永磁鐵近場等效阻尼計算分析

郭通，李斌，張生坤

（1.中國飛機強度研究所 航空聲學與動強度航空科技重點實驗室，西安 710065；2.西北工業(yè)大學 航空學院，西安 710072；3.中國艦船研究設計中心，武漢 430000）

動力吸振器作為一種可靠性高、耐久性長的被動抑振裝置在工程上有大量應用[1-3]。隨著技術更新，利用導體在磁場中運動或導體處于時變磁場中受Lorentz 力作用的原理制成的電渦流吸振器，在減振降噪領域開始有一定應用[4-6]。但現(xiàn)有的電渦流吸振器距寬頻域、寬速度域應用還有較大距離，原因是目前對電渦流阻尼的定量計算研究并不充分，常用的定性解析法僅在限定條件下具有一定的科學性。解析法是較為傳統(tǒng)的一種電渦流阻尼求解方法，該方法將永磁鐵視為一圈環(huán)形電流， 并應用畢奧- 薩法爾（Biot-Savart）定理積分計算，先得到電磁場強度[7]，再得到導體管相對永磁鐵運動所受的Lorentz 力，然后求得電渦流阻尼系數(shù)。1999 年，林德華[8]基于畢奧-薩法爾和疊加積分定理直接求得方形永磁鐵近場磁場分布，并研究了磁鐵尺寸與磁鐵表面磁場的分布規(guī)律。2004 年，茍曉凡[9]基于分子環(huán)流模型和畢奧-薩法爾定理推導了多塊磁鐵按極性相反排列時的磁場解析表達式。2016 年，李斌[10]等人采用分子環(huán)流模型和畢奧-薩法爾定理，并基于準靜態(tài)假設研究了圓柱形永磁鐵的近場磁場分布，推導了其產生的電渦流阻尼力解析表達式。但解析法從準靜態(tài)理論出發(fā)，認為導體運動時產生的感應磁場是均勻分布的，感生的電渦流阻尼力可線性無限增大且和運動頻率無關，實際上電渦流互感效應是高度動態(tài)的[11]。因此，這種等效阻尼還待進一步明確其動態(tài)特性，獲取其動態(tài)規(guī)律。

本研究將直接從時變狀態(tài)下的Maxwell 方程出發(fā)，突破解析法的準靜態(tài)求解約束，采用有限元方法[12]更全面真實地分析柱塞型電渦流吸振器的動態(tài)電磁場分布和等效電渦流阻尼效應，進一步解釋主要設計參數(shù)對電渦流阻尼的影響規(guī)律。

1 等效阻尼系數(shù)計算

1.1 解析法

采用環(huán)形電流模型，將圓柱形永磁鐵等效為一圈導體上的軸對稱環(huán)形電流， 并應用畢奧-薩法爾（Biot-Savart）定理積分計算出電磁場強度B[13-14]，B 存在Br、Bz兩個分量，分別對應徑向和軸向。

設導體運動速度為v，由于Bz的矢量方向與v 相同，則Bz不引起渦流效應。因此，圓柱形永磁鐵與導體管誘導電渦流之間產生的電磁阻尼力可表示為：

式中：outr 為導體管外半徑；inr 為導體管內半徑；H 為導體管高度。式（2）中導體管厚度遠小于導體管中徑，因此，等效電渦流阻尼系數(shù)c 為：

式中： mr 為導體管中徑； δ 為導體管壁厚度。

1.2 有限元方法

對于一般時變電磁場，Maxwell 方程組的微分形式為[15]：

式中：H 為磁場強度矢量；D 為電位移矢量。

同時，需要電場的連續(xù)性方程為：

式中： ρ 為體電荷密度。

要獲得一個封閉的系統(tǒng)，僅有Maxwell 方程組還是不夠的，還應包括一些描述介質屬性的本構方程，它們包括：

式中：M 是磁化強度。已知時變磁場是無散場，故B 可表達為矢量場A 的旋度，即可令：

式中：A 為矢量位。那么，對于時變磁場情形，導體相對磁場以速度v 運動，誘導電流密度可以表示為：

式中：eJ 為除誘導電流之外的外部電流密度，求解時，其默認值為0。聯(lián)立式（4）—（8），得到包含矢量磁位和標量電位的時變磁場 Maxwell 方程：

針對討論的電渦流阻尼系數(shù)計算問題，所涉及到的介質均為連續(xù)的連通介質，因此不考慮電位移D對電磁場方程求解的影響，這樣就得到時變磁場下的由矢量磁位表示的Maxwell 方程：

基于COMSOL Multiphysics 可以對永磁鐵磁場分布進行有限元求解，并對電流密度和磁場強度積分，求得電渦流阻尼力：

2 電渦流阻尼計算結果分析

本研究利用Bae 等人[16]的磁鐵在銅管中自由下落的實驗來驗證兩種算法的準確性。實驗如圖1 所示，將永磁鐵放進足夠長的銅管作自由落體運動，銅管上感生環(huán)向渦流與磁場相互作用，進而對磁鐵產生阻尼力，阻礙磁鐵的加速下落。當阻尼力與重力大小相同時，永磁體達到受力平衡狀態(tài)，將不再向下加速，以平衡速度繼續(xù)勻速下落至地。

圖1 永磁鐵自由下落實驗原理Fig.1 Schematic diagram of free falling experiment of permanent magnet

表1 為兩種算法的結果對比。由表1 可知，有限元方法在電渦流阻尼計算上精度更高，結果更準確?；诖?，為進一步明確動態(tài)特性對等效阻尼效應的影響，用有限元法分別求解了永磁鐵在不同運動速度下的等效阻尼系數(shù)，以闡述動態(tài)行為對等效電渦流阻尼的影響規(guī)律，算例參數(shù)見表2。模型采用如圖2 所示的二維軸對稱形式建立，圖2a 中的黑色部分為永磁鐵，橙色部分為導體銅管，灰色部分為空氣。

相對運動速度設置形式如下式所示：式中：v表示磁鐵銅管相對運動速度；v0表示基準速度，取為20 mm/s；n為速度放大倍數(shù)。n分別取為1、50、1000、5000，即磁鐵與銅管相對運動速度分別為0.02、1、20、100 m/s，分析得到的電渦流阻尼力和阻尼系數(shù)見表3。

表1 兩種算法結果對比Tab.1 Comparison of results of two algorithms

表2 模型參數(shù)Tab.2 Model parameters

圖2 兩類求解狀態(tài)對比模型Fig.2 Comparison model of two kinds of solution states: a)Two dimensional case; b) Three dimensional case

表3 不同速度下的阻尼系數(shù)Tab.3 Damping coefficient with different velocity

由表3 可以發(fā)現(xiàn)，解析法所得阻尼系數(shù)不隨相對運動速度變化而變化，時變有限元法求解狀態(tài)下，阻尼系數(shù)會隨速度增大而發(fā)生變化。低速情況時，時變與解析法結果差異不大，而高速情況時，時變有限元求解結果與準靜態(tài)的解析法結果差異明顯，總體來講，速度越大偏差越大。

根據(jù)式（11）可知，導體在磁場中運動所受的電渦流阻尼力與感生渦流有關。為分析產生上述現(xiàn)象的原因，繪制了不同速度下的磁場分布和銅管中渦流分布情況，如圖3 和圖4 所示。

圖3 為不同速度下的磁場分布情況，圖中的線為磁場磁力線。由圖3 可知，磁力線隨速度變化而變化，而非恒定。低速情況下，磁場磁力線分布基本恒定均勻，而高速情況下，時變磁場磁力線相對低速（或準靜態(tài)場）發(fā)生扭曲，速度越大扭曲越明顯。

圖3 不同速度放大倍數(shù)下的空間磁場Fig.3 Space magnetic field with different velocity magnification

圖4 為不同速度下銅管中的渦流場。由圖4 可知，銅管中的渦流分布隨速度逐漸變化，速度越大，渦流越往銅管內壁集中，這就是電流的趨膚效應[17-18]。對表的參數(shù)模型來講，相對運動速度20 m/s 可視為準靜態(tài)和時變狀態(tài)的分界線，在此之前，由于電流趨膚效應較弱，可以忽略電流趨膚效應和渦流對磁場的反項）。在此之后，上述電流的趨膚效應和渦流對磁場的反作用不能忽略，故準靜態(tài)假設不再成立。

圖4 不同速度下銅管中的渦流場Fig.4 Eddy current field in copper tube at different velocity

本研究認為基于時變狀態(tài)參數(shù)求解的有限元法較解析法更為精確和適用，原因概括如下：

1）銅管厚度方向磁場分布的差別：解析方法利用環(huán)形電流模型進行永磁鐵近場磁場計算時，為簡化積分運算，認為磁場沿銅管厚度方向均勻分布，而實際中恒定磁場分布是不存在的，有限元法是基于真實磁場分布求解電渦流阻尼效應，真實度依賴于網格密度，故比解析方法更加精確。

2）銅管厚度方向誘導電渦流分布差別：銅管中誘導電渦流與磁場強度存在線性關系，因此解析方法計算得到的誘導電渦流在銅管厚度方向也是均勻分布的，而時變有限元法的計算結果則是高度依存磁場真實分布，呈非均勻狀態(tài)。

3 結論

以算例實測值為參考，分別應用解析法和有限元法求解其電渦流阻尼系數(shù)。結果證明，與解析法計算結果相比，有限元法與實測值更接近，有更高的準確性。又基于有限元法，研究了相對運動速度和頻率對等效電渦流阻尼效應的影響規(guī)律，得到如下結論：磁體運動后，由于逐漸增強的電流趨膚效應和渦流對磁場的反作用，磁場磁力線將出現(xiàn)扭曲，磁場強度的變化導致等效電渦流阻尼系數(shù)與永磁鐵運動速度呈非線性負相關現(xiàn)象。解析法由于基于恒定磁場假設，求得電渦流阻尼系數(shù)與實測值誤差較大。有限元法基于時變電磁場理論，能反應磁場分布的真實情況，所求得的電渦流阻尼系數(shù)與實測值更為接近，計算結果更加精確。