RS碼的性能分析與仿真

魯芳旭 劉翠海

摘要：主要介紹RS碼的編譯碼原理，并基于Matlab進行仿真實現(xiàn)，同時構(gòu)建了含有BPSK調(diào)制的通信系統(tǒng)，對有無編碼的通信系統(tǒng)進行仿真和性能分析，發(fā)現(xiàn)該碼型對通信系統(tǒng)的傳輸特性有一定程度的改善。通過比較分析，對該碼型的糾錯性能有了更全面的認識，有利于更好的研究和應(yīng)用RS碼。

關(guān)鍵詞：信道編碼;RS碼;糾錯性能

中圖分類號：TN911.22 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2020）08-0025-03

0 引言

RS碼是一類糾錯能力很強的多進制BCH碼[1]，其糾錯能力和編碼效率在線性分組碼中是最高的。RS碼特別適合用于多進制調(diào)制的場合[2]，同樣適用于在衰落信道中糾正突發(fā)性錯碼[3]。與此同時，RS碼能用來構(gòu)造其他碼類，如級聯(lián)碼。由于其具有以上優(yōu)良性能，目前已被廣泛應(yīng)用在各種通信系統(tǒng)和計算機存儲系統(tǒng)中。

1 RS碼的編譯碼原理及數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

RS碼是一種特殊的多進制BCH碼。設(shè)p為素數(shù)，q=pm，那么由伽羅華域GF（q）產(chǎn)生的碼就稱作q進制碼。二進制BCH碼的碼長為n=2m-1，若要糾正t個錯碼，則需要2t個監(jiān)督碼元。同理在q進制碼中，碼長為n=qs-1，若要糾正t個錯碼，則需要2st個監(jiān)督碼元，當(dāng)s=1時的q元BCH碼稱為RS碼，屬于非二元BCH碼。

1.1 RS碼的編碼

RS碼是循環(huán)碼的一種，因此其編碼方式與一般循環(huán)碼的編碼方式一致。

一個（n，k）RS碼的生成多項式g（x）為：

g（x）=（x-α）（x-α2）…（x-a2t）=（x-αi）

其中αi是伽羅華域GF（2m）={0，α0，α1，…，α2m-2}中的一個元素，t為RS碼能夠糾正的錯碼個數(shù)。

信息多項式m（x）為：

m（x）=mk-1xk-1+mk-2xk-2+…+m1x1+m0

用m（x）除以g（x），所得余式為校驗多項式h（x），將h（x）置于m（x）之后，即生成了RS碼。

編碼后的碼字多項式c（x）為：

c（x）=xn-km（x）+h（x）=xn-km（x）+[xn-km（x）]modg（x）

1.2 RS碼的譯碼

RS碼是一種非二元循環(huán)碼，它不再具備特征為2的域運算等性質(zhì)[4]，本文RS碼譯碼算法基于PGZ譯碼算法，主要分為以下4步：

1.2.1 計算伴隨式sk

RS碼的伴隨式是接收碼字r（x）除以生成式g（x）所得的余式。對于RS碼共有2t個伴隨式。

假設(shè)r（x）=r0+r1x+…+rnxn-1

則錯誤圖樣為：

e（x）=r（x）-c（x）=e0+e1x+…+en-1xn-1

設(shè)e（x）含有v個錯誤（非零元素）且分別位于 ，則e（x）=++…+

RS碼的2t個伴隨式通過把αi代入r（x）得出，即：

若sk=0，則認為接收無誤，否則由sk找出錯誤圖樣。

1.2.2 計算錯誤位置多項式σ（x）

由于上式直接求解比較困難，故轉(zhuǎn)化為-組線性方程進行求解。令Xi=αji（i=1，2，…，v）表示第i個錯誤位置數(shù)，e1，e2，…，ev表示錯誤值。定義錯誤位置多項式σ（x），它的根是錯誤位置數(shù)的倒數(shù)，即：

σ（x）=（1+X1x）（1+X2x）…（1+Xvx）=σ0+σ1x+ σ2x2+…+σvxv

計算σ（x）的通用方法是BM迭代算法，通過Matlab編程即可實現(xiàn)。

1.2.3 確定錯誤位置

計算得到上式的系數(shù)后，令σ（x）=0求得其根，就可以得到錯誤位置。由于分解因式的復(fù)雜性，一般通過錢氏搜索法求解σ（x）的根，得到錯誤位置數(shù)，確定出錯誤位置。

接受碼字由高位至低位逐位譯碼，為了譯rn-1，碼器測試αn-1是否為錯誤位置數(shù)，也就是檢查其倒數(shù)α是否為σ（x）的根，若α是σ（x）的根，則：

1+σ1α+σ2α2+…+σvαv=0

因此，譯碼器計算σ1α，σ2α2，…，σvαv，若滿足上式，則αn-1為錯誤位置數(shù)，rn-1為錯誤碼元，這樣就由錯誤位置數(shù)確定了錯誤位置。

1.2.4 計算錯誤數(shù)值

上一步確定了錯誤位置，接下來需要計算錯誤數(shù)值，設(shè)z（x）=1+（s1+σ1）x+（s1+σ1s1+σ2）x2+…+（sv+σ1sv-1+ …+σv-1s1+σv）xv

求解后根據(jù)錯誤位置和錯誤數(shù)值得出錯誤圖樣e（x），根據(jù)發(fā)送碼字c（x）=e（x）+r（x），完成譯碼。

2 仿真實現(xiàn)

2.1 伽羅華域及其基本運算的仿真實現(xiàn)

前面介紹的RS碼的編譯碼數(shù)學(xué)模型都是在伽羅華域內(nèi)進行，因此在仿真實現(xiàn)中首先要構(gòu)造伽羅華域。由于RS碼的編譯碼進行了大量多項式元素的加法、乘法、倒數(shù)運算，這些運算均在伽羅華域GF（2m）中進行，因此其加法運算對應(yīng)的是模2運算，其乘法運算對應(yīng)的是指數(shù)模2m相加，上述運算可以通過編程實現(xiàn)。

2.2 RS碼編碼的仿真實現(xiàn)

編碼方式選擇RS（15，11），利用11個符號得到長度為n=15能糾正t=2個錯誤的編碼，碼元符號取自域GF（24），即m=4。其編碼的仿真實現(xiàn)調(diào)用了Matab函數(shù)polydiv_rs，該函數(shù)的矢量參數(shù)表示多項式各項的系數(shù)，按照多項式次數(shù)從低到高的順序排列。

2.3 RS碼譯碼的仿真實現(xiàn)

相較于編碼，RS 碼的譯碼過程較為復(fù)雜，通過前文介紹已知主要分為四個步驟：（1）計算伴隨式sk;（2）計算錯誤位置多項式σ（x）;（3）確定錯誤位置;（4）計算錯誤數(shù)值。其中第（2）步的實現(xiàn)基于BM算法，第（3）步的實現(xiàn)基于錢氏搜索法，均可通過Matlab編程來完成。

2.4 仿真結(jié)果

本文選擇了二進制相位調(diào)制（BPSK），用高斯信號源仿真噪聲，在該通信系統(tǒng)下，觀察有無RS碼兩種條件下的信噪比-誤碼率（SNR-BER）曲線圖，得到仿真結(jié)果由圖2所示。

3 結(jié)語

本文較為詳盡的介紹了RS碼的編譯碼原理，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用Matlab平臺完成了RS碼編譯碼的仿真實現(xiàn)。與此同時，構(gòu)建了含有BPSK調(diào)制的通信系統(tǒng)，通過對有無RS碼的通信系統(tǒng)進行仿真和性能分析，發(fā)現(xiàn)在相同SNR條件下，有RS碼的BER明顯低于無RS碼的BER，說明RS碼能有效提高信號傳輸?shù)目煽啃?，這為合理設(shè)計RS碼的編譯碼方案提供了理論基礎(chǔ)，更為進一步研究和利用RS碼的抗突發(fā)干擾能力提供了有益參考。

參考文獻

[1] 樊昌信，曹麗娜.通信原理（第7版）[M].北京：國防工業(yè)出版社.2014：375.

[2] 劉翠海，溫東，姜波.無線電通信系統(tǒng)仿真及軍事應(yīng)用[M].北京：國防工業(yè)出版社，2013：141.

[3] 鄭相全，段文.Reed-Solomon碼性能增強譯碼算法[J].無線電工程，2019，49（2）：128-132.

[4] 郭潔，唐磊.Reed-Solomon碼的編譯碼實現(xiàn)及仿真[J].中國科技縱橫，2009（11）：622-625.