基于傅里葉曲線擬合的水下目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素解算方法?

（91388部隊(duì)41分隊(duì) 湛江 524022）

1 引言

目前對(duì)水下目標(biāo)的常見探測(cè)手段一般有磁異常探測(cè)法、聲學(xué)探測(cè)法等，水面艦船平臺(tái)對(duì)水下潛艇等目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)跟蹤時(shí)，多采用聲納設(shè)備。受限于水下聲學(xué)探測(cè)設(shè)備的自身探測(cè)精度及復(fù)雜水聲環(huán)境，對(duì)水下目標(biāo)的探測(cè)跟蹤數(shù)據(jù)往往具有誤差大、易跳變等特點(diǎn)[1]。若直接使用探測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素解算，則會(huì)放大因探測(cè)手段、水聲環(huán)境帶來的誤差，導(dǎo)致目標(biāo)航向、航速解算值跳變。鑒于傅里葉展開式收斂性及對(duì)曲線數(shù)據(jù)的擬合度較好，本文提出利用基于傅里葉曲線擬合算法水下目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素解算方法。

考慮到系統(tǒng)誤差可以通過統(tǒng)計(jì)計(jì)算補(bǔ)償，而隨機(jī)誤差一般均勻分布在真值兩側(cè)，利用基于傅里葉展開式的擬合算法，將測(cè)量值的離散點(diǎn)擬合至傅里葉展開式，進(jìn)而求取更準(zhǔn)確的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素。

2 傅里葉曲線擬合算法

曲線擬合就是根據(jù)測(cè)得的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，用解析表達(dá)式y(tǒng)=f(x,c)逼近離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，用y=f(x,c)來反映變量x與y之間的依賴關(guān)系，即在某模型下“最佳”的逼近擬合已知的離散數(shù)據(jù)。一般是計(jì)算參數(shù)c使得擬合模型與實(shí)際觀測(cè)值在各點(diǎn)的殘差ek=yk-f(xk,c)的加權(quán)平方和達(dá)到最小。傅里葉曲線擬合算法就是建立基于傅里葉展開式的曲線擬合函數(shù)，利用擬合曲線上的點(diǎn)替代原始測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)，用于對(duì)目標(biāo)的各運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行分析計(jì)算。

圖1 曲線擬合流程示意圖

2.1 水下機(jī)動(dòng)目標(biāo)測(cè)量模型

機(jī)動(dòng)目標(biāo)在水下的運(yùn)動(dòng)測(cè)量軌跡往往是非線性的[4]，受限于水下探測(cè)手段的特點(diǎn)，測(cè)量值與實(shí)際值關(guān)系如下：

W與V分別代表過程噪聲和測(cè)量誤差，數(shù)學(xué)期望均為0，方差分別為Q、R，x、y代表觀測(cè)值，且W與V非線性相關(guān)。

利用非線性函數(shù)的泰勒展開，將系統(tǒng)模型截?cái)嘀炼雾?xiàng)，忽略其余高階項(xiàng)，相比一階線性化截?cái)嗫捎行p少由于線性化引起的估計(jì)誤差。

圖2 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)示意圖

2.2 運(yùn)動(dòng)軌跡傅里葉擬合算法及流程

通常目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是連續(xù)的或者相對(duì)穩(wěn)定的，傳感器對(duì)目標(biāo)信息采樣后形成離散點(diǎn)，利用目標(biāo)時(shí)間、方位、距離、徑向速度等元素構(gòu)成目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)矩陣。以聲納位置和時(shí)間為基準(zhǔn)，對(duì)距離、方位構(gòu)成的目標(biāo)位置點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)換算，使之成為高斯坐標(biāo)點(diǎn)。將轉(zhuǎn)換后的點(diǎn)按照傅里葉公式（本文選取3階）進(jìn)行擬合，擬合后得到連續(xù)的目標(biāo)軌跡函數(shù)[7]。取任一時(shí)刻的軌跡函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則可得到此刻的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

傅里葉3階擬合公式如下：

3 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素解算

水下目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)主要由位置、速度V、航向C、加速度a等決定，數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉擬合后的運(yùn)動(dòng)要素計(jì)算如下式：

式中f'表示擬合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

擬合流程如圖3。

圖3 濾波處理流程圖

4 試驗(yàn)仿真及分析

為對(duì)上述算法性能進(jìn)行分析驗(yàn)證，使用Matlab工具模擬水下目標(biāo)航跡，并通過加入隨機(jī)觀測(cè)誤差Ri（W、V）的方式來模擬實(shí)際的測(cè)量值z(mì)i（x、y）。假設(shè)水下目標(biāo)初始段航向30°，末段做120°的機(jī)動(dòng)旋回。數(shù)據(jù)采樣周期為20s，采樣點(diǎn)數(shù)為80點(diǎn)，測(cè)量噪聲誤差 ≤0.5。

濾波前目標(biāo)理論軌跡與模擬測(cè)量軌跡如圖4。

圖4 目標(biāo)軌跡圖

對(duì)測(cè)量值z(mì)i（x、y）擬合處理后的軌跡圖如圖5。

通過計(jì)算系統(tǒng)模擬測(cè)量值z(mì)i及目標(biāo)理論軌跡一次差及擬合處理后的擬合殘差，濾波前的一次差如圖6。擬合處理前軌跡測(cè)量值的二階原點(diǎn)距約為0.41，擬合處理后目標(biāo)軌跡的二階原點(diǎn)距約為0.15（中段15點(diǎn)統(tǒng)計(jì)值）。模擬目標(biāo)探測(cè)數(shù)據(jù)擬合處理后，目標(biāo)軌跡的二階原點(diǎn)距比擬合處理前減小了約65%，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素解算精度提高約58%。通過試驗(yàn)，表明此方法可有效降低因觀測(cè)誤差導(dǎo)致的水下目標(biāo)軌跡跳變大的影響，同時(shí)可有效提高軌跡測(cè)量精度，減小水下目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素的解算誤差，為后續(xù)數(shù)據(jù)處理提供支持。

圖5 曲線擬合后目標(biāo)軌跡圖

圖6 模擬數(shù)據(jù)一次差

圖7 曲線擬合后殘差

5 擬合方法限制

圖8 高機(jī)動(dòng)目標(biāo)軌跡重疊區(qū)

根據(jù)模擬數(shù)據(jù)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在目標(biāo)做小旋回半徑的大幅度機(jī)動(dòng)時(shí)，目標(biāo)探測(cè)數(shù)據(jù)誤差與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡特征值接近。該情況將導(dǎo)致探測(cè)值出現(xiàn)重疊交叉，數(shù)據(jù)擬合過程中，擬合曲線易出現(xiàn)多個(gè)路徑，以致出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)果。因此，此方法在處理大機(jī)動(dòng)目標(biāo)數(shù)據(jù)時(shí)存在明顯限制，同時(shí)存在輸出錯(cuò)誤結(jié)果的風(fēng)險(xiǎn)。

6 結(jié)語

本文針對(duì)水下目標(biāo)軌跡測(cè)量存在的觀測(cè)誤差大且運(yùn)動(dòng)非線性的特點(diǎn)，利用傅里葉擬合函數(shù)完成了水下目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素算法設(shè)計(jì)。同時(shí)通過模擬實(shí)驗(yàn)分析，證明目標(biāo)做簡(jiǎn)單機(jī)動(dòng)航行時(shí)，基于傅里葉曲線擬合的數(shù)據(jù)處理算法能夠很好地降低目標(biāo)探測(cè)誤差，可以較為準(zhǔn)確地還原水下目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡，同時(shí)可有效減小目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素解算誤差。但是這一方法并未考慮水下目標(biāo)機(jī)動(dòng)變深情況，另外，該方法在處理小旋回半徑機(jī)動(dòng)目標(biāo)軌跡數(shù)據(jù)時(shí)存在明顯限制。下一步將研究如何將此方法應(yīng)用到水下目標(biāo)三維運(yùn)動(dòng)軌跡的處理中。