(G-V)-不變凸多目標(biāo)規(guī)劃的Wolfe型對(duì)偶條件

劉靖雯，李向有，江 柳

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

對(duì)偶問(wèn)題是數(shù)學(xué)規(guī)劃中很重要的研究?jī)?nèi)容，一般對(duì)偶問(wèn)題分為Mond-Weir型對(duì)偶和Wolfe型對(duì)偶。在過(guò)去的二三十年里，不同學(xué)者利用不同的凸函數(shù)研究了大量對(duì)偶問(wèn)題，得到了很多重要的結(jié)果。如：孫玉華[1，2]等人研究了B-(p,r)-不變凸函數(shù)的Mond-Weir型對(duì)偶理論以及Wolfe型對(duì)偶理論；趙麗麗[3]討論了廣義(F,α,β,d)-V-凸多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)性與對(duì)偶性;李麗，張慶祥[4]研究了(F,α,β,d)-對(duì)稱凸性下多目標(biāo)規(guī)劃的Mond-Weir型對(duì)偶。G不變凸函數(shù)是Antczak提出一類新的廣義的不變凸函數(shù)，隨后他利用這類函數(shù)研究了可微的G不變凸函數(shù)限制下的多目標(biāo)規(guī)劃的Mond-Weir型對(duì)偶[5-7]。Kang[8]和Kim[9]又將該G不變凸函數(shù)推廣到非可微情形，研究了非可微多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題Mond-Weir型對(duì)偶，得到了非可微G不變凸性下Mond-Weir型對(duì)偶條件。近年來(lái)，Antczak[10]定義了非可微(G-V)-不變凸函數(shù)，把G不變凸函數(shù)推廣到向量情形，并用這類函數(shù)研究了非可微多目標(biāo)規(guī)劃的Mond-Weir型對(duì)偶理論。

受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文將利用(G-V)-不變凸函數(shù)研究一類非光滑多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，重點(diǎn)研究Wolfe型對(duì)偶問(wèn)題，給出相應(yīng)的弱對(duì)偶、強(qiáng)對(duì)偶及嚴(yán)格逆對(duì)偶定理。

1 基本定義

稱實(shí)值函數(shù)f:Rn→R是局部Lipschitz的[11]，若對(duì)任意x∈Rn，存在一個(gè)正數(shù)k和x的鄰域N(x)對(duì)任意y,z∈N(x)，使得

‖f(y)-f(z)‖≤k‖y-z‖。

若函數(shù)f為局部Lipschitz的，那么函數(shù)f:X→R在點(diǎn)x處沿方向d的Clarke廣義方向?qū)?shù)和Clarke廣義梯度分別定義為[11]：

?f(x)={ξ∈Rn：f0(x;d)≥ξTd,?d∈Rn}。

下面的不等式在整篇文章中都成立，對(duì)于任意x,y∈Rn，

x≦y?xi≦yi；x≤y?xi≦yi,但x≠y；

x

設(shè)x?Rn，u∈X，令f=(f1,…,fm)：X→Rn，fi(i=1，…m)是定義在X上的局部Lipschitz函數(shù)，令I(lǐng)fi(x),i=1，…，m表示fi的值。T.Antczak在文獻(xiàn)[10]中定義了非可微(G,V)不變凸函數(shù)，讓我們回憶一下。

定義1[5]設(shè)函數(shù)Gf=(Gf1，…，Gfk):R→Rk，其每個(gè)分量Gfi(x)：Ifi(x)→R，i=1，…k均是嚴(yán)格單調(diào)遞增的可微實(shí)值函數(shù)，函數(shù)α:X×X→R+，η:X×X→Rn，若對(duì)x∈X,?ξi∈?fi(y),y∈X,i=1，…，k，有：

Gfi(fi(x))-Gfi(fi(y))

則稱f在y∈X相對(duì)于函數(shù)α,η是非可微(G-V)-不變凸函數(shù)。若在上式中x≠y且換成>，則稱函數(shù)fi在y∈X相對(duì)于函數(shù)α,η是非可微嚴(yán)格(G-V)-不變凸函數(shù)。

顯然：當(dāng)Gf=(Gf1，…，Gfk)：R→Rk，其每個(gè)分量Gfi：Ifi(x)→R,i=1，…k均是恒等映射時(shí)，f在y∈X相對(duì)于函數(shù)α,η是(G-V)-不變凸函數(shù)。

定義2[5]D為滿足規(guī)劃問(wèn)題(VP)約束條件的所有點(diǎn)的集合。x*∈D是(VP)的可行解，若找不到x∈D使得f(x)≤f(x*)成立，則稱x*為該問(wèn)題的有效解。

2 Wolfe對(duì)偶性條件

考慮下列多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(VP)

這里X為Rn上的非空開集，fi:X→R(i=1，…，k),gj:X→R(j=1，…，m)均為局部Lipschitz的實(shí)值函數(shù)。記(VP)的可行域?yàn)镈={x∈X|gj(x)≤0,j=1,2,…,m}。

(VP)的對(duì)偶規(guī)劃定義為(VD)：

maxGf(f(y))+uTGg(g(y)e)=(Gf1(y))+

uTGg(g(y)),…,Gfk(fk(y))+uTGgg(y))，

ujGgj(gj(y))0,j=1，…m，

λi≥0,i=1，…，k,uj0,j=1，…，m。

這里fi:Rn→R,(i=1，…，k),gj:Rn→R均為局部Lipschitz的實(shí)值函數(shù)，Gf=(Gf1，…，Gfk):R→Rk，每個(gè)Gfi:Ifi(x)→R,i=1，…k是嚴(yán)格單調(diào)遞增的可微實(shí)值函數(shù)，Gg=(Gg1，…，Ggm)：R→Rm每個(gè)分量Ggj:Igi(x)→R，j=1，2，…，m是嚴(yán)格單調(diào)遞增的可微實(shí)值函數(shù)且Gfi(0)=0,Ggj(0)=0,eT=(1,…,1)。

定理1 (弱對(duì)偶)若以下條件成立：

(i)x,(λ,u,y)分別是(VP)和(VD)的可行解；

則Gf(f(x))Gf(f(y))+uTGg(g(y))e。

證明不妨設(shè)

Gf(f(x))Gf(f(y))+uTGg(g(y))e，可得

Gfi(fi(x))Gfi(fi(y))+

因?yàn)閡jgj(x)≤0，j=1，…，m，有

又有λi≥0，i=1，…，k，則有

整理得

(1)

由定理?xiàng)l件ii有

Gfi(fi(x))-Gfi(fi(y))>

λiGfi(fi(x))-λiGfi(fi(y))>

(2)

同理可得

(3)

(2)+(3)可得

(4)

?ξi∈?fi(y),ξi∈?gj(y)，

(5)

故(1)和(5)矛盾，所以Gf(f(x))Gf(f(y))+uTGg(g(y))e，結(jié)論成立。

定理2 (弱對(duì)偶)令：

(i)x,(λ,u,y)分別是(VP)和(VD)的可行解；

則Gf(f(x))≮Gf(f(y))+uTGg(g(y))e。

證明與定理1類似，此處省略。

定理3 (強(qiáng)對(duì)偶)設(shè)x是(VP)的有效解，假設(shè)x滿足(G-V)約束條件，(λ,u,y)是(VD)的可行解，若定理1的弱對(duì)偶條件成立，則(λ,u,y)是(VD)的有效解。

證明類似于定理1的證明。

定理4 (嚴(yán)格逆對(duì)偶)令：

(i)x,(λ,u,y)分別是(VP)和(VD)的可行解且有λTGf(f(x))λTGf(f(y))+uTGg(g(y))；

則x=y，且y是(VP)的有效解。

證明先證x=y?，F(xiàn)假設(shè)x≠y，由定理?xiàng)l件ii得

α(x,y)(Gfi′(fi(y))?fi(y)+

由于λi≥0，i=1，…，k，則

α(x,y)(λiGfi′(fi(y))?fi(y)+

(6)

由于(λ,u,y)是(VD)的可行解，則

?ξi∈?fi(y),ζi∈?gj(y)，

(7)

故有

(8)

由G函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，有

與條件i矛盾，所以x=y。

再證y是(VP)的有效解。不妨設(shè)y不是(VP)的有效解。

由定義2有：?x0∈D,s.t.f(x0)≤f(x)，則

fi(x0)≤fi(x)，

因?yàn)棣薸≥0，i=1，…，k，

所以有：λifi(x0)λifi(x)，

因此λiGfi(fi(x0))λiGfi(fi(x))。

由定理?xiàng)l件i知

顯然有

λiGfi(fi(x0))λiGfi(fi(x))

(9)

定理?xiàng)l件ii有

(10)

即y是(VP)的有效解。