聚焦知識新內(nèi)核 提高復(fù)習(xí)有效性
——以“圓的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)”為例

□蘇建強(qiáng)

（杭州高新區(qū)（濱江）教育研究院，浙江杭州 310051）

復(fù)習(xí)課不同于新課，教師應(yīng)努力將學(xué)生大腦中點(diǎn)狀的知識網(wǎng)絡(luò)化，并聚焦知識的核心，在問題解決中幫助學(xué)生形成“四通八達(dá)”的思維通道和解決問題的一般套路.在實(shí)際操作中，教師常疏于對所復(fù)習(xí)內(nèi)容的深入分析，把復(fù)習(xí)課變成“炒冷飯”式的新課.為此筆者有意做了一些探索，現(xiàn)以“圓的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)”為例說說自己的思考和實(shí)踐.

一、基于學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際 確定知識新內(nèi)核

要使復(fù)習(xí)課更有效，首先要明確的是“學(xué)生會些什么”“復(fù)習(xí)重點(diǎn)是什么”.在“圓的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)”之前，學(xué)生經(jīng)歷了三角形、特殊三角形、四邊形、特殊四邊形、圓等概念的形成及其性質(zhì)的探究與應(yīng)用過程，學(xué)生的空間想象、幾何直觀、邏輯思維能力得到較大的發(fā)展.同時(shí)學(xué)生還積淀了從“一般到特殊”對一個(gè)基本圖形進(jìn)行研究的思路；明確了對一個(gè)新圖形的性質(zhì)進(jìn)行研究時(shí)，重點(diǎn)在于它區(qū)別之前所認(rèn)識的圖形特殊之處.例如等腰三角形區(qū)別于一般三角形的特點(diǎn)在于它的對稱性，直角三角形在于它三邊間的數(shù)量關(guān)系即勾股定理，特殊四邊形在于它的中心對稱性.像這些基本圖形所具有的新的特殊性質(zhì)，我們稱為該圖形的“新內(nèi)核”.圓的基本性質(zhì)主要體現(xiàn)于軸對稱性及圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后都和原圖形重合的特性（簡稱“旋轉(zhuǎn)重合性”）.顯然，圓的“新內(nèi)核”就是“旋轉(zhuǎn)重合性”，因?yàn)閳A的軸對稱性多可轉(zhuǎn)化為等腰三角形問題解決.

二、聚焦知識新內(nèi)核 有效組織課堂教學(xué)

（一）復(fù)習(xí)回顧，鎖定新內(nèi)核

復(fù)習(xí)課伊始，教師要求學(xué)生在準(zhǔn)備好的圓中分別畫出符合條件的圖形，并結(jié)合所畫圖形說出能得到的信息：在⊙O中，直徑EF垂直弦BC于點(diǎn)D.在⊙O中，A為優(yōu)弧BC的一點(diǎn)，連接OB，OC，AB，AC.

教師：若把大家剛畫的兩個(gè)圖結(jié)合在一起（如圖1），請找出圖中相等的角.

圖1

眾 生：∠A＝∠BOD＝∠COD，∠OBD＝∠OCD…

教師組織學(xué)生動手畫圖并看圖說話，一方面努力激活學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，另一方面通過對各種感官刺激提高學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性.學(xué)生容易解決單一知識點(diǎn)問題，但對多知識點(diǎn)的綜合型問題卻常無從下手.由此教師在設(shè)計(jì)中把圓的軸對稱性和旋轉(zhuǎn)重合性應(yīng)用問題結(jié)合起來，在對基本性質(zhì)復(fù)習(xí)的過程中，促使學(xué)生感知圓心角不僅是圓周角與弧之間聯(lián)系的紐帶，還是圓的軸對稱性與旋轉(zhuǎn)重合性間的橋梁，從而鎖定圓中角的關(guān)系即旋轉(zhuǎn)重合性才是研究的重點(diǎn)，也為學(xué)生進(jìn)一步解決實(shí)際問題提供了先行組織者.

（二）由表及里，再認(rèn)新內(nèi)核

由對單一知識點(diǎn)的復(fù)習(xí)轉(zhuǎn)入對多知識點(diǎn)綜合問題的探究后，教師水到渠成地提出：

如圖2，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OA.點(diǎn)E在線段OA上，OE＝OD，連接DE，設(shè)∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正數(shù)）.若∠ABC＜∠ACB，求證：m－n＋2＝0.

圖2

教師：要研究m，n間的關(guān)系，m，n與條件中的什么量有關(guān)呢？

學(xué)生1：m，n和∠B，∠C，∠OED有關(guān).

為了說明方便，教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)∠OED＝α，則∠ABC＝mα，∠ACB＝nα.

教師：若把m，n轉(zhuǎn)化成角來研究，就是要證明什么？

學(xué)生2：在m－n＋2＝0 兩邊都乘以α，問題就轉(zhuǎn)化成探究圓周角∠B，∠C的關(guān)系了.

教師板書“mα－nα＋2α＝0”，即“∠B－∠C＋2α＝0”.

經(jīng)過嘗試分析與問題解決，教師引導(dǎo)學(xué)生開啟探索“何由以知其所以然”模式.

學(xué)生3：由前面的分析，作OF⊥AC于點(diǎn)F（如圖2），那么∠B就可以換成∠AOF，都等于mα（學(xué)生指著黑板上的圖形，一邊標(biāo)注一邊解釋）.

教師（自言自語）：利用垂徑定理，圓周角和圓心角的關(guān)系，轉(zhuǎn)移了∠B的位置.

學(xué)生4：在△OED中，因?yàn)閮傻捉菫棣粒浴螮OD＝180°－2α，∠DOF＝180°－2α－mα.在四邊形ODCF中，由四邊形內(nèi)角和性質(zhì)知結(jié)論成立.

教師（自言自語）：把分散的條件集中到四邊形中.

學(xué)生5：因?yàn)樵凇鱋AF中，∠OAF＝90°－mα，所以在四邊形ODCA中同樣可證結(jié)論成立.

教師（自言自語）：把分散的條件集中到四邊形中使問題得以解決，那么集中到三角形中可以嗎？

深度有效的學(xué)習(xí)不僅僅在于“知其所以然”，而應(yīng)刨根問底直至明確“何由以知其所以然”.教師在課堂中引導(dǎo)學(xué)生對“m，n和∠B，∠C，∠OED有關(guān)”的分析，意在突出研究問題的一般思路，建立“未知”與“已知”的聯(lián)系，并將抽象的“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化成具體的“形”的問題研究.又因?yàn)椤螧，∠C與∠OED在物理位置上相距“甚遠(yuǎn)”，所以有必要借助圓的旋轉(zhuǎn)重合性將其距離“拉近”，集中到四邊形中使問題得以解決，并順其自然地提出能否將問題轉(zhuǎn)化到三角形中解決.學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會思考，往往就啟航于教師這樣的“自言自語”.新的解法也許就此誕生：延長AO交BC于G，∠GOD＝2α，則∠AGC＝90°－2α，在△AGC中利用三角形內(nèi)角和定理可證結(jié)論成立.同樣在△ABG，△EDG中也可以完成問題的解決，于是3種、5種、10種方法自然產(chǎn)生.

教師：在m－n＋2＝0 兩邊都乘以α……（正當(dāng)此時(shí)，有學(xué)生舉起了手）

教師中斷了自己的講述，并引導(dǎo)學(xué)生共同分析.

學(xué)生6：還可以在m－n＋2＝0 兩邊都乘以2α，這里的2mα，2nα可表示∠B，∠C所對

教師：還是將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形間的關(guān)系.

圖3

眾生：這么簡單！

教師：厲害！將相關(guān)條件集中到圓弧上，再把圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系.

學(xué)生8：老師，我明白了！為什么這里會出現(xiàn)4α？因?yàn)樵鞠嗟鹊膬啥位↑c(diǎn)F沿著圓弧移到點(diǎn)A，相當(dāng)于同時(shí)

見眉頭緊鎖的學(xué)生不在少數(shù)，教師示意學(xué)生8 再次解釋自己的發(fā)現(xiàn).轉(zhuǎn)瞬間，教室里又開始鬧騰起來，甚至有學(xué)生拍著桌子感嘆道“原來是這樣！”

學(xué)生9：其實(shí)，這個(gè)題也可以把條件集中到等腰三角形FBC中，利用∠ACB－∠ACF＝∠ABC＋∠FBA，得nα－α＝mα＋α.

教師：直接利用圓周角間的關(guān)系，就事論事.

圍繞圓的旋轉(zhuǎn)重合性，學(xué)生將圓周角轉(zhuǎn)換位置或轉(zhuǎn)化成圓心角、弧后，把條件集中到三角形、四邊形中，也可以將條件集中到弧或周角上使問題得以解決.期間，圓的旋轉(zhuǎn)重合性所體現(xiàn)的變換圓周角呈現(xiàn)形式的功能也就凸顯出來了.精彩的課堂教學(xué)，往往源于學(xué)生的奇思妙想和教師對課堂的精準(zhǔn)把控.學(xué)生8的出現(xiàn)讓原本不平靜的課堂再次掀起波瀾，真是一波未平又起一浪，所求等式中“2”的來由也就一眼望穿.圖形中F點(diǎn)的移動打破原本的平衡，因?yàn)椤?”的出現(xiàn)又促使平衡重新建立.

（三）從經(jīng)驗(yàn)到方法，拓展新內(nèi)核

課堂教學(xué)終有曲盡人散之時(shí)，留下的一定是那些值得細(xì)細(xì)品味的思考.最后教師引導(dǎo)學(xué)生從問題解決的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，歸納梳理得此類“新內(nèi)核”問題解決的一般思路：

1.結(jié)合所求結(jié)論與已知條件找聯(lián)結(jié)點(diǎn)，變數(shù)為形；

2.借助圓周角定理變換角的呈現(xiàn)形式，化分散為集中；

3.利用數(shù)量關(guān)系刻畫圖形間位置關(guān)系，變形為數(shù).

三、反思教學(xué)實(shí)踐 提高教學(xué)設(shè)計(jì)有效性

復(fù)習(xí)課與新授課區(qū)別在于：點(diǎn)上的突破與面上的思考.如何讓無序的思考變得有序，找到連接已知條件到所求結(jié)論之間的橋，將授之以“魚”變成授之以“漁”.

（一）激活已有知識，凸顯知識新內(nèi)核

學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)理論表明，復(fù)習(xí)課的展開應(yīng)基于學(xué)生已有知識和能力.因而，教師在課前須對學(xué)生已有的知識儲備、能力積淀了如指掌，并對所復(fù)習(xí)內(nèi)容做出深入細(xì)致的分析，確定所復(fù)習(xí)內(nèi)容的新內(nèi)核.在課堂中，主要表現(xiàn)在教師通過復(fù)習(xí)回顧激活學(xué)生的已有知識，并通過簡單的練習(xí)、綜合應(yīng)用明確研究對象.在課例中，教師以學(xué)生的兩次畫圖并“看圖說話”引入新課，意在通過學(xué)生的動手操作與觀點(diǎn)“眾籌”激活學(xué)生已有知識，調(diào)動學(xué)生多感官參與課堂學(xué)習(xí).而在圓的軸對稱性中引入角的探討，意在引出并強(qiáng)化本節(jié)課復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，即“圓的旋轉(zhuǎn)重合”的特性，為接下來的復(fù)習(xí)指明方向.

（二）聚焦核中核，舉一反三突出重點(diǎn)

考慮問題面面俱到是一種良好的思維品質(zhì)，而聚焦核心是提高效率的主要策略.圓的旋轉(zhuǎn)的重合特性是區(qū)別于之前所學(xué)圖形的本質(zhì)特征，這一特性集中體現(xiàn)于圓周角定理.在圓心角的學(xué)習(xí)中，通過圓心角與弧間對應(yīng)的位置關(guān)系，將1°的圓心角所對的弧稱為1°的弧，從而建立起圓心角與弧間的數(shù)量關(guān)系，突破了不同類圖形間的“楚河漢界”.再者，通過三角形內(nèi)外角的關(guān)系探索得到同一條弧所對的圓周角和圓心角間的數(shù)量關(guān)系，由此可得圓心角在圓周角與弧之間的橋梁作用.因而抓住了圓心角這一“核中核”，問題解決的思路也就明朗了：可將圓周角轉(zhuǎn)化成圓心角或圓心角的一半，也可將圓周角轉(zhuǎn)化成弧使問題得以解決.在問題解決中，教師引導(dǎo)學(xué)生在不斷地“反芻”中形成有序思考的習(xí)慣.

（三）數(shù)形結(jié)合巧轉(zhuǎn)化，以退為進(jìn)破難點(diǎn)

直面問題是一種為人處世的態(tài)度，以退為進(jìn)是問題解決的一種策略.問題呈現(xiàn)的背景往往是錯綜復(fù)雜的，厘清脈絡(luò)并化繁為簡的過程就是問題解決的過程.很多時(shí)候，一味地追求勢如破竹式的解題速度往往適得其反，這時(shí)更需要教師帶著學(xué)生靜下心來分析問題中隱含的信息，甚至以退為進(jìn)提高復(fù)習(xí)的有效性.要證明數(shù)量間的關(guān)系m－n＋2＝0，先退一步將其轉(zhuǎn)化為“∠B－∠C＋2α＝0”研究具體的角度問題，最后利用圓的基本性質(zhì)將相關(guān)條件集中到基本圖形中，利用三角形、四邊形內(nèi)角或弧度間的數(shù)量關(guān)系使問題得以解決.