基于Python與ANSYS的達(dá)芬方程計(jì)算程序

盛慶軻 梁海琴

摘要：達(dá)芬方程作為典型的非線性振動(dòng)方程，可以直觀地用來(lái)說(shuō)明與線性振動(dòng)的區(qū)別。分別采用有限元程序ANSYS和編程語(yǔ)言Python對(duì)達(dá)芬方程進(jìn)行求解。針對(duì)ANSYS界面操作效率低、數(shù)據(jù)后處理能力不足等問(wèn)題。以PyQt5為平臺(tái)，封裝ANSYS和Python的求解以及數(shù)據(jù)處理過(guò)程，并制定可視化操作界面。程序包含達(dá)芬方程參數(shù)輸入、ANSYS計(jì)算、Python計(jì)算和數(shù)據(jù)后處理四個(gè)功能。以多組系統(tǒng)參數(shù)為例，使用該程序計(jì)算達(dá)芬方程，計(jì)算結(jié)果表現(xiàn)了非線性振動(dòng)中初值影響、多穩(wěn)態(tài)解和諧波響應(yīng)運(yùn)動(dòng)特性。

關(guān)鍵詞：達(dá)芬方程;非線性振動(dòng);有限元;可視化設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2020）08-0076-04

0 引言

機(jī)載設(shè)備往往由多個(gè)零部件構(gòu)成，隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，零件自身的復(fù)雜性和連接關(guān)系也趨于復(fù)雜。目前對(duì)于機(jī)載設(shè)備的振動(dòng)強(qiáng)度主要采用有限元軟件進(jìn)行計(jì)算校核，然而有限元的振動(dòng)計(jì)算是基于小變形線性理論。當(dāng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、振幅較小、連接關(guān)系變化不大時(shí)，按線性理論是計(jì)算可以得到較為滿意的結(jié)果[1]。

一切力學(xué)問(wèn)題在本質(zhì)上都屬于非線性問(wèn)題。對(duì)于非線性系統(tǒng)，響應(yīng)和輸出之間并不是線性關(guān)系，按照線性理論計(jì)算得到的結(jié)果精度可能不足，甚至導(dǎo)致本質(zhì)上的錯(cuò)誤。非線性振動(dòng)會(huì)出現(xiàn)幅頻曲線彎曲、諧波、分岔混沌共振等線性振動(dòng)不存在的現(xiàn)象[2]。在非線性振動(dòng)振動(dòng)理論研究中，具有代表性的方程有達(dá)芬方程、Van-der-Pol方程等[3]。

達(dá)芬方程對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)表達(dá)式如式（1）所示，也稱為達(dá)芬系統(tǒng)，其中剛度包含立方項(xiàng)。

（1）

其中：x代表位移，m代表質(zhì)量，c代表阻尼，k1代表線性剛度，k2代表非線性剛度，f（t）代表外載荷。

ANSYS的腳本語(yǔ)言APDL能夠?qū)崿F(xiàn)有限元模型的參數(shù)化建模計(jì)算功能，但其可視化程度較低，一般基于其他編程語(yǔ)言對(duì)其進(jìn)行二次界面開(kāi)發(fā)。Python是一種面向?qū)ο蟮膭?dòng)態(tài)解釋型語(yǔ)言，應(yīng)用領(lǐng)域廣泛[4]。Qt是由C++語(yǔ)言編寫的跨平臺(tái)GUI庫(kù)，PyQt5則是將Python語(yǔ)言與Qt融合，具有Python開(kāi)發(fā)效率高的特點(diǎn)[5]。

本文以PyQt5為平臺(tái)，基于Python對(duì)ANSYS求解達(dá)芬方程的過(guò)程進(jìn)行封裝并設(shè)計(jì)可視化操作程序，同時(shí)加入了基于Python科學(xué)計(jì)算庫(kù)的達(dá)芬方程計(jì)算和結(jié)果顯示功能。

1 計(jì)算程序的功能設(shè)計(jì)

達(dá)芬方程計(jì)算程序主要包含四個(gè)功能，分別是參數(shù)輸入、提交ANSYS計(jì)算、提交Python計(jì)算和結(jié)果顯示模塊。由于Python語(yǔ)言自身的特點(diǎn)，許多功能的實(shí)現(xiàn)需要引用Python標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)和第三方庫(kù)。程序的總體設(shè)計(jì)框圖如圖1所示。

（1）參數(shù)輸入包括質(zhì)量系數(shù)、阻尼系數(shù)、剛度線性系數(shù)和立方項(xiàng)系數(shù)、載荷幅值和頻率、初始位移和速度、求解時(shí)間和步長(zhǎng)。（2）提交ANSYS計(jì)算前提是用戶電腦需要裝有ANSYS軟件，然后設(shè)置ANSYS.exe的啟動(dòng)位置、工作目錄和APDL文件名即可，程序會(huì)在指定目錄下生成文件并且調(diào)用ANSYS主程序進(jìn)行求解。（3）提交Python計(jì)算只需前面的參數(shù)輸入完畢后，利用Python科學(xué)計(jì)算庫(kù)求解即可。（4）對(duì)于非線性微分方程，一般很難找到精確的解析解，大都是從定性和定量?jī)蓚€(gè)方向來(lái)研究。相平面法[6]是常用的定性方法之一，它是描述系統(tǒng)速度與位移的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以直接判斷方程解的平衡性、周期性和穩(wěn)定性等。

1.1 基于Python實(shí)現(xiàn)ANSYS二次開(kāi)發(fā)

利用Python對(duì)ANSYS二次開(kāi)發(fā)的主要過(guò)程分為提取界面輸出參數(shù)及相關(guān)信息、生成指定參數(shù)下的APDL文件和提交ANSYS計(jì)算。

1.1.1 APDL命令流文件的生成

在APDL建模命令流之前引入相關(guān)的參數(shù)化變量，然后對(duì)該字符串進(jìn)行正確的格式化，即可得到特定輸入下特定的ADPL文件。

本文編寫的APDL腳本程序主要采用質(zhì)量單元mass21和非線性彈簧單元combin39，分析類型為瞬態(tài)非線性，根據(jù)初始條件中的位移和速度是否為0，生成不同的APDL命令流以模擬相應(yīng)的初始條件。

1.1.2 Python調(diào)用ANSYS程序

首先在計(jì)算程序設(shè)置APDL文件的存儲(chǔ)位置和文件名稱，程序即可在指定目錄下生成2.1中描述的APDL文件，主要代碼如下所示：

file = str #獲取存儲(chǔ)位置的絕對(duì)路徑

with open （file，） as f：? #打開(kāi)文件

f.write（s）? #寫入2.1中的字符串

接下來(lái)需要設(shè)置啟動(dòng)ANSYS.exe的路徑，依次生成執(zhí)行批處理的Python文件。在Python中采用OS標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)完成系統(tǒng)操作，并且依據(jù)OS庫(kù)執(zhí)行的接口可以實(shí)現(xiàn)跨平臺(tái)訪問(wèn)。生成批處理文件的代碼如下所示：

最后再利用os.system命令運(yùn)行上述的批處理文件，即可完成Python對(duì)ANSYS的調(diào)用計(jì)算。

1.2 提交Python計(jì)算

當(dāng)達(dá)芬方程的系統(tǒng)參數(shù)和求解參數(shù)輸入完成后，即可提交Python進(jìn)行求解。整個(gè)過(guò)程基于Python的科學(xué)計(jì)算庫(kù)[7]Numpy和Scipy，求解達(dá)芬方程采用Scipy庫(kù)的odeint函數(shù)，該函數(shù)是基于龍格-庫(kù)塔算法編寫的。

1.3 結(jié)果顯示

達(dá)芬方程計(jì)算程序的結(jié)果顯示功能是基于Python科學(xué)計(jì)算庫(kù)Matplotlib完成的，通過(guò)讀取ANSYS和Python的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行顯示。

2 可視化界面設(shè)計(jì)

達(dá)芬方程計(jì)算程序的界面設(shè)計(jì)基于Python的第三方庫(kù)—PyQt5，基于PyQt5的界面與邏輯分離方法，利用Qt Designer設(shè)計(jì)程序頁(yè)面，主程序編寫各控件的功能以及相互之間的信號(hào)傳遞函數(shù)等實(shí)現(xiàn)整個(gè)程序的開(kāi)發(fā)，最終效果如圖2和圖3所示。

（1）達(dá)芬方程參數(shù)輸入。參數(shù)輸入采用Qt內(nèi)置的Qline Edit本文輸入框來(lái)接收，并添加了數(shù)據(jù)檢測(cè)功能。（2）ANSYS計(jì)算。考慮到ANSYS計(jì)算達(dá)芬方程是一個(gè)瞬態(tài)非線性分析類型，計(jì)算步長(zhǎng)會(huì)計(jì)算結(jié)果的收斂性和時(shí)長(zhǎng)影響較大，程序能夠根據(jù)用戶輸入的達(dá)芬方程參數(shù)給出一個(gè)范圍供用戶選擇;為了能夠合理地利用計(jì)算機(jī)資源，程序會(huì)基于Psutil庫(kù)獲取CPU的邏輯個(gè)數(shù)，給出范圍供用戶選擇。這兩個(gè)功能都調(diào)用QSlider滑動(dòng)條類完成。（3）Python計(jì)算。這部分由一個(gè)QButton按鈕類和QLabel標(biāo)簽類組成，當(dāng)提交Python計(jì)算完成時(shí)，標(biāo)簽將會(huì)顯示“計(jì)算完成”。（4）結(jié)果顯示。在PyQt5中引入Matplotlib庫(kù)實(shí)現(xiàn)對(duì)計(jì)算結(jié)果的查看。并采用QtableView表格類讀取達(dá)芬方程的時(shí)域計(jì)算結(jié)果，并提供保存功能，可對(duì)結(jié)果進(jìn)行更深入的分析與繪制圖形。

3 實(shí)例分析

本節(jié)以具體數(shù)據(jù)為例，利用本程序計(jì)算達(dá)芬方程并根據(jù)結(jié)果描述非線性振動(dòng)的一些特點(diǎn)。

受迫振動(dòng)是指系統(tǒng)在周期性的外力作用下所發(fā)生的的振動(dòng)。以表1所示的三組方程參數(shù)為例，說(shuō)明達(dá)芬系統(tǒng)受迫振動(dòng)的一些特點(diǎn)，計(jì)算受迫振動(dòng)時(shí)需要一定的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)，可根據(jù)響應(yīng)曲線大致判斷響應(yīng)的穩(wěn)定性。

對(duì)于線性振動(dòng)，受迫振動(dòng)響應(yīng)必然是與載荷相同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。當(dāng)系統(tǒng)本身和載荷參數(shù)確定后，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)就已確定，響應(yīng)幅A值與載荷頻率呈現(xiàn)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

系統(tǒng)2-1的計(jì)算結(jié)果如圖4所示，可以看出當(dāng)初始位移不同時(shí)，達(dá)芬方程受迫振動(dòng)的幅值可能不同。即達(dá)芬系統(tǒng)的響應(yīng)幅值與頻率不再呈現(xiàn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是非線性振動(dòng)的多穩(wěn)定解現(xiàn)象。

系統(tǒng)2-2的計(jì)算結(jié)果如圖4所示，可以看出當(dāng)初始位移為1或3時(shí)（這兩者的差異是由于初值不同造成的相位差導(dǎo)致），幅值不僅與初值為5不同，而且已經(jīng)不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

取初始位移等于1和5，進(jìn)一步查看系統(tǒng)2-2穩(wěn)態(tài)階段的相平面圖，如圖5所示。從相平面圖中可以看出初始位移為1時(shí)相軌跡已經(jīng)從橢圓發(fā)生了畸變，這是非線性振動(dòng)的諧波現(xiàn)象。

4 結(jié)論

（1）以非線性振動(dòng)方程—達(dá)芬方程為研究對(duì)象，基于有限元程序ANSYS和編程語(yǔ)言Python編寫了可視化計(jì)算程序。該程序能夠快速的完成不同參數(shù)下達(dá)芬方程的求解與結(jié)果顯示，降低了軟件使用難度并提高分析效率。（2）介紹了基于Python語(yǔ)言對(duì)ANSYS二次開(kāi)發(fā)的主要步驟，以及該程序的主要功能和結(jié)構(gòu)。（3）以具體參數(shù)為例，說(shuō)明非線性振動(dòng)與線性振動(dòng)的區(qū)別，包括初值影響、多穩(wěn)定解和諧波運(yùn)動(dòng)。

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