潘文歆

摘要：通過圖像加密可以保證圖像信息的安全存儲和傳輸，本文對彩色圖像首先進行小波變換，使用三維混沌系統(tǒng)和Arnold變換來對圖像對應(yīng)的低頻子帶系數(shù)矩陣和高頻子帶系數(shù)矩陣進行隨機分塊和對矩陣元素的位置進行移動與置亂，獲得對應(yīng)的加密矩陣，之后對加密矩陣使用小波逆變換，就生成了原彩色圖像的加密圖像。實驗結(jié)果說明，這種方法的密鑰空間大，密鑰的敏感度較高，可以獲得較大的加密強度。

關(guān)鍵詞：彩色圖像;三維混沌系統(tǒng);加密算法;小波變換;Arnold變換

中圖分類號：TP309.7 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2020）08-0123-03

0 引言

隨著圖像和多媒體信息的廣泛使用，保障圖像信息的安全存儲和傳輸已經(jīng)成為人們關(guān)注的一個重要方面，對此的一種有效方法是對圖像進行加密操作[1-3]。在對圖像做加密時，可以針對圖像的像素直接進行加密操作，也可以先對圖像進行一些變換例如小波變換，在此基礎(chǔ)上再進行加密操作[4]。

小波變換是把圖像的像素矩陣變換到頻域，然后對頻域的數(shù)據(jù)進行處理，來實現(xiàn)對圖像的處理，其特點是可以對圖像信號的局部細節(jié)信息進行細致分析。離散小波變換的定義如下：

設(shè)，a0是大于0的常數(shù)，離散小波為 ，這里j， kZ。對一個給定的函數(shù)f（t），它對應(yīng)的離散小波變換為：。

當信號f（t）取離散值f（k） 時，這時它的離散二進小波變換為：。

離散小波逆變換為：。

把一副圖像進行小波分解后，該圖像就變成了四個不同的部分：LL、LH、HL和HH，其中LL為圖像的近似部分即低頻部分，LH為水平方向上圖像的近似部分，HL為垂直方向上圖像的近似部分，HH為對角方向上圖像的近似部分，除了LL之外，LH，HL和HH都對應(yīng)于圖像的細節(jié)部分。

對經(jīng)過小波變換的一副彩色圖像，本文首先使用三維混沌系統(tǒng)和Arnold變換來對低頻子帶系數(shù)矩陣和高頻子帶系數(shù)矩陣進行隨機分塊，然后對這些矩陣元素的位置進行移動和置亂，來實現(xiàn)對彩色圖像的加密。

1 混沌映射

由混沌映射或混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的序列具有對初值和參數(shù)的敏感性、隨機性、遍歷性等一些獨特的性質(zhì)。當輸入的初始參數(shù)值發(fā)生微小變化時，就會引起輸出序列的值有很大的不同，差異較大;若混沌序列迭代次數(shù)越多，其序列在一定范圍內(nèi)能遍歷趨近無窮的狀態(tài)數(shù)[5-6]。本文使用如下的三維混沌系統(tǒng)，它的定義如下：

其中當λ=35，β=3和j=28時，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。把該系統(tǒng)進行時域離散化之后，得到的三個輸出序列{xn}，{yn}和{zn}都是無規(guī)律分布的混沌序列。在本文中將使用這三種混沌序列來進行彩色圖像的加密。

2 加密的過程與步驟

對給定的一幅大小為N×N圖像，可以進行多種數(shù)字化處理，并獲得一個二維離散的數(shù)字矩陣。在這種矩陣中的每個元素就代表了圖像的相關(guān)信息。如果把該矩陣中元素的位置進行移動和置亂，就可以得到一個與原圖像相比混亂無章的圖像，從而可以實現(xiàn)對圖像的加密。對元素的位置的移動和置亂，本文使用Arnold變換，該變換的數(shù)學表達式如下：

這里（x，y）和（x′，y′）分別表示一個元素在變換前和變換后的位置坐標，mod表示求余運算，它是保證與圖像對應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣在進行Arnold變換后仍然落在原先的圖像區(qū)域內(nèi)。Arnold變換的參數(shù)a，b，c和d需要滿足如下條件：|ad-bc|=1。例如，a=2，b=5，c=1，d=3。如果對一幅圖像進行多次Arnold變換，而且每一次都對參數(shù)a，b，c和d選取不同值時，就可以達到較滿意的效果。

對Arnold變換的參數(shù)值的選取，我們采用的方法如下：對參數(shù)a，b和c的值，分別從三維混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌序列{xn}，{yn}和{zn}中選取，由于這種混沌序列的值是實數(shù)，因此在選取之后需要對它們進行取絕對值和取整運算，然后再作為參數(shù)a，b和c的值。在確定了這三個參數(shù)a，b和c的值之后，通過使用表達式 |ad-bc|=1，來求出參數(shù)d的值。

對一副彩色圖像，加密的過程為：首先對原圖像進行小波變換，得到它的頻率系數(shù)矩陣;其次，對頻率系數(shù)矩陣的子矩陣進行Arnold變換，以對這些子矩陣進行置亂，實現(xiàn)對它們的加密，并由此獲得加密矩陣;第三，對加密矩陣使用小波逆變換，就生成了原彩色圖像的加密圖像。具體的算法實現(xiàn)步驟如下。

第1步：對一副給定的大小為N×N彩色圖像，通過小波變換，得到它的頻率系數(shù)矩陣。

第2步：從圖像對應(yīng)的頻率系數(shù)矩陣中提取出低頻子帶系數(shù)矩陣LL和高頻子帶系數(shù)矩陣HL、LH和HH。

第3步：使用混沌系統(tǒng)產(chǎn)生一個正整數(shù)m，其方式如下：首先使用混沌系統(tǒng)（1）產(chǎn)生三個混沌序列{xn}，{yn}和{zn}，然后從這三個序列中分別隨機選取一個值出來，并把所選出的這三個值取絕對值然后再相加，之后取整，就作為m的值。

第4步：對矩陣LL、HL、LH和HH，把每個矩陣分塊成多個即2m個子矩陣。

第5步：對上一步中所獲得的矩陣LL、HL、LH和HH的每個子矩陣，使用Arnold變換對它們進行置亂，以實現(xiàn)對它們的加密，把使用的加密密匙分別記為KeyLL，KeyHL，KeyLH和KeyHH，該加密密匙即是在Arnold變換中的參數(shù)a，b，c和d，它們是根據(jù)混沌系統(tǒng)（1）所產(chǎn)生的混沌序列來進行選取的。

第6步：把在第5步中所得到的每個經(jīng)加密的子矩陣組合起來，就構(gòu)成了LL、HL、LH和HH的加密矩陣。

第7步：對LL、HL、LH和HH的加密矩陣使用小波逆變換，就生成了原彩色圖像的加密圖像。

在算法的第5步中，由混沌系統(tǒng)（1）所產(chǎn)生的值需要進行取整操作，才能作為參數(shù)a，b，c和d的值，并且滿足 |ad-bc|=1。同時，對每一個子矩陣都設(shè)計對應(yīng)的不相同的密匙KeyLL，KeyHL，KeyLH和KeyHH，以進一步提高加密的強度。

對算法的加密圖像進行解密，解密的過程是算法的逆過程，其步驟如下：首先分別從加密圖像中提取出LL、HL、LH和HH的加密矩陣，然后使用加密的密匙KeyLL，KeyHL，KeyLH和KeyHH，以及進行Arnold逆變換，來獲得矩陣LL、HL、LH和HH的每個子矩陣，之后把這些子矩陣組合起來，得到圖像的四個子帶系數(shù)矩陣LL、HL、LH和HH，使用這四個子帶系數(shù)矩陣和小波逆變換即小波重構(gòu)來得到原彩色圖像。

3 實驗結(jié)果

我們通過MATLAB編程對算法進行了實現(xiàn)，并對一些彩色圖像進行了實驗，所使用的微型計算機的處理器和內(nèi)存分別為2.80GHz和8GB。圖1是對彩色lena圖像的實驗結(jié)果，圖1（a）是原圖像，圖1（b）是使用算法進行加密后的圖像，圖1（c）是對圖1（b）做解密之后還原的圖像。圖2（a）和圖3（a）分別是House圖像和Horse圖像，圖2（b）和圖3（b）是采用算法對原圖像進行加密后的圖像，圖2（c）和圖3（c）是對圖2（b）和圖3（b）進行解密之后還原的圖像。

如上的這些實驗結(jié)果表明，本文設(shè)計的算法具有較高的加密強度，可以取得良好的加密效果。由于在對彩色圖像的加密過程中對原始圖像進行了分塊，對各個子圖像所對應(yīng)的矩陣LL、HL、LH和HH采用了不同的多個密匙進行置亂，使圖像的各方向相鄰像素的相關(guān)性系數(shù)達到很小，接近于0，從而大大增加了加密的強度。

由于上文算法是同時對四個矩陣LL、HL、LH和HH進行操作和加密處理，這就避免了常規(guī)方法中只對矩陣LL進行加密處理所帶來的加密強度不高的問題，因此本文的算法也具有較強的抗攻擊能力。此外，在采用混沌系統(tǒng)的圖像加密的早期研究中，人們主要使用低維混沌系統(tǒng)，由于這種混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡單而且參數(shù)較少，導致了相應(yīng)加密算法的密鑰空間比較小并且容易被攻破。本文對彩色圖像的加密采用的三維混沌系統(tǒng)，由于具有較大的參數(shù)空間和較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，因此可以使得加密算法的密鑰空間得到擴大，從而可以進一步提高密鑰的敏感度。

4 結(jié)語

對彩色圖像的加密，本文對圖像先進行小波變換，然后使用三維混沌系統(tǒng)和Arnold變換來對低頻子帶系數(shù)矩陣和高頻子帶系數(shù)矩陣進行隨機分塊和對矩陣元素的位置進行移動和置亂，這種方法由于采用了具有較大的參數(shù)空間和較復(fù)雜結(jié)構(gòu)的三維混沌系統(tǒng)，從而可以提高密鑰的敏感度并增大加密的強度。

參考文獻

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