1和產(chǎn)品2的結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性參數(shù)η(1,2)=1，結(jié)構(gòu)互補(bǔ)性參數(shù)γ(1,2)=0。即產(chǎn)品1和產(chǎn)品2的結(jié)構(gòu)之間只具有競(jìng)爭(zhēng)性。

產(chǎn)品1的需求到來是一個(gè)帶時(shí)倚強(qiáng)度的泊松過程，當(dāng)2rQ≤t<(2r+1)Q時(shí)，其強(qiáng)度λ(t)=λ-ε；當(dāng)(2r+1)Q≤t<2(r+1)Q時(shí)，λ(t)=λ+ε，其中r=0,1,2,…，0≤ε≤λ。產(chǎn)品2的需求到來也是一個(gè)帶時(shí)倚強(qiáng)度的泊松過程，其強(qiáng)度分為兩種情況：①模式一，當(dāng)2rQ≤t<(2r+1)Q時(shí)，λ(t)=λ-ε；當(dāng)(2r+1)Q≤t<2(r+1)Q時(shí)，λ(t)=λ+ε；②模式二，當(dāng)2rQ≤t<(2r+1)Q時(shí)，λ(t)=λ+ε；當(dāng)(2r+1)Q≤t<2(r+1)Q時(shí)，λ(t)=λ-ε，其中r=0,1,2,…，0≤ε≤λ(即ε的值在模式一和模式二中正好相反，因此在模式一和模式二中產(chǎn)品2的需求強(qiáng)度變化的波動(dòng)性相同。這樣設(shè)定的原因是為了控制需求強(qiáng)度變化的波動(dòng)性對(duì)系統(tǒng)性能的影響)。可見，當(dāng)產(chǎn)品2的需求到來過程滿足模式一時(shí)，產(chǎn)品1和產(chǎn)品2的需求周期性強(qiáng)度變化是“正相關(guān)”的，而當(dāng)產(chǎn)品2的需求到來滿足模式二時(shí)，產(chǎn)品1和產(chǎn)品2的需求周期性強(qiáng)度變化是“負(fù)相關(guān)”的。通過比較這兩種情況下系統(tǒng)的平均總庫(kù)存成本期望的大小，來研究具有結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性的兩產(chǎn)品的需求強(qiáng)度波動(dòng)性變化的聯(lián)合模式對(duì)系統(tǒng)性能的影響。每個(gè)零部件的平均在訂庫(kù)存的期望與ε無關(guān)，根據(jù)其表達(dá)式可知，平均總庫(kù)存成本期望的大小只與產(chǎn)品平均缺貨的期望有關(guān)。

根據(jù)上述分析，有如下命題。

定理1在產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)之間只存在競(jìng)爭(zhēng)性的條件下，需求周期性強(qiáng)度變化“正相關(guān)”時(shí)的系統(tǒng)的平均總庫(kù)存成本的期望大于需求周期性強(qiáng)度變化“負(fù)相關(guān)”時(shí)的系統(tǒng)的平均總庫(kù)存成本的期望。

證明見附錄。

(2)結(jié)構(gòu)互補(bǔ)性

產(chǎn)品1和產(chǎn)品2的需求到來過程的模式與結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性情況下類似(這樣設(shè)定同樣是為了控制需求強(qiáng)度變化的波動(dòng)性對(duì)系統(tǒng)性能的影響)，產(chǎn)品3的需求到來是一個(gè)強(qiáng)度為μ的齊次泊松過程。與之前類似，平均總庫(kù)存成本期望的大小只與產(chǎn)品平均缺貨的期望有關(guān)，且產(chǎn)品1和產(chǎn)品2的平均缺貨期望保持不變，只需考慮產(chǎn)品3的平均缺貨期望即可。

根據(jù)上述分析，有如下定理。

定理2當(dāng)產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)之間只存在互補(bǔ)性時(shí)，需求強(qiáng)度變化“正相關(guān)”時(shí)的系統(tǒng)的平均總庫(kù)存成本期望小于需求強(qiáng)度變化“負(fù)相關(guān)”時(shí)的系統(tǒng)的平均總庫(kù)存成本期望。

證明見附錄。

由定理1和定理2可知，要確定需求強(qiáng)度波動(dòng)性變化的聯(lián)合模式對(duì)系統(tǒng)性能的影響，需要同時(shí)考察波動(dòng)性產(chǎn)品的BOM之間的關(guān)系和需求強(qiáng)度變化的相關(guān)性這兩個(gè)因素。

5 需求強(qiáng)度波動(dòng)性變化對(duì)產(chǎn)品缺貨期望影響的仿真研究

根據(jù)前面的證明過程，設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)，研究?jī)蓚€(gè)問題：①不同的零部件庫(kù)存補(bǔ)貨策略下，單產(chǎn)品需求強(qiáng)度波動(dòng)性變化對(duì)產(chǎn)品缺貨期望的影響；②多產(chǎn)品需求強(qiáng)度波動(dòng)性變化的聯(lián)合模式對(duì)產(chǎn)品缺貨期望的影響。

齊次泊松過程的點(diǎn)間間距是相互獨(dú)立的指數(shù)分布，本文研究的產(chǎn)品需求到來是帶時(shí)倚強(qiáng)度的泊松過程，此時(shí)需要利用其點(diǎn)間間距的計(jì)算公式(參見文獻(xiàn)[23])確定產(chǎn)品需求到來的時(shí)間點(diǎn)，其余部分與通常的庫(kù)存系統(tǒng)仿真相同。

對(duì)于問題①，構(gòu)建一個(gè)由2種產(chǎn)品和3種零部件組成的W型ATO系統(tǒng)，其中產(chǎn)品P1由一個(gè)零部件C1和一個(gè)零部件C2裝配而成，產(chǎn)品P2由一個(gè)零部件C2和一個(gè)零部件C3裝配而成。產(chǎn)品P1的需求到來過程是一個(gè)強(qiáng)度周期性波動(dòng)的帶時(shí)倚強(qiáng)度的泊松過程，產(chǎn)品P2的需求到來過程是一個(gè)齊次泊松過程。設(shè)定模型參數(shù)，零部件的相關(guān)參數(shù)和產(chǎn)品的相關(guān)參數(shù)分別如表1和表2所示。其中，r和Q分別是(r，Q)策略中的控制參數(shù)，W為需求到來強(qiáng)度的波動(dòng)周期。

表1 仿真模型中零部件的相關(guān)參數(shù)

表2 仿真模型中產(chǎn)品的相關(guān)參數(shù)

對(duì)上述ATO系統(tǒng)中采用FCFS策略進(jìn)行庫(kù)存分配。通用零部件C2的補(bǔ)貨策略有兩種：再訂貨點(diǎn)為13，訂貨批量為12，此時(shí)表示通用零部件C2的庫(kù)存較“稀缺”；再訂貨點(diǎn)為25，訂貨批量為10，此時(shí)表示通用零部件C2的庫(kù)存較“充足”。產(chǎn)品P2的需求強(qiáng)度波動(dòng)幅度的值為x。實(shí)驗(yàn)研究在零部件C2的不同補(bǔ)貨策略下，當(dāng)x變化時(shí)，產(chǎn)品P1和產(chǎn)品P2的缺貨期望。對(duì)于每一次實(shí)驗(yàn)，仿真總時(shí)間設(shè)定為70 000單位仿真鐘時(shí)間。設(shè)定仿真鐘時(shí)間前20 000為初始階段，對(duì)20 000～70 000時(shí)間內(nèi)的運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。產(chǎn)品P2的需求強(qiáng)度波動(dòng)幅度x在0～6之間每隔1取一個(gè)值。在每一次取值下，進(jìn)行50次仿真。仿真結(jié)果如表3和表4所示。將表3和表4中不同補(bǔ)貨策略下需求波動(dòng)對(duì)產(chǎn)品缺貨期望的影響繪制折線圖，如圖1和圖2所示。所有仿真中，p值均小于0.000 1。

表3 通用零部件庫(kù)存“稀缺”時(shí)的需求波動(dòng)對(duì)產(chǎn)品缺貨期望的影響

表4 通用零部件庫(kù)存“充足”時(shí)的需求波動(dòng)對(duì)產(chǎn)品缺貨期望的影響

由圖1和圖2可以看出，對(duì)于需求具有時(shí)倚強(qiáng)度的產(chǎn)品P1，無論通用零部件庫(kù)存“稀缺”還是“充足”，當(dāng)需求強(qiáng)度波動(dòng)幅度增大時(shí)，其缺貨期望也增大。對(duì)于需求為齊次泊松過程的產(chǎn)品P2，通用零部件庫(kù)存“稀缺”時(shí)，當(dāng)需求強(qiáng)度波動(dòng)幅度增大，其缺貨期望先增大后減小，通用零部件庫(kù)存“充足”時(shí)，當(dāng)需求強(qiáng)度波動(dòng)幅度增大，其缺貨期望也增大。因此，與粗糙的直觀想法相反，當(dāng)通用零部件較庫(kù)存“稀缺”時(shí)，產(chǎn)品需求的波動(dòng)性增大有可能會(huì)降低ATO系統(tǒng)的單位時(shí)間庫(kù)存總成本。

對(duì)于問題2，構(gòu)建一個(gè)由3種產(chǎn)品和3種零部件組成的ATO系統(tǒng)，其中產(chǎn)品P1由一個(gè)零部件C1和一個(gè)零部件C2裝配而成，產(chǎn)品P2由一個(gè)零部件C2和一個(gè)零部件C3裝配而成，產(chǎn)品P3由一個(gè)零部件C1和一個(gè)零部件C3裝配而成?？梢姡a(chǎn)品P1、產(chǎn)品P2和產(chǎn)品P3之間同時(shí)具有結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性和結(jié)構(gòu)互補(bǔ)性。設(shè)定模型參數(shù)，零部件的相關(guān)參數(shù)和產(chǎn)品的相關(guān)參數(shù)分別如表5和表6所示。表中各參數(shù)的意義與表3、表4相同。

表5 仿真模型中零部件的相關(guān)參數(shù)

表6 仿真模型中產(chǎn)品的相關(guān)參數(shù)

對(duì)上述ATO系統(tǒng)采用FCFS策略進(jìn)行庫(kù)存分配。產(chǎn)品P2的需求強(qiáng)度波動(dòng)幅度的值為x。實(shí)驗(yàn)研究當(dāng)x變化時(shí)，產(chǎn)品P1、產(chǎn)品P2和產(chǎn)品P3的缺貨期望。對(duì)于每一次實(shí)驗(yàn)，仿真總時(shí)間設(shè)定為70 000單位仿真鐘時(shí)間。設(shè)定仿真鐘時(shí)間前20 000為初始階段，對(duì)20 000～70 000時(shí)間內(nèi)的運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。產(chǎn)品P2的需求強(qiáng)度波動(dòng)幅度x在-6～6之間每隔2取一個(gè)值。在每一次取值下，進(jìn)行50次仿真。仿真結(jié)果如表7所示。將表7中需求波動(dòng)對(duì)產(chǎn)品缺貨期望的影響繪制折線圖，如圖3所示。所有仿真中，p值均小于0.0001。

表7 需求波動(dòng)的聯(lián)合模式對(duì)產(chǎn)品缺貨期望的影響

由圖3可知，當(dāng)產(chǎn)品P2需求強(qiáng)度波動(dòng)幅度由負(fù)變正時(shí)：①產(chǎn)品P1的缺貨期望增大，即影響其缺貨期望的主要因素是產(chǎn)品P1和P2間的結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性；②產(chǎn)品P3的缺貨期望減小，即影響其缺貨期望的主要因素是產(chǎn)品P3和P1間的結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性；③產(chǎn)品P2的缺貨期望先減小后增大，即影響其缺貨期望的主要因素先是產(chǎn)品P2和P3間的結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性，而后是產(chǎn)品P2和P1間的結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性。因此，當(dāng)多個(gè)產(chǎn)品均存在需求強(qiáng)度波動(dòng)時(shí)，需要根據(jù)產(chǎn)品間的BOM結(jié)構(gòu)關(guān)系來分析需求強(qiáng)度波動(dòng)性變化對(duì)各產(chǎn)品的影響。

6 結(jié)束語

本文研究了產(chǎn)品需求到來強(qiáng)度有波動(dòng)性的ATO系統(tǒng)，主要包括以下內(nèi)容：

(1)結(jié)合帶時(shí)倚強(qiáng)度的泊松過程的性質(zhì)，利用概率母函數(shù)，求解出了時(shí)段滿足率、等待時(shí)間、缺貨隊(duì)列長(zhǎng)度和總庫(kù)存成本等重要性能指標(biāo)的解析表達(dá)式。

(2)在(1)的基礎(chǔ)上分析了單產(chǎn)品與多產(chǎn)品的需求波動(dòng)性對(duì)系統(tǒng)性能的影響。通過引入結(jié)構(gòu)競(jìng)爭(zhēng)性和結(jié)構(gòu)互補(bǔ)性的概念，證明了當(dāng)產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)之間只存在競(jìng)爭(zhēng)性(互補(bǔ)性)時(shí)，需求強(qiáng)度變化“正(負(fù))相關(guān)”時(shí)的系統(tǒng)的平均總庫(kù)存成本期望小于需求強(qiáng)度變化“負(fù)(正)相關(guān)”時(shí)的系統(tǒng)的平均總庫(kù)存成本期望。

(3)通過仿真實(shí)驗(yàn)表明在一般BOM結(jié)構(gòu)的ATO系統(tǒng)中，需求波動(dòng)性對(duì)產(chǎn)品缺貨期望的影響十分復(fù)雜，在單產(chǎn)品需求波動(dòng)的情況下，需要考慮通用零部件是“稀缺”還是“充足”，在多產(chǎn)品波動(dòng)的情況下，需要同時(shí)考察波動(dòng)性產(chǎn)品的BOM之間的關(guān)系和需求強(qiáng)度變化的相關(guān)性這兩個(gè)因素。

在這一領(lǐng)域，還有很多工作需要完成，主要包括：

(1)本文中所有公式推導(dǎo)以及仿真研究都是在假設(shè)庫(kù)存分配策略是FCFS策略下進(jìn)行的，更進(jìn)一步需要研究不同庫(kù)存分配策略(如“先準(zhǔn)備好先得”(First Ready First Served，F(xiàn)RFS)策略、定量配給策略等)下需求波動(dòng)性對(duì)系統(tǒng)性能的影響規(guī)律。在這些庫(kù)存分配策略下，系統(tǒng)狀態(tài)之間的相關(guān)性通常更強(qiáng)，因此需求波動(dòng)性對(duì)系統(tǒng)性能的影響規(guī)律預(yù)期會(huì)更加復(fù)雜。

(2)本文研究了給定庫(kù)存補(bǔ)貨參數(shù)下需求波動(dòng)性對(duì)系統(tǒng)性能的影響，今后需要研究需求波動(dòng)性對(duì)最優(yōu)庫(kù)存補(bǔ)貨參數(shù)及系統(tǒng)最優(yōu)性能的影響規(guī)律。