基于變形熱的NEPE推進(jìn)劑本構(gòu)模型

宋 峻

(中國船舶726研究所,上海 200025)

目前,固體火箭被廣泛地運(yùn)用到火箭彈、戰(zhàn)術(shù)火箭武器和運(yùn)載火箭助推中。通常,火箭武器在發(fā)射過程中都會(huì)承受很大的軸向過載,這對于固體推進(jìn)劑藥柱的結(jié)構(gòu)完整性是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。然而,固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)中藥柱在發(fā)射過程中的結(jié)構(gòu)完整性是固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作的前提。為了準(zhǔn)確分析固體推進(jìn)劑藥柱在高應(yīng)變率下的結(jié)構(gòu)完整性,需要了解推進(jìn)劑在高應(yīng)變率下的力學(xué)特性和建立準(zhǔn)確的本構(gòu)模型。因此,眾多研究者通過分離式霍普金森裝置(split Hopkinson pressure bar,SHPB)研究固體推進(jìn)劑在高應(yīng)變率下的力學(xué)特性[1-4]。

在進(jìn)行SHPB實(shí)驗(yàn)中,固體推進(jìn)劑材料試件在受到入射桿撞擊后,固體推進(jìn)劑試件有明顯的發(fā)熱現(xiàn)象。多次實(shí)驗(yàn)中,觸摸推進(jìn)劑試件表面,都會(huì)感覺到明顯的溫度升高,這說明這種現(xiàn)象并不是偶然發(fā)生的,然而卻很少有研究人員對此現(xiàn)象進(jìn)行解釋和分析。“變形熱效應(yīng)”理論可以很好地用于解釋固體推進(jìn)劑材料在SHPB實(shí)驗(yàn)中的溫升現(xiàn)象。非理想彈性材料受到外力的作用時(shí)會(huì)發(fā)生變形,外力會(huì)做不可回復(fù)的塑性功,塑性功會(huì)以熱能的方式釋放出來,從而改變材料內(nèi)部溫度。在材料變形程度很大或者變形速度極快的情況下,材料內(nèi)部的溫度改變會(huì)非常明顯,這就是“變形生熱效應(yīng)”。固體推進(jìn)劑是一種典型的黏彈性材料,在沖擊載荷下,固體推進(jìn)劑材料變形速率極快,會(huì)迅速將試件壓潰,所以沖擊過程對推進(jìn)劑試件所做的功造成的變形是無法回復(fù)的。發(fā)生這一過程的時(shí)間又極短,這樣便造成生成熱的速率遠(yuǎn)大于流失熱的速率,可以近似于絕熱過程,由此便會(huì)導(dǎo)致固體推進(jìn)劑材料自身溫度急劇升高,固體推進(jìn)劑材料表面會(huì)表現(xiàn)出發(fā)熱現(xiàn)象[5]。

大多數(shù)研究人員在研究材料動(dòng)態(tài)力學(xué)本構(gòu)模型時(shí),對于SHPB等高應(yīng)變率實(shí)驗(yàn)沒有考慮材料溫升對材料力學(xué)響應(yīng)的影響,認(rèn)為材料變形中的溫度場是穩(wěn)態(tài)的(即材料內(nèi)部溫度與外界環(huán)境溫度一致)[6-7]。固體推進(jìn)劑是屬于典型的黏彈性材料,沖擊變形過程中的外力做的功所引起的溫升對固體推進(jìn)劑力學(xué)性能有顯著的軟化作用。在高應(yīng)變率加載下,實(shí)驗(yàn)時(shí)間非常短,短時(shí)間的熱流失可以忽略,由此得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線可以認(rèn)為是絕熱曲線,且隨著應(yīng)變率的升高,材料的溫升也會(huì)隨著升高[8],溫升產(chǎn)生的軟化效應(yīng)對固體推進(jìn)劑力學(xué)響應(yīng)的影響勢必更加明顯。因此,固體推進(jìn)劑的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型還應(yīng)該考慮固體推進(jìn)劑在高應(yīng)變率下的變形溫升對其力學(xué)性能的影響,這樣才能準(zhǔn)確地描述固體推進(jìn)劑在高應(yīng)變率下的動(dòng)態(tài)力學(xué)響應(yīng)。

1 考慮變形生熱的本構(gòu)模型

1.1 黏-超彈本構(gòu)模型的建立

由以往的研究可知,固體推進(jìn)劑具有明顯的黏彈特性,又具有較大的變形。這種力學(xué)特性常常不能通過黏彈性本構(gòu)模型進(jìn)行準(zhǔn)確的描述,因此,研究人員引入超彈性本構(gòu)模型與黏彈性模型結(jié)合,從而構(gòu)建黏-超彈本構(gòu)模型來描述固體推進(jìn)劑在高應(yīng)變率下的力學(xué)行為。對于固體推進(jìn)劑黏彈性模型,具有2個(gè)Maxwell單元的朱王唐(ZWT)模型[9]被研究人員廣泛應(yīng)用,因?yàn)樗且环N可以表示高應(yīng)變率和低應(yīng)變率下材料力學(xué)行為的非線性黏彈性本構(gòu)模型,其一維形式如下:

(1)

式中:右邊第一項(xiàng)fe(ε)=E0ε+aε2+bε3,為非線彈性平衡響應(yīng)單元,其中,E0,a,b為對應(yīng)的彈性常數(shù),ε為應(yīng)變;第一個(gè)積分項(xiàng)表示材料在低應(yīng)變率下的黏彈性響應(yīng),第二個(gè)積分項(xiàng)表示材料在高應(yīng)變率下的黏彈性響應(yīng);E1,E2分別為低頻Maxwell單元和高頻Maxwell單元的彈性常數(shù);τ1,τ2分別為低頻Maxwell單元和高頻Maxwell單元的松弛時(shí)間。

在高應(yīng)變率加載條件下,由于實(shí)驗(yàn)時(shí)間非常短,遠(yuǎn)小于低頻Maxwell單元中的松弛響應(yīng)時(shí)間,因此,在高應(yīng)變率加載實(shí)驗(yàn)中,低頻Maxwell單元可以被近似為彈性常數(shù)為E1的簡單彈簧,則式(1)可以簡化為

(2)

式中:σe(ε)=fe(ε)+E1(ε),為非線彈性平衡響應(yīng)。

為了描述NEPE推進(jìn)劑大變形的特性,需要對ZWT本構(gòu)模型進(jìn)行修正,將其非線彈性體部分替換為一個(gè)超彈響應(yīng)單元。選擇兩參數(shù)的Mooney-Rivlin[10]超彈模型代替非線性彈性項(xiàng)σe(ε),即

(3)

λ=1-εeng

(4)

將上述的超彈響應(yīng)部分式(3)和ZWT高頻響應(yīng)單元式(2)結(jié)合,即構(gòu)成黏-超彈本構(gòu)模型:

(5)

1.2 沖擊生熱計(jì)算方法

根據(jù)熱傳導(dǎo)理論,應(yīng)變和溫度之間的關(guān)系可以表示為

(6)

(7)

對式(7)積分,可以得到溫升表達(dá)式:

(8)

固體推進(jìn)劑試件在變形中所做的功都轉(zhuǎn)化為熱,即取β=1[5],由此變形生熱計(jì)算公式為

(9)

由于不能準(zhǔn)確確定NEPE推進(jìn)劑在高應(yīng)變率下的屈服點(diǎn),且如果對彈性和塑性分段也會(huì)導(dǎo)致本構(gòu)模型的分段,增加了復(fù)雜程度。因此,采用式(9)計(jì)算NEPE推進(jìn)劑材料在高應(yīng)變率加載下的溫升將存在一定程度的困難,為了計(jì)算的簡單,需要對式(9)的計(jì)算方法進(jìn)行一定程度的簡化。在高應(yīng)變率壓縮實(shí)驗(yàn)中,NEPE推進(jìn)劑的初始彈性段應(yīng)變相對于總應(yīng)變來說所占的比例很小,而且這一段初始彈性應(yīng)變相對應(yīng)的應(yīng)力值也相對較小。因此這里為了計(jì)算的簡單,采用不區(qū)分彈性與塑性階段的方法,用整個(gè)應(yīng)變段的積分結(jié)果來計(jì)算溫升,最終可以得到NEPE推進(jìn)劑材料沖擊加載變形生熱溫升理論計(jì)算公式[5]:

(10)

1.3 考慮變形生熱的本構(gòu)模型

為了準(zhǔn)確表述在沖擊加載下固體推進(jìn)劑變形引起的溫度升高對固體推進(jìn)劑力學(xué)行為造成的軟化影響,參照J(rèn)-C模型中考慮溫度的形式,本文引入熱軟化函數(shù)f(T)對式(5)所示的黏-超彈模型進(jìn)行修正,即σtrue,T=f(T)σtrue,其中,σtrue,T表示考慮溫升影響的真實(shí)應(yīng)力。軟化函數(shù)f(T)的形式表示為

f(T)=1-T*m

(11)

式中:m為試件材料的熱軟化系數(shù),T*為無量綱化的溫度項(xiàng),即T*=ΔT/T0,T0為沖擊加載實(shí)驗(yàn)初始溫度,本文實(shí)驗(yàn)初始溫度為293.15 K。

2 NEPE推進(jìn)劑SHPB實(shí)驗(yàn)

圖1為分離式霍普金森實(shí)驗(yàn)裝置,主要包括高壓氣炮、子彈桿、入射桿和透射桿等。分離式霍普金森壓桿裝置的實(shí)驗(yàn)原理為[12]:首先,利用空氣壓縮機(jī)往前端的高壓氣炮中充入高壓氣體,高壓氣體推動(dòng)子彈桿加速。然后,子彈桿以一定的初始速度沖出炮口與入射桿撞擊,給予入射桿一定的沖擊能量,在入射桿的被撞擊端產(chǎn)生壓縮波。最后,入射桿也以一定速度撞擊固體推進(jìn)劑試件。由于入射桿和固體推進(jìn)劑2種材料的橫截面以及阻抗不同,壓縮波在兩者的接觸面既會(huì)發(fā)生透射現(xiàn)象又會(huì)發(fā)生反射現(xiàn)象,其中小部分壓縮波會(huì)反射形成反射波返回到入射桿中,剩下的壓縮波信號(hào)則會(huì)穿過固體推進(jìn)劑進(jìn)入透射桿中形成透射波。如果在入射桿和透射桿中分別貼上半導(dǎo)體應(yīng)變片,便可以測量到入射桿上的入射波信號(hào)和反射波信號(hào)以及透射桿上的透射波信號(hào)。對測試系統(tǒng)得到的信號(hào),采用Matlab程序進(jìn)行處理,即可獲得固體推進(jìn)劑材料在高應(yīng)變率壓縮加載條件下的真實(shí)應(yīng)力-工程應(yīng)變曲線。調(diào)節(jié)輸入高壓氣炮中的壓力,可以獲得不同高應(yīng)變率下固體推進(jìn)劑的壓縮力學(xué)響應(yīng)。

圖1 SHPB試驗(yàn)裝置實(shí)物圖

(12)

(13)

(14)

式中:c0為桿中彈性波速;L0為試樣的原始長度;A,As分別為入射桿和推進(jìn)劑試件的橫截面積;E3為壓桿的彈性模量;εr(t),εt(t)分別為反射波、透射波的應(yīng)變值。

為了驗(yàn)證SHPB實(shí)驗(yàn)的有效性,需要檢測試件兩側(cè)的應(yīng)力是否平衡。圖2給出了通過“二波法”獲取的理論投射應(yīng)變和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比曲線,可以看出理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果基本吻合,這說明實(shí)驗(yàn)中試件兩端的應(yīng)力基本相當(dāng),因而實(shí)驗(yàn)結(jié)果是可靠的。

圖2 應(yīng)力平衡檢驗(yàn)結(jié)果

NEPE推進(jìn)劑試件尺寸如圖3所示,其中管狀試件的外徑2r1=10 mm,內(nèi)徑2r2=3 mm,固體推進(jìn)劑試件長度L=2.5 mm。調(diào)節(jié)輸入氣炮的壓力,可以得到1500 s-1,2 500 s-1,3 500 s-1,4 500 s-14個(gè)應(yīng)變率下NEPE推進(jìn)劑真實(shí)應(yīng)力-工程應(yīng)變曲線。對于同一應(yīng)變率加載條件,獲取3組有效實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),最后取平均值,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖3 NEPE推進(jìn)劑試件示意圖

圖4 NEPE推進(jìn)劑壓縮真實(shí)應(yīng)力-工程應(yīng)變曲線

3 本構(gòu)模型參數(shù)確定及驗(yàn)證

3.1 溫升函數(shù)的擬合

圖5 不同應(yīng)變率下溫升函數(shù)擬合結(jié)果

3.2 本構(gòu)模型材料參數(shù)的確定

對黏-超彈本構(gòu)模型參數(shù)的確定,仍然利用1 500 s-1,2 500 s-1,3 500 s-1實(shí)驗(yàn)結(jié)果,取C1=8.20,C2=-1.025 6,E2=84.859 6,τ2=0.000 45和m=2.728 9,擬合結(jié)果如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)曲線擬合結(jié)果

3.3 本構(gòu)模型的驗(yàn)證

根據(jù)前文參數(shù)結(jié)果,得到考慮變形生熱的黏-超彈本構(gòu)模型的具體形式:

將4 500 s-1的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入到本構(gòu)模型中,得到理論預(yù)測曲線,與實(shí)驗(yàn)曲線的對比結(jié)果如圖7所示,可以發(fā)現(xiàn)該模型的預(yù)測效果很好,可以很好地反映NEPE推進(jìn)劑在變形較大時(shí)的軟化情況。

圖7 考慮變形生熱的黏-超彈本構(gòu)模型預(yù)測曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的對比

4 結(jié)論

通過沖擊載荷下的理論溫升計(jì)算方法,得到了不同應(yīng)變率和應(yīng)變下的理論溫升曲線,并將其擬合為應(yīng)變相關(guān)和應(yīng)變率相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)代入到本構(gòu)模型中。利用NEPE推進(jìn)劑的SHPB實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),獲取了黏-超彈本構(gòu)模型參數(shù),最后利用4 500 s-1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對該模型進(jìn)行了驗(yàn)證,結(jié)果表明,該模型可以很好地預(yù)測NEPE推進(jìn)劑在沖擊載荷下較大應(yīng)變時(shí)的軟化現(xiàn)象,這表明在研究聚合物沖擊載荷條件下本構(gòu)模型時(shí)應(yīng)該考慮沖擊生熱對聚合物造成的軟化影響。