基于統(tǒng)計復(fù)雜度的分?jǐn)?shù)階欠阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振研究

黨蒲妮，孫中奎，呂錦鋒

（1.航空工業(yè)第一飛機設(shè)計研究院，西安710089；2.西北工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，西安 710072）

在自然界和工程社會中，“噪聲” 通常被認(rèn)為是對系統(tǒng)有害的。直到1981 年，著名的意大利科學(xué)家Benzi 等人在探究地球冷暖氣象問題時，首次推出 “隨機共振” 這一概念[1]，并首次闡述了噪聲對于非線性系統(tǒng)的建設(shè)性作用。其含義本質(zhì)上是指噪聲的加入，增強了系統(tǒng)的響應(yīng)強度，主要體現(xiàn)了系統(tǒng)非線性輸出中弱周期信號的輸入與隨機力的協(xié)同效應(yīng)。經(jīng)典的隨機共振理論已被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)[2]、生物學(xué)[3]、化學(xué)[4]等各個學(xué)科領(lǐng)域，且關(guān)于隨機共振的研究引起了各個領(lǐng)域科學(xué)家們越來越多的關(guān)注[5-6]。

近些年來，關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分在某些反常且復(fù)雜的物理學(xué)中的研究引起了學(xué)者們的探討，如粘彈性材料的應(yīng)力松弛問題[7]、粒子的反常擴散問題[8]等。對于粒子的反常擴散行為，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可以良好地刻畫其所具有的歷史依賴性與全局相關(guān)性，且可以建立相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階Langevin 方程來描述此擴散過程[9-10]，因此分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的動力學(xué)研究具有非常重要的意義。經(jīng)典的整數(shù)階隨機共振已具有相當(dāng)豐富的研究成果[11-12]，而關(guān)于分?jǐn)?shù)階動力系統(tǒng)的研究才剛剛起步[13-14]，特別是在分?jǐn)?shù)階隨機共振的研究方面，內(nèi)容比較稀少[15-16]。Soika 等[17]探究了二值噪聲和加性Gaussian 白噪聲共同驅(qū)動下的分?jǐn)?shù)階線性隨機系統(tǒng)，通過Shapiro-Loginov 公式和Fourier 變換等方法求解了輸出響應(yīng)振幅的表達(dá)式。Yang J H 等[18]通過非線性響應(yīng)理論法研究了Gaussian 白噪聲驅(qū)動下分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的隨機共振效應(yīng)，得到系統(tǒng)響應(yīng)振幅的半解析解來度量隨機共振現(xiàn)象的發(fā)生。Sun Z K 等[19]通過統(tǒng)計復(fù)雜度方法研究了白噪聲激勵下分?jǐn)?shù)階過阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象，并運用信噪比指標(biāo)函數(shù)驗證了此方法的準(zhǔn)確性。

文中基于統(tǒng)計復(fù)雜度方法來刻畫分?jǐn)?shù)階欠阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象。首先，給出了標(biāo)準(zhǔn)Shannon熵、統(tǒng)計復(fù)雜度以及Bandt-Pompe 算法的定義。其次，介紹了Gaussian 白噪聲驅(qū)動下的分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)系統(tǒng)。最后，運用Bandt-Pompe 算法求出統(tǒng)計復(fù)雜度和標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵，進(jìn)而探討了不同的參數(shù)對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)隨機共振現(xiàn)象的影響。

1 信息論測度

統(tǒng)計復(fù)雜度作為一種經(jīng)典的信息論測度，它主要以信息論為基礎(chǔ)，用于刻畫系統(tǒng)時間序列相對應(yīng)概率分布的函數(shù)，可以度量系統(tǒng)的隨機性及其相關(guān)結(jié)構(gòu)的存在性。

1.1 標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵

為了更好地定義統(tǒng)計復(fù)雜度，首先引入熵的定義，它是表示由概率分布所描述的物理過程的不確定度，定義為：

當(dāng) S [ P] = 0時，Shannon 熵最小，表示系統(tǒng)為有序狀態(tài)，即系統(tǒng)所獲得信息量最大。當(dāng) S [P] = ln N時，Shannon 熵最大，表示系統(tǒng)為無序狀態(tài)，且系統(tǒng)所獲信息量最小。

進(jìn)一步，標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵的定義為：

1.2 統(tǒng)計復(fù)雜度

此外，為了更好地度量系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，筆者給出了失衡度Q [P] ，它是用來測量系統(tǒng)可以達(dá)到的狀態(tài)的概率分布P 和所對應(yīng)的均勻分布Pe之間的距離長度Ds，其表達(dá)式為：

其中 0Q 為歸一化常數(shù)。度量這兩個分布之間的距離Ds，一般采取Jensen 散度，定義為：綜上所述，可給出統(tǒng)計復(fù)雜度的定義，即 ：

在這里，選取Q [H]為標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵，Q [P] 中的 Ds為Jensen 散度。

1.3 Bandt-Pomp 算法

該方法主要考慮了系統(tǒng)時間序列的時間因果關(guān)系，其主要思想是基于吸引子重構(gòu)的過程所提出。對于給定的時間序列{ xt: t = 1, … , M}和一嵌入維數(shù)D ＞ 1，對任意時刻t，分別在時刻選取其相對應(yīng)連續(xù)的D 個數(shù)據(jù)：，然后重新把這D 個元素進(jìn)行排序，從而獲得對應(yīng)于序數(shù)D 的有順序的模式為：

式中符號# 表示相對應(yīng)的數(shù)量，且文獻(xiàn)[20]中的嵌入維數(shù)D的范圍為3 ≤D≤ 7，同時滿足!。

2 分?jǐn)?shù)階欠阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)

考慮在Gaussian 白噪聲激勵下，由周期信號驅(qū)動的分?jǐn)?shù)階欠阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)。其系統(tǒng)方程為：

其中r、s表示阻尼系數(shù)。這里分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)qD x采用Caputo 定義，滿足式（9）。

此外周期信號為：

圖1 雙穩(wěn)勢函數(shù)圖Fig.1 Bistable potential of system

式中：A為信號振幅；ω為信號頻率。為了使得隨機共振現(xiàn)象發(fā)生較為明顯，并滿足絕熱驅(qū)動力相關(guān)條件。這里A應(yīng)滿足條件AV＜Δ ，信號頻率應(yīng)小于系統(tǒng)的松弛頻率

3 隨機共振

在本節(jié)中，將引入一種新的方法——統(tǒng)計復(fù)雜度方法來度量分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象。當(dāng)共振現(xiàn)象發(fā)生時，統(tǒng)計復(fù)雜度曲線和標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵曲線會變成非單調(diào)函數(shù)。首先，采用分?jǐn)?shù)階切比雪夫積分法算法來求解系統(tǒng)[12]；其次計算粒子在勢井間躍遷的駐留時間序列；然后利用Bandt-Pompe 算法來提取出駐留時間序列的概率分布，進(jìn)而得到了統(tǒng)計復(fù)雜度和標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵的變換曲線；最后分析不同參數(shù)對于系統(tǒng)隨機共振現(xiàn)象的影響。文中取嵌入維數(shù)d=6，駐留時間序列間隔為M=50 000。

3.1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對系統(tǒng)隨機共振現(xiàn)象的影響

如圖2 所示，在固定的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下，統(tǒng)計復(fù)雜度曲線和標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵曲線均呈現(xiàn)出非單調(diào)趨勢。隨著噪聲強度的增大，復(fù)雜度曲線先增大至波峰，然后減小；相反，Shannon 熵曲線先減小至波谷，然后增大。這些現(xiàn)象說明了在一定的噪聲強度處，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的復(fù)雜性呈現(xiàn)最大值，同時輸出信號水平達(dá)到最大。這恰好說明在某個噪聲強度處，系統(tǒng)發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象，同時，采用數(shù)值模擬信噪比指標(biāo)驗證了此現(xiàn)象。此外，圖2 表明，不同的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下會導(dǎo)致不同強度的隨機共振現(xiàn)象。當(dāng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)增大時，統(tǒng)計復(fù)雜度和信噪比曲線的波峰不斷增大；相反，標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵曲線的波谷不斷減小，且波峰和波谷位置均向右移動。也就是說，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可以有效地調(diào)節(jié)隨機共振現(xiàn)象的發(fā)生，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)越小，系統(tǒng)越容易發(fā)生隨機共振現(xiàn)象，即所需噪聲強度越小。隨著分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)的增大，系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象強度越大，即統(tǒng)計復(fù)雜度曲線的波峰最大，標(biāo)準(zhǔn)Shannon熵曲線則相反?？傊?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)的減小可以增強系統(tǒng)的有效阻尼，使得粒子更容易發(fā)生躍遷現(xiàn)象，進(jìn)而發(fā)生隨機共振現(xiàn)象。

圖2 統(tǒng)計復(fù)雜度、標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵、信噪比在不同的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)q 下隨著噪聲強度D 變化的演化曲線Fig.2 Dependence of statistical complexity (a), Entropy (b) and SNR (c) on noise intensity D for various fractional derivatives with r= 0.3, s= 0.4, A= 0.2, ω=0.05

3.2 阻尼系數(shù)對系統(tǒng)隨機共振的影響

圖3 表明，在固定的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下，統(tǒng)計復(fù)雜度和標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵曲線均表現(xiàn)出非單調(diào)趨勢，這種現(xiàn)象表明系統(tǒng)在不同的阻尼系數(shù)下均發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象。隨著s的增加，統(tǒng)計復(fù)雜度曲線的波峰不斷降低，而標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵曲線的波谷不斷增加，且波峰和波谷位置均向噪聲增大的方向右移。此現(xiàn)象表明，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)前阻尼系數(shù)越小，系統(tǒng)越容易發(fā)生隨機共振現(xiàn)象，系統(tǒng)共振的強度也最大，即阻尼系數(shù)可以削弱分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象。

圖3 統(tǒng)計復(fù)雜度、標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵在不同的阻尼系數(shù)s 下隨著噪聲強度D 變化的演化曲線Fig.3 Dependence of statistical complexity (a), Entropy(b) on noise intensity D for various damping coefficients with q = 0.7, r = 0.3, A = 0.2, ω =0.05

3.3 信號振幅對系統(tǒng)隨機共振的影響

如圖4 所示，在固定的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下，統(tǒng)計復(fù)雜度曲線和標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵曲線均呈現(xiàn)出非單調(diào)趨勢，說明系統(tǒng)發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象。當(dāng)信號振幅逐步增大時，統(tǒng)計復(fù)雜度指標(biāo)曲線的峰值緩慢上升；相反，標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵指標(biāo)曲線的波谷逐漸降低。這些現(xiàn)象說明信號振幅的增大可以增加隨機共振現(xiàn)象的強度?？傊?，信號振幅可以有效地調(diào)節(jié)分?jǐn)?shù)階欠阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象。因此可以選取一個合適的信號振幅使得系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象達(dá)到最優(yōu)，從而對分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)系統(tǒng)達(dá)到良好的動力學(xué)控制效果。

圖4 統(tǒng)計復(fù)雜度，標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵在不同的周期信號振幅下隨著噪聲強度D 變化的演化曲線，其它參數(shù)為。Fig.4 Dependence of statistical complexity (a), Entropy(b) on noise intensity D for different values of signal amplitude with r= 0.3, s = 0.4, q = 0.5, ω=0.05

3.4 信號頻率對系統(tǒng)隨機共振的影響

如圖5 所示，當(dāng)信號頻率逐步增強時，統(tǒng)計復(fù)雜度指標(biāo)曲線的波峰逐漸降低，相反標(biāo)準(zhǔn)香農(nóng)熵指標(biāo)曲線的波谷緩慢上升，且曲線的峰值和波谷位置隨著信號頻率的增大向著噪聲強度增加的方向發(fā)生偏移，即信號頻率可以削弱隨機共振的強度。這里選取的信號頻率應(yīng)小于系統(tǒng)的松弛頻率。

4 穩(wěn)健性

如圖6a 所示，首先增加嵌入維數(shù)d從4 到6，不管嵌入維數(shù)為多少，統(tǒng)計復(fù)雜度曲線均為非單調(diào)曲線，這說明嵌入維數(shù)對此方法沒有影響。另一方面，如圖6b 所示，取不同的駐留時間序列長度M為10 000、20 000、50 000，同樣地，筆者發(fā)現(xiàn)駐留時間序列總長度M不會改變復(fù)雜度曲線的形狀趨勢，只是取值大小有所差異。駐留時間序列長度越長，統(tǒng)計復(fù)雜度曲線就越光滑。也就是說，此方法需滿足條件M?d!。

圖5 統(tǒng)計復(fù)雜度、標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵在不同的周期信號頻率下隨著噪聲強度D 變化的演化曲線Fig.5 Dependence of statistical complexity (a), Entropy (b) on noise intensity D for various values of signal frequency with r = 0.3, s= 0.4, q= 0.5, A=0.2

圖6 統(tǒng)計復(fù)雜度在不同的嵌入維數(shù)和駐留時間總長度下隨著不同噪聲強度變化的曲線Fig.6 Dependence of statistical complexity on noise intensity D for various embedding dimensions (a) and lengths of the residence time series (b) with r= 0.3, s= 0.4, A= 0.2, ω= 0.05, q =0.7

5 結(jié)論

文中引入統(tǒng)計復(fù)雜度方法來度量Gaussian 白噪聲激勵下的分?jǐn)?shù)階欠阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象。得出如下結(jié)論。

1）在固定的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下，統(tǒng)計復(fù)雜度指標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)Shannon 熵指標(biāo)的曲線均表現(xiàn)為非單調(diào)趨勢，說明此分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)系統(tǒng)發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象，且運用信噪比指標(biāo)函數(shù)驗證了此方法的準(zhǔn)確性。

2）分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)隨機共振現(xiàn)象具有更加豐富的動力學(xué)行為，且分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可以有效地調(diào)節(jié)隨機共振現(xiàn)象。信號振幅的增加可以增強隨機共振效應(yīng)，相反信號頻率的增大可以削弱此現(xiàn)象。

3）系統(tǒng)的駐留時間總長度和嵌入維數(shù)不影響統(tǒng)計復(fù)雜度方法的準(zhǔn)確性，說明此方法具有穩(wěn)健性。