集合中的創(chuàng)新問題聚焦

何 煒 劉大鳴︵特級教師︶

以集合為背景的創(chuàng)新問題，常常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，以集合為依托，考查同學(xué)們解決問題的能力。常見的命題形式有新定義、新運算、新法則等，這類試題中集合只是基本的依托。

聚焦1：集合中的新定義問題

例1設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k-1?A，且k+1?A，那么稱k是A的一個“孤立元”。給定集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_____個。

解：依據(jù)k是A的一個“孤立元”，對于k∈A，k-1?A，且k+1?A，由給定S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”，這3個元素一定是連續(xù)的三個自然數(shù)。

故 這 樣 的 集 合 為 {1 ，2，3}，{2 ，3，4}，{3 ，4，5}，{4 ，5，6} {5 ，6，7}，{6 ，7，8}，共6個。

反思：理解新定義的最好方法就是特值法和列舉法。如本題S={6，7，8}不含“孤立元”，S={2，3，5}含“孤立元”5。若3個元素構(gòu)成的集合不含“孤立元”，則這3 個元素一定是連續(xù)的三個自然數(shù)。

例2若集合A1，A2滿足A1∪A2=A，則稱(A1，A2)為集合A的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2時，(A1，A2)與(A2，A1)是集合A的同一種分拆。若集合A有3 個元素，則集合A的不同分拆種數(shù)是____。

解：依據(jù)集合A的一種分拆的意義求解。設(shè)A={1，2，3}，一一列舉確定分拆的種數(shù)。當(dāng)A1=? 時，A2=A，此時只有1 種分拆。當(dāng)A1是單元素集時，共有6種分拆，即{1}與{2，3}，{1}與{1，2，3}，{2}與{1，3}，{2}與{1，2，3}，{3}與{1，2}，{3}與{1，2，3}。當(dāng)A1是雙元素集時，共有12 種分拆，即{1，2}與{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；{1，3}與{2}，{1，2}，{2，3}，{1，2，3}；{2，3}與{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}。當(dāng)A1=A={1，2，3}時，則A2=?，{1}，{2}，{3}，{1，2}{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共有8 種分拆。綜上可知，共有的分拆種數(shù)是1+6+12+8=27。

反思：本題的集合分拆，類似于求集合的補集的方法，涉及集合子集的個數(shù)問題。解答本題的關(guān)鍵是列舉集合時，不能重復(fù)和遺漏。

聚焦2：集合中的新運算問題

解：依據(jù)新定義的運算法則，弄清代表元素的屬性，分別賦值列舉出集合的元素。

故集合A= 1，2{ }。

反思：對于集合中的新運算問題，要按照一定的數(shù)學(xué)法則和運算規(guī)則，弄清代表元素的屬性，再結(jié)合相關(guān)知識進行邏輯推理和計算，進而達到解決問題的目的。

例4對于集合A，定義一種運算“⊕”，使得集合A中的元素間滿足條件：如果存在元素e∈A，使得對任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，則稱元素e是集合A對運算“⊕”的單位元素。例如：A=R，運算“⊕”為普通乘法，存在1∈R，使得對任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R 對普通乘法的單位元素。下面給出三個集合及相應(yīng)的運算“⊕”：

①A=R，運算“⊕”為普通減法。

②A={X?M}(其中M是任意非空集合)，運算“⊕”為求兩個集合的交集。

聚焦3：創(chuàng)新集合問題

例6設(shè)S是實數(shù)集R 的非空子集，如果?a，b∈S，有a+b∈S，a-b∈S，則稱S是一個“和諧集”。下面命題中的假命題是( )。

A.存在有限集S，S是一個“和諧集”

B.對任意無理數(shù)a，集合{x|x=ka，k∈Z}都是“和諧集”

C.若S1≠S2，且S1，S2均是“和諧集”，則S1∩S2≠?

D.對任意兩個“和諧集”S1，S2，若S1≠R，S2≠R，則S1∪S2=R

解：依據(jù)“和諧集”的性質(zhì)對選項逐一驗證。對于A，如S={0}，顯然該集合滿足0+0=0∈S，0-0=0∈S，A 正確。對于B，設(shè)任意x1∈{x|x=ka，k∈Z}，x2∈{x|x=ka，k∈Z}，則存在k1∈Z，k2∈Z，使得x1=k1a，x2=k2a，x1+x2=(k1+k2)a∈{x|x=ka，k∈Z}，x1-x2=(k1-k2)a∈{x|x=ka，k∈Z}，因此對任意無理數(shù)a，集合{x|x=ka，k∈Z}都是“和諧集”，B 正確。對于C，依題意可知，當(dāng)S1，S2均是“和諧集”時，若a∈S1，則a-a∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此 時S1∩S2≠?，C 正 確。對 于D，取S1={0}≠R，S2={x|x=k，k∈Z}≠R，易知集合S1，S2均是“和諧集”，此時S1∪S2≠R，D 不正確。應(yīng)選D。

反思：解答這類問題的關(guān)鍵在于應(yīng)用創(chuàng)新性質(zhì)和其他相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識來推理驗證。

例7若X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：(1)X屬于τ，空集?屬于τ；(2)τ中任意多個元素的并集屬于τ；(3)τ中任意多個元素的交集屬于τ。則稱τ是集合X上的一個拓撲。已知集合X={a，b，c}，下面給出的四個集合τ：①τ={?，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={?，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}。

其中是集合X上的一個拓撲的集合τ的所有序號是_____。

解：根據(jù)集合τ具有的三個性質(zhì)逐個進行判斷。對于①，τ={?，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}=a，c{ }?τ，所以①不是拓撲。③不是拓撲。②④可以逐一驗證，都滿足集合Χ上的一個拓撲的集合τ的三個性質(zhì)。滿足條件的序號為②④。

反思：求解本題需要準(zhǔn)確理解集合Χ上的一個拓撲τ所具有的三個性質(zhì)，需要準(zhǔn)確把握集合包含的判斷方法以及集合子集間的交、并、補集的關(guān)系，需要同學(xué)們認真分析題設(shè)條件，準(zhǔn)確把握題中的所給信息。