分數(shù)階Rucklidge系統(tǒng)復雜度分析及有限時間同步*

那格思，趙海燕

(1.澳洲國立大學商業(yè)與經濟學院，堪培拉 2600；2.上海工程技術大學管理學院，上海 201620)

1 引言

金融研究領域廣泛存在著混沌現(xiàn)象，具體指確定系統(tǒng)中的隨機現(xiàn)象，其廣泛存在于生活中。目前已有許多非線性系統(tǒng)在經濟學中被發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的經濟學理論已經難以解釋復雜的經濟學現(xiàn)象，越來越多的學者追求以數(shù)理方法解決問題。在實際應用中，大多數(shù)非線性系統(tǒng)都是分數(shù)階的，作為傳統(tǒng)微積分的推廣，分數(shù)階非線性系統(tǒng)局限于當時的背景而未得到充分發(fā)展，時至今日針對分數(shù)階非線性系統(tǒng)已有諸多研究?；煦缋碚摰难芯渴加贚orenz系統(tǒng)[1]，而后更多混沌系統(tǒng)[2 - 6]也被廣泛應用在圖像加密、安全通信、無人機導航等領域。但是，隨著對分數(shù)階系統(tǒng)的研究不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)整數(shù)階系統(tǒng)僅為分數(shù)階系統(tǒng)的一個特例。分數(shù)階系統(tǒng)具有更復雜的動力學特性，也因此衍生出許多新的研究方法，如譜熵、C0復雜度和0-1測試法等。

分數(shù)階系統(tǒng)具有更加廣泛的適用范圍，尤其是在保密通信中[7]。因復雜度較高，故研究其動力學特性的文獻較少。目前仍需要大量研究不同分數(shù)階系統(tǒng)的動力學特性，掌握分數(shù)階混沌系統(tǒng)的客觀規(guī)律。在保密通信領域中，分數(shù)階系統(tǒng)也逐漸得到了應用。Li等[8]首次實現(xiàn)了分數(shù)階系統(tǒng)的同步，在此基礎上，也提出了許多分數(shù)階混沌系統(tǒng)[9 - 12]的同步方法，但同步時間均較長。為了解決這個問題，趙靈冬等[13]提出了針對分數(shù)階系統(tǒng)的有限時間同步理論，結合仿真結果驗證了該理論的有效性。

本文將Rucklidge系統(tǒng)推廣至分數(shù)階形式，利用Adomain分解法編寫算法進行仿真，結合譜熵和C0復雜度2個動力學特性研究工具繪制其復雜度圖譜。為加快其在保密通信中的應用速度，本文基于分數(shù)階有限時間穩(wěn)定性理論設計同步控制器，對其進行混沌同步控制。

2 分數(shù)階系統(tǒng)簡介

2.1 分數(shù)階微分理論

自從分數(shù)階微分方程提出以來，微分方程的導算子就有了很多定義[14]。著名的分數(shù)階微分方程導算子定義有Grunwald-Letnikov (G-L)定義、Riemman-Liouville (R-L)定義和Caputo定義等。其中最常用的是G-L定義和R-L定義，而Caputo定義適用于描述微分方程初值問題。本文利用Caputo分數(shù)階微分方程的定義來求解Sprott C系統(tǒng)的混沌分析。

Caputo類型導數(shù)的表達式如式(1)所示:

(1)

其中，C表示該類型的定義為分數(shù)階定義，α的取值為n-1 <α

Caputo微分定義涉及以下性質:

定理1[16]:

(2)

其中，q是微分算子的階數(shù)。

分數(shù)階常微分方程的通式為:

(3)

上述微分方程的通解為:

x(t)=x(0)Eq(Atq)

其中，Eq(·)為Mittag-Leffter函數(shù)，定義如式(4)所示:

(4)

2.2 系統(tǒng)模型

Rucklidge系統(tǒng)是1992年英國學者Rucklidge在分析溶質梯度和磁場的二維對流時提出的一種新的典型混沌系統(tǒng)[15]。Rucklidge研究了該系統(tǒng)的分岔特性，它由6個元素組成，是最簡單的非線性系統(tǒng)之一，目前已被廣泛應用在混沌保密通信中。原始系統(tǒng)為:

(5)

修正后的分數(shù)階系統(tǒng)為:

(6)

3 系統(tǒng)分解與復雜度分析

3.1 系統(tǒng)分解

基于改進的Adomian算法[17]，本文將式(6)的非線性項分解為:

(7)

(8)

令初始變量為：

則有：

將變量變換成對應系數(shù)值可得:

(9)

同理可計算得到后5項系數(shù):

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

非線性系統(tǒng)的方程可以表示為如下形式:

(15)

根據(jù)上述計算結果編寫算法對其進行仿真，混沌圖像和時域圖像的仿真有助于分析其動態(tài)特性。為驗證算法的正確性，令q=1,起始點為:

[x(0),y(0),z(0)]=[1,1,1]

參數(shù)a=2，b=6.7,步長h=0.01，仿真時間T=150 s，得到的混沌圖像和時域圖像如圖1所示。從圖1中可看出，系統(tǒng)是混沌的。

Figure 1 Phase diagram of system (6)圖1 系統(tǒng)(6)的相圖

利用新算法求解出的相圖與相同系數(shù)下整數(shù)階Rucklidge系統(tǒng)一致，驗證了算法的正確性。通過多次取值仿真發(fā)現(xiàn)，單靠取值仿真很難發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的混沌變化范圍。為解決這一問題，下節(jié)將采用復雜度研究工具進一步研究其動力學特性。

3.2 復雜度分析

本節(jié)將分別從譜熵復雜度和C0復雜度2個角度來分析系統(tǒng)(6)的動力學行為復雜度。譜熵復雜度分析的第1步是根據(jù)系統(tǒng)方程從混沌序列中去除直流信息，其運算公式如下所示:

(16)

其中，N為序列數(shù)組個數(shù)。

然后對x序列進行傅里葉變換：

(17)

可得相對功率譜Pk為：

(18)

因此，譜熵SE(N)為：

(19)

根據(jù)以上分析流程，取參數(shù)a=2,b=6.7，步長h=0.01，對其譜熵復雜度和C0復雜度隨階數(shù)q變化的曲線進行數(shù)值模擬，仿真結果如圖2所示。

Figure 2 Curves of SE complexity and C0 complexity圖2 SE復雜度和C0復雜度變化曲線

如圖2所示，隨著階數(shù)q的增加，系統(tǒng)的SE復雜度和C0復雜度均有所降低。從變化趨勢來看，階數(shù)越靠近1，其各項復雜度值越低，尤其是C0復雜度，下降幅度最大。相對而言，譜熵復雜度的降幅僅為C0復雜度的一半，但僅一個參數(shù)的變化還不能反映系統(tǒng)的總體復雜度。

圖3和圖4為階數(shù)q和參數(shù)a都變化時的復雜度圖譜。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，當參數(shù)不變時，階數(shù)越靠近1，其譜熵復雜度和C0復雜度均在降低，反之亦然。對于參數(shù)b，當階數(shù)q不變時，系統(tǒng)的復雜度在b=3附近出現(xiàn)最低值，隨著參數(shù)b遠離3，其復雜度逐漸增大。圖譜中還存在一些白色區(qū)域，通過單一仿真發(fā)現(xiàn)其為無意義且無法計算的區(qū)域。

Figure 3 SE complexity (when b and q change)圖3 SE復雜度(b和q變化)

Figure 4 C0 complexity (when b and q change)圖4 C0復雜度(b和q變化)

Figure 5 SE complexity (when a and q change)圖5 SE復雜度(a和q變化)

Figure 6 C0 complexity (when a and q change)圖6 C0復雜度(a和q變化)

類似地，參數(shù)a≈3時，2個復雜度均取最小值，與參數(shù)b具有同樣的漸變規(guī)律，如圖5和圖6所示。不同的是，參數(shù)a在其最小值附近的無意義區(qū)域比參數(shù)b的小很多，但其在q<7,a>4這一片扇形區(qū)域無意義，有個別有意義的點復雜度也極高。圖中未繪制出的參數(shù)為無意義的范圍，即q的取值為[0.4,1]，參數(shù)a和b為系統(tǒng)參數(shù)，其取值范圍與整數(shù)階相同。

4 有限時間同步

4.1 有限時間同步理論

本節(jié)根據(jù)Zhao等[13]提出的分數(shù)階系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性理論，對分數(shù)階Rucklidge進行有限時間同步控制。其理論敘述如下:

定理2一般的分數(shù)階系統(tǒng)滿足下列條件:

(20)

v=x(xq)T

(21)

當a>0,b>0,0

(a+b)c≤ac+bc

(22)

令式(6)為驅動系統(tǒng)，參數(shù)q=0.99，將其自變量進行變換可得:

(23)

則其對應的響應系統(tǒng)為:

(24)

u1,u2,u3是根據(jù)定理設計的控制器，驅動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)的誤差如下所示:

e1=y1-x1,e2=y2-x2,e3=y3-x3

(25)

則誤差系統(tǒng)為:

(26)

可得控制器為:

(27)

根據(jù)有限時間穩(wěn)定理論可知，系統(tǒng)在ts內是可達到同步且穩(wěn)定。

(28)

顯然，同步時間t是指數(shù)函數(shù)的形式，當q<1時，時間t隨著底數(shù)的增大而增大，即控制參數(shù)k>0時k越大，同步時間越長，反之亦然；而參數(shù)對同步時間的影響目前無法通過推導得出。

證明根據(jù)誤差系統(tǒng)和控制器，同步誤差為:

(29)

通過推導式(20)可得：

(30)

結合不等式(a+b)c≤ac+bc可得：

(31)

因此有：

(32)

□

顯然，上式的證明結果滿足定理2，也即該誤差系統(tǒng)可以在t時間內同步。

4.2 數(shù)值仿真

本節(jié)將利用Matlab模擬同步過程。取步長h=0.001，仿真時長T=6 s。為了便于觀察同步結果，初始點設為:

[x(0),y(0),z(0)]=[5,0.5,2]

[x1(0),y1(0),z1(0)]=[-5,0,-2]

取參數(shù)a=2，b=6.7，控制器的參數(shù)k=1,β=0.8，仿真結果如圖7和圖8所示。

Figure 7 Synchronization error curve圖7 同步誤差曲線

從圖7可以看出，添加控制器后2 s內，同步誤差e1,e2,e3均趨近于零。即使迭代初始誤差相當大，也不影響同步效果。從單個誤差變換情況來說，對于x變量的同步效果是最好的，起始誤差大，同步時間最短。相反地，y變量的同步效果最差，在起始誤差僅為0.5的情況下仍有較大波動，從圖8中也能觀察到此現(xiàn)象?？傮w來說，達到同步后，系統(tǒng)十分穩(wěn)定，同步時間極短。

Figure 8 State variable curve圖8 狀態(tài)變量曲線

從圖8不難看出，變量同步過程非常短，同步后的魯棒性非常好。達到同步后，穩(wěn)定性也很好。

5 結束語

對于金融領域的研究，無異于捕捉非線性系統(tǒng)的變化趨勢和對其進行有效的控制，利用二維復雜度變化圖譜可清晰地看出非線性系統(tǒng)隨參數(shù)變化的趨勢。從仿真結果不難發(fā)現(xiàn)，譜熵和C0圖譜均表明在分數(shù)階情況下系統(tǒng)的復雜度數(shù)量級更高，復雜度取決于系統(tǒng)階數(shù)和參數(shù)。同時，本文還基于有限時間穩(wěn)定性理論設計控制器對其進行同步控制，證明了該控制器的有效性。仿真結果表明，該系統(tǒng)能在較短的時間內實現(xiàn)同步。利用該方法，同樣可對任意新出現(xiàn)的分數(shù)階非線性系統(tǒng)進行同步控制，對于金融非線性系統(tǒng)的研究意義較大。