基于拉錐光纖布拉格光柵的法布里-珀羅應(yīng)變傳感器的仿真研究

郝子鑒，卜勝利,2，李用希，李迪輝，韓仲學(xué)

（1.上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093；2.上海理工大學(xué) 上海市現(xiàn)代光學(xué)重點實驗室，上海 200093）

引言

干涉型傳感結(jié)構(gòu)可以得到精細(xì)度較高的干涉條紋，主要有Michelson干涉結(jié)構(gòu)、Mach-Zehnder 干涉結(jié)構(gòu)、Sagnac 干涉結(jié)構(gòu)、Fabry-Perot（F-P）干涉結(jié)構(gòu)，但其自由光譜范圍（FSR）較小。F-P 干涉結(jié)構(gòu)的腔由2個平行平面反射鏡構(gòu)成，腔長通常為幾百微米及以上，其光譜為一系列間隔隨波長增大而增大的諧振峰（谷），其FSR和諧振峰（谷）精細(xì)度分別與腔長和腔鏡反射率有關(guān)。腔長越大，F(xiàn)SR 越小。腔鏡反射率越高，諧振峰（谷）精細(xì)度越高。Huang 等人提出的將F-P 干涉結(jié)構(gòu)和Mach-Zehnder干涉結(jié)構(gòu)進行級聯(lián)的結(jié)構(gòu)驗證了上述結(jié)論[1]。將反射鏡用光纖布拉格光柵（FBG）代替時，由于光柵具有一定的反射帶寬，在反射帶寬以外的諧振峰（谷）將不再出現(xiàn)。目前，基于FBG的F-P 傳感結(jié)構(gòu)得到了廣泛的關(guān)注[2-15]，和其他結(jié)構(gòu)相比，具有靈敏度高、體積小、諧振峰（谷）精細(xì)度高等優(yōu)點。Du和Markowski 等人利用一對反射帶寬重合的FBG，使其間隔一定距離構(gòu)成F-P腔，通過FBG 反射波長和F-P 諧振波長的相對變化進行應(yīng)變傳感[3,10]，避免了FSR的影響，但其傳感范圍受光柵反射帶寬的限制。

本文提出一種基于單個拉錐光纖布拉格光柵的法布里-珀羅（TFBG-FP）應(yīng)變傳感結(jié)構(gòu)，并針對傳感范圍小的問題提出了改進方案。利用傳輸矩陣法計算得到，該結(jié)構(gòu)具有無窮大的FSR和高精細(xì)度的諧振峰（谷）。當(dāng)拉錐光纖腰區(qū)直徑為光纖直徑的3/25，柵區(qū)長度為30 mm時，在0～300 με范圍內(nèi)得到7.05 pm/με的靈敏度。該結(jié)構(gòu)避免了FSR 對傳感范圍的限制，對干涉型傳感結(jié)構(gòu)的設(shè)計具有一定的參考價值。

1 基本原理

式中：RFBG為FBG 反射率；RF-P為F-P腔反射率。

F-P腔的波長諧振條件為[16-17]

式中：neff為光纖的有效折射率；H為F-P腔長。FP腔沿軸向的應(yīng)變長度可表示為[18]

式中：z0為F-P腔反射鏡位置的坐標(biāo)（以F-P腔的中心為坐標(biāo)原點）；E為光纖的楊氏系數(shù)；A（z）為光纖在z處的截面積；F為光纖所受到的應(yīng)力。在應(yīng)變的作用下，由（2）式得到F-P腔的諧振波長為

式中，H0為F-P腔的初始長度。由（4）式可知，當(dāng)FBG-FP 在應(yīng)力作用下ΔH增大時，諧振波長將發(fā)生紅移[3,11,19]，通過諧振波長的漂移量即可進行應(yīng)變傳感。

對于一般的FBG-FP 結(jié)構(gòu)，當(dāng)諧振階次m增大時，短波長處仍存在F-P 諧振波長λ2等（見圖1（b））。此時，隨著neffH增大，λ2將漂移至λ1的位置，即FBGFP的自由光譜范圍限制了FBG-FP的傳感范圍。

圖1 一般FBG-FP的結(jié)構(gòu)及反射光譜示意圖Fig.1 Schematic of general FBG-FP structure and reflectance spectrum

TFBG-FP 傳感結(jié)構(gòu)圖2（a）所示。由刻寫在拉錐光纖錐區(qū)的FBG 構(gòu)成。光纖的有效折射率與光纖纖芯直徑的關(guān)系可表示為[10]

式中：dcore為光纖纖芯直徑；ncore和nclad分別為纖芯折射率和包層折射率。隨著纖芯直徑減小，有效折射率也隨之減小，二者呈非線性關(guān)系。

由于有效折射率的變化，圖2（a）中①、②部分形成啁啾方向相反的啁啾光纖布拉格光柵（CFBG）[20]，其折射率調(diào)制周期Λ與布拉格波長λB的關(guān)系可表示為[21]

基于單模光纖，圖1（a）給出了一般FBG-FP的結(jié)構(gòu)示意圖，其反射譜可近似表示為[3]

式中：z為柵區(qū)位置坐標(biāo)。由（5）式和（6）式可得出該結(jié)構(gòu)的有效折射率和布拉格波長λB沿軸向分布情況，如圖2（b）所示。

圖2 TFBG-FP 結(jié)構(gòu)、布拉格波長及反射光譜Fig.2 TFBG-FP structure,Bragg wavelength and reflectance spectrum

單模光纖中，光柵的傳輸特性可以用傳輸矩陣法進行計算[22-25]。將光柵近似為折射率周期排布的多層膜系，共結(jié)構(gòu)及膜內(nèi)光場如圖3所示。則光波的傳輸矩陣分為界面MINTERFACE和介質(zhì)內(nèi)傳輸矩陣MLAYER，分別表示為[25-27]

式中，λ為輸入光波長。光柵的傳輸矩陣可近似為

式中，M11、M12、M21、M22為傳輸矩陣M的矩陣元。

圖3 多層膜結(jié)構(gòu)及膜內(nèi)光場示意圖Fig.3 Schematic of multilayer-film structure and light field inside films

利用MATLAB 根據(jù)（12）式進行數(shù)值計算，就可得到光柵的反射率，如圖2（c）所示。

由（6）式可知，不同的波長在CFBG的不同位置反射[21,25]。因此，上述①、②部分對稱的CFBG反射帶寬內(nèi)不同波長的光對應(yīng)不同腔長的F-P腔。F-P腔的腔長越長，F(xiàn)SR 越小，其關(guān)系滿足[6,17-18]：

考慮圖2（c）中λ1=1 553.323 nm和λ2=1 553.499 nm，由（6）式可得出有效折射率和圖2（b）給出了λ1對應(yīng)的腔長H1=z12?z11，λ2對應(yīng)的腔長H2=z22?z21，顯然H2＞H1。依此類推，對于短波長的光，對應(yīng)的腔長較短，具有較大的FSR；對于長波長的光，對應(yīng)的腔長較長，F(xiàn)SR 較小。

不同于通常的F-P腔具有一個固定的腔長[3,11]，從而在全波長范圍內(nèi)形成一系列諧振谷（見圖1（b）），本文所設(shè)計的TFBG-FP，每一個波長都唯一對應(yīng)一個腔長，由（2）式可得：

（14）式的解是關(guān)于m的一系列分立值（符合圖2（c）），且H（λ）在TFBG 反射帶寬范圍內(nèi)有意義，但當(dāng)λ0＜λ ＜λ1（λ0為TFBG 最小反射波長）時，H(λ)→0，在λ0＜λ ＜λ1的范圍內(nèi)的諧振條件是λ→0。考慮到λ1的任意性，可知在小于λ1處的FSR為無窮大。最終結(jié)果是形成以λ1處為第1個諧振谷的向長波長方向間隔迅速減小的一系列諧振谷，如圖4所示。因此，該結(jié)構(gòu)在不降低諧振谷精細(xì)度（FBG 反射率越高精細(xì)度越高[2,17]）的條件下，可以得到無窮大的FSR。

圖4 TFBG-FP 反射光譜Fig.4 TFBG-FP reflectance spectrum

將單模光纖進行加熱拉錐，之后放置在氫氣環(huán)境中增強光敏性[10,20]，在此基礎(chǔ)上，以腰區(qū)為中心，在錐區(qū)刻寫均勻周期的FBG 即可得到TFBG-FP。但實際很難做到嚴(yán)格的對稱，錐區(qū)直徑的變化也是非線性的。假設(shè)柵區(qū)足夠長，腰區(qū)在不同位置，錐區(qū)直徑變化滿足不同的線型時的TFBG-FP 反射光譜見圖5。由（5）式可知，光纖直徑越小，有效折射率隨光纖直徑變化越快。腰區(qū)位置相同，錐區(qū)直徑線型不同時，由圖5中有效折射率分布結(jié)合（6）式可知，圖5（c）的拋物線型錐區(qū)直徑使得TFBG的短波長反射區(qū)域較長，反射率較高，諧振谷的精細(xì)度較高。由于圖5（b）中TFBG的有效折射率的變化集中在較短的柵區(qū)，因此短波長范圍的反射率很小，有效的反射帶寬減小，能夠滿足諧振條件的F-P腔較少（腔長變化范圍小），諧振谷少。另外，由于低有效折射率所對應(yīng)的布拉格波長所在的柵區(qū)較短，圖5（b）的長波長區(qū)域反射率趨近于1，對長波長范圍內(nèi)的諧振谷產(chǎn)生抑制[28]。

錐區(qū)直徑線型相同，腰區(qū)位置不同時，主要影響TFBG 長波長反射區(qū)域的對稱性。如圖5所示，隨著長波長反射區(qū)域的對稱性增強，長波長區(qū)域的諧振谷逐漸顯現(xiàn)，但對短波長區(qū)域的反射譜影響不大。

同樣地，假設(shè)錐區(qū)足夠長，柵區(qū)在錐區(qū)不同位置且腰區(qū)兩側(cè)均有柵區(qū)時，根據(jù)上述分析，除錐區(qū)直徑的線型對短波長區(qū)域有影響外，柵區(qū)相對腰區(qū)的對稱性對短波長范圍的反射譜影響不大。

圖5 不同錐區(qū)直徑分布情況的TFBG-FP 反射光譜（右側(cè)插圖為錐區(qū)直徑（右上）及有效折射率（右下）分布）Fig.5 TFBG-FP reflectance spectrum of different tapered regions diameter distributions (the inset on right shows tapered region diameter(upper right) distribution and effective refractive index (lower right) distribution)

2 結(jié)果與討論

2.1 應(yīng)變傳感特性

圖6 TFBG-FP 諧振谷的應(yīng)變響應(yīng)Fig.6 Strain response of TFBG-FP resonance valley

設(shè)單模光纖包層折射率nclad=1.463 2，纖芯折射率ncore=1.468 5，光柵周期為Λ=529.01 nm，折射率調(diào)制深度Δn=0.000 1，錐區(qū)直徑呈拋物線型（圖5（c）），計算得到的諧振谷應(yīng)變響應(yīng)如圖6所示。在光纖軸向設(shè)置使光纖拉長的應(yīng)變量為ε，當(dāng)腰區(qū)直徑d=D/3，柵區(qū)長度L為30 mm和20 mm時，在0～160 με的應(yīng)變量范圍內(nèi)分別得到3.47 pm/με和3.22 pm/με的靈敏度；當(dāng)腰區(qū)直徑d=3D/25，柵區(qū)長度L為30 mm和20 mm時，在0～300 με的應(yīng)變量范圍內(nèi)分別得到7.05 pm/με和6.80 pm/με的靈敏度（見圖6（a））。靈敏度受腰區(qū)直徑影響明顯。靈敏度隨腰區(qū)直徑變化的關(guān)系如圖6（b）所示。

所設(shè)計的TFBG-FP 傳感結(jié)構(gòu)靈敏度主要取決于拉錐光纖的幾何尺寸。腰區(qū)的直徑越小，腰區(qū)附近局域光柵周期產(chǎn)生的應(yīng)變量越大，波長漂移量越大，因而靈敏度越高。本文重點在于保留FP腔的高精細(xì)度諧振峰（谷）的同時，克服FSR 對傳感范圍的限制。

圖7給出了基于上述TFBG-FP，腰區(qū)直徑d=3D/25，光纖軸向外拉應(yīng)變量ε為0和221.22時，TFBGFP的反射光譜。圖7中細(xì)線和粗線分別表示發(fā)生應(yīng)變前后的狀態(tài)，A和B分別為短波長和長波長反射區(qū)域，非常容易找到所需觀測的諧振谷的位置（虛線位置），利于傳感應(yīng)用。

2.2 應(yīng)變傳感范圍及改進方案

由于拉錐光纖錐區(qū)不同位置的直徑不同，受到應(yīng)力作用時不同位置產(chǎn)生的應(yīng)變也不同[18]。圖7中，A區(qū)域光纖直徑較小，光柵周期隨應(yīng)變增大較快，光譜紅移量大；B區(qū)域光纖直徑較大，光柵周期隨應(yīng)變增大不明顯，光譜紅移量很小，導(dǎo)致拉錐光纖布拉格光柵（TFBG）反射帶寬減小，反射率提高。當(dāng)應(yīng)變過大時，設(shè)計的TFBG-FP的布拉格波長分布如圖8所示。

圖7 TFBG-FP的反射光譜與應(yīng)變量的關(guān)系Fig.7 Relationship between reflectance spectrum and dependent variable of TFBG-FP

圖8 應(yīng)變過大時，TFBG 布拉格波長示意圖Fig.8 Schematic of TFBG Bragg wavelength distribution while strain is overlarge

應(yīng)變過大時，由于光柵周期的變化對布拉格波長的影響大于有效折射率所產(chǎn)生的布拉格波長變化，上述①、②部分不再如前文所述每一個波長唯一對應(yīng)一個腔長為H（λ）的F-P腔，而是首先在腰區(qū)附近出現(xiàn)了除h外，長度為h′和h′′的新的F-P腔（見圖8）[21]，新出現(xiàn)的腔干擾上文所述的第1個諧振谷位置的確定，限制了傳感范圍。為了解決這個問題，提出基于拉錐啁啾布拉格光柵的法布里-珀羅（TCFBG-FP）應(yīng)變傳感結(jié)構(gòu)，改進上述TFBGFP 方案。TCFBG-FP 采用CFBG 代替TFBG-FP 中的FBG，由于布拉格波長受光柵周期的影響相較因光纖直徑的變化而導(dǎo)致的有效折射率變化的影響更明顯，從而，在初始條件下（ε=0），越靠近腰區(qū)，布拉格波長越長（見圖9（a））。在光纖軸向拉長的應(yīng)力作用下，直徑較大的短波長部分紅移量較小，腰區(qū)附近的長波長部分，紅移量較大，使得TCFBG的反射帶寬增大方向與TCFBG-FP 諧振峰（谷）的漂移方向一致（見圖9（b）），不會出現(xiàn)上述多腔干擾的問題。但該方案對光柵刻劃系統(tǒng)的精度要求更高，制作難度大。

圖9 TCFBG-FP 布拉格波長分布示意圖及不同應(yīng)變下的反射光譜Fig.9 Schematic of Bragg wavelength distribution and reflectance spectrum at different strains of TCFBG-FP

3 結(jié)論

在拉錐光纖上刻寫均勻布拉格光柵，利用錐區(qū)有效折射率的變化，設(shè)計了腔長隨波長變化的基于拉錐光纖布拉格光柵的法布里-珀羅腔，并提出了改進方案。區(qū)別于一般干涉型光纖傳感器的干涉條紋精細(xì)度與自由光譜范圍不能同時兼顧，該結(jié)構(gòu)不需要犧牲諧振條紋精細(xì)度就可以得到無窮大的自由光譜范圍。數(shù)值計算結(jié)果表明，當(dāng)柵區(qū)長度為30 mm、腰區(qū)直徑為光纖直徑的3/25時，在0～300 με 內(nèi)的應(yīng)變傳感靈敏度為7.05 pm/με，光纖腰區(qū)的直徑越小，靈敏度越高。